Επιλογής Ισραήλ για SEEMOUS 2008/2/3

#1

Ένας αριθμός

ονομάζεται καλός αν για κάθε

ο $1+2+\cdots + n$ διαιρεί τον $1^k + 2^k + \cdots + n^k$ . Να βρεθούν όλοι οι καλοί αριθμοί.

userresu · #2

άρα ο k είναι περιττός. Έστω P=1+2^k+...+n^k

. Αν ο n είναι άρτιος, $P \equiv 1+2^k+...+(-2)^k+(-1)^k\equiv 0 (mod (n+1))$ και $P\equiv 1+2^k+...+(-1)^k+0\equiv \frac{n}{2} (mod n)$ άρα $P\equiv 0 (mod \frac{n}{2})$ και αφού $(\frac{n}{2},n+1)=1$ , $\frac{n(n+1)}{2} | P$ . Ομοίως αποδεικνύεται για n περιττό. Άρα οι καλοί k είναι οι περιττοί. (Βλέπουμε ότι οι εκθέτες των όρων του P θα μπορούσαν να είναι περιττοί αριθμοί όχι απαραίτητα ίσοι και να ισχύει η ιδιότητα).

Επιλογής Ισραήλ για SEEMOUS 2008/2/3

Επιλογής Ισραήλ για SEEMOUS 2008/2/3

Re: Επιλογής Ισραήλ για SEEMOUS 2008/2/3

Μέλη σε σύνδεση