Επίλυση εξίσωσης(άλλη μία φορά)

#1

Να λύσετε στους πραγματικούς την εξίσωση:
x^4-5x^2-6x-5=0

Μέχρι 12/03/2012 'Αλγεβρα Β'Λυκείου (γιατί όχι και Α'Λυκείου)

Ch.Chortis · #2

Η εξίσωση γράφεται και έτσι: $\displaystyle x^4-5x^2-6x-5=0 \Leftrightarrow (x^2+1)(x^2-6)-5=0(1)$ .Θέτουμε τώρα z=x^2

και έχουμε $\displaystyle (z+1)(z-6)-5=0 \Leftrightarrow z^2-5z-6-5=0 \Leftrightarrow z^2-5z-11=0$ .Παίρνοντας τώρα τη διακρίνουσά της έχουμε: $\displaystyle \Delta=(-5)^2-4(-11)=25+44=69$ και άρα οι λύσεις της είναι: $\displaystyle z_1=\frac {5+\sqrt {69}} {2} , z_2=\frac {5-\sqrt {69}} {2}$ με τη δεύτερη να απορρίπτεται αφού έχει αρνητικό πρόσημο (οδηγεί σε μιγαδικές λύσεις) άρα οι λύσεις της (1) είναι οι: $\displaystyle x_1=-\sqrt{ \frac {5+\sqrt {69}} {2}} , x_2=\sqrt { \frac {5+\sqrt {69}} {2}}$
Διαφορετικά για $x\geq \sqrt{7},x \leq -\sqrt {7}$ για την (1) ισχύει: $(x^2+1) \geq 8,(x^2-6) \geq 1 \Rightarrow 8 \cdot 1-5=3>0$ άρα καταλήγουμε σε άτοπο.Για $0\leq x < \sqrt{6}, 0\geq x > -\sqrt{6}$ παρατηρούμε (x^2+1)>0,(x^2-6)<0

δηλαδή και πάλι καταλήγουμε σε άτοπο άρα οι λύσεις της εξίσωσης βρίσκονται στα εξής παρακάτω διαστήματα: $\displaystyle \sqrt {7} >x>\sqrt {6}, -\sqrt{6}>x> -\sqrt {7}$ .Όλα τα παραπάνω είναι λάθος.

dr.tasos · #3

Ch.Chortis έγραψε:Η εξίσωση γράφεται και έτσι: $\displaystyle x^4-5x^2-6x-5=0 \Leftrightarrow (x^2+1)(x^2-6)-5=0(1)$ .Θέτουμε τώρα και έχουμε $\displaystyle (z+1)(z-6)-5=0 \Leftrightarrow z^2-5z-6-5=0 \Leftrightarrow z^2-5z-11=0$ .Παίρνοντας τώρα τη διακρίνουσά της έχουμε: $\displaystyle \Delta=(-5)^2-4(-11)=25+44=69$ και άρα οι λύσεις της είναι: $\displaystyle z_1=\frac {5+\sqrt {69}} {2} , z_2=\frac {5-\sqrt {69}} {2}$ με τη δεύτερη να απορρίπτεται αφού έχει αρνητικό πρόσημο (οδηγεί σε μιγαδικές λύσεις) άρα οι λύσεις της (1) είναι οι: $\displaystyle x_1=-\sqrt{ \frac {5+\sqrt {69}} {2}} , x_2=\sqrt { \frac {5+\sqrt {69}} {2}}$
Διαφορετικά για $x\geq \sqrt{7},x \leq -\sqrt {7}$ για την (1) ισχύει: $(x^2+1) \geq 8,(x^2-6) \geq 1 \Rightarrow 8 \cdot 1-5=3>0$ άρα καταλήγουμε σε άτοπο.Για $0\leq x \leq \sqrt{5}, 0\geq x \geq -\sqrt{5}$ παρατηρούμε ηλαδή και πάλι καταλήγουμε σε άτοπο άρα οι λύσεις της εξίσωσης βρίσκονται στα εξής παρακάτω διαστήματα: $\displaystyle \sqrt {7} >x>\sqrt {6}, -\sqrt{6}>x> -\sqrt {7}$

Chortis : Η εξισωση που λύνεις δεν ειναι ισοδυναμη της αρχικης ειναι ισοδυναμη της $\displaystyle{ x^4-5x^2-11=0 }$

Ch.Chortis · #4

Διορθώνω τη προηγούμενη δημοσίευσή μου.Έχουμε $\displaystyle x^4-5x^2-6x-5=x^4+x^3+x^2-x^3-x^2-x-5x^2-5x-5=x^2(x^2+x+1)-x(x^2+x+1)-5(x^2+x+1)=(x^2-x-5)(x^2+x+1)=0$ .Επειδή η διακρίνουσα του x^2+x+1

είναι μικρότερη του μηδενός $\displaystyle \Delta=1^2-4\cdot 1=1-4=-3<0$ και οδηγεί σε μιγαδικές λύσεις, ασχολούμαστε μόνο με το x^2-x-5=0 (1)

(μας αρκεί ένας από τους δύο παράγοντες να είναι μηδέν για να μηδενιστεί το γινόμενο).Έχουμε για διακρίνουσα $\displaystyle \Delta (1)=(-1)^2-4(-5)=1+20=21$ και άρα οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης είναι οι: $\displaystyle x_1=\frac {1+\sqrt {21}} {2},x_2=\frac {1-\sqrt {21}} {2}$ .Έγινε διόρθωση στο κομμάτι με τους μιγαδικούς.
Ευχαριστώ το νέο μέλος του

wolfram για τη βοήθεια του.

#5

Ch.Chortis έγραψε:Διορθώνω τη προηγούμενη δημοσίευσή μου.Έχουμε $\displaystyle x^4-5x^2-6x-5=(x^2-x-5)(x^2+x+1)=0$

Θα ήταν πολύ ωραίο να παρουσίαζες και την πορεία της παραγοντοποίησης. Αν κάποιος π.χ δεν έχει Wolfram,τι κάνει;

Ch.Chortis έγραψε: και οδηγεί σε μιγαδικές λύσεις (δε ξέρω αν μαθητές της Β' Λυκείου γνωρίζουν από μιγαδικούς-νομίζω πως όχι)

Νομίζω πως πεντακάθαρα στην εκφώνηση ζητάω λύση στους πραγματικούς.

Ευχαριστώ για την ενασχόληση.

Καλημέρα.

parmenides51 · #6

chris_gatos έγραψε:
Ch.Chortis έγραψε:Διορθώνω τη προηγούμενη δημοσίευσή μου.Έχουμε $\displaystyle x^4-5x^2-6x-5=(x^2-x-5)(x^2+x+1)=0$
Θα ήταν πολύ ωραίο να παρουσίαζες και την πορεία της παραγοντοποίησης. Αν κάποιος π.χ δεν έχει Wolfram,τι κάνει;

καλημέρα

δεν εννοεί το πρόγραμμα αλλά το μέλος του

wolfram

#7

parmenides51 έγραψε: καλημέρα

δεν εννοεί το πρόγραμμα αλλά το μέλος του wolfram

Καλημέρα. Εγώ όμως εννοώ το πρόγραμμα που διαπράττει έτοιμες παραγοντοποιήσεις.

Ch.Chortis · #8

Για να ξεκαθαρίσουμε τα πράγματα όταν λέω Wolfram εννοώ ένα νέο μέλος του mathematica (έχει κάνει τρεις δημοσιεύσεις,νομίζω).Το άλλο-το πρόγραμμα- δεν το χρησιμοποιώ.

#9

Ch.Chortis έγραψε:Για να ξεκαθαρίσουμε τα πράγματα όταν λέω Wolfram εννοώ ένα νέο μέλος του mathematica (έχει κάνει τρεις δημοσιεύσεις,νομίζω).Το άλλο-το πρόγραμμα- δεν το χρησιμοποιώ.

Για να ξεκαθαρίσω κι εγώ, ως παράδειγμα το έφερα και μόνο.
Μπορείς σε παρακαλώ να δώσεις την πορεία παραγοντοποίησης;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Ch.Chortis · #10

Νομίζω πως όλοι είμαστε ικανοποιημένοι τώρα (έκανα επεξεργασία)!

#11

Ch.Chortis έγραψε:Νομίζω πως όλοι είμαστε ικανοποιημένοι τώρα (έκανα επεξεργασία)!

Ok.Τώρα είναι πλήρης η παρουσίαση.Ευχαριστώ.

orestisgotsis · #12

ΠΕΡΙΤΤΑ

KARKAR · #13

Η παράσταση : x^2+x+1

, δεν παραγοντοποιείται .

Μήπως το ίδιο ισχύει και για την παράσταση : x^4+x^2+1

?

Επίλυση εξίσωσης(άλλη μία φορά)

Επίλυση εξίσωσης(άλλη μία φορά)

Re: Επίλυση εξίσωσης(άλλη μία φορά)

Re: Επίλυση εξίσωσης(άλλη μία φορά)

Re: Επίλυση εξίσωσης(άλλη μία φορά)

Re: Επίλυση εξίσωσης(άλλη μία φορά)

Re: Επίλυση εξίσωσης(άλλη μία φορά)

Re: Επίλυση εξίσωσης(άλλη μία φορά)

Re: Επίλυση εξίσωσης(άλλη μία φορά)

Re: Επίλυση εξίσωσης(άλλη μία φορά)

Re: Επίλυση εξίσωσης(άλλη μία φορά)

Re: Επίλυση εξίσωσης(άλλη μία φορά)

Re: Επίλυση εξίσωσης(άλλη μία φορά)

Re: Επίλυση εξίσωσης(άλλη μία φορά)

Μέλη σε σύνδεση