Κρυφή Ολοκληρωτική ανίσωση

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλησπέρα

Ας δούμε μια άσκηση που χρειάζεται παρατηρητικότητα από τον μαθητή, η οποία με βοηθητικό ερώτημα γίνεται λίγο ποιο εύκολη.

Αν για τη συνεχή συνάρτηση $\displaystyle{\displaystyle f:IR \to IR}$ , για κάθε $\displaystyle{\displaystyle x \in IR}$ ισχύει η σχέση: $\displaystyle{\displaystyle {f^3}(x) + f(x) \ge x}$ , να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\displaystyle \int_0^2 {f(x)dx} \ge \frac{5}{4}}$ .

Θωμάς Ραϊκόφτσαλης

#2

Τα χρήσιμα πράγματα που πρέπει να γνωρίζει ο μαθητής για την επίλυση της άσκησης είναι :
1) Να γνωρίζει για τη συνέχεια και τη μονοτονία αντίστροφης συνάρτησης (εκτός ύλης)

2) Να υπολογίζει ολοκλήρωμα αντίστροφης συνάρτησης (επίσης εκτός ύλης).

Βήμα 1ο

Σκέφτεται...φροντιστηριακά! Εννοώ να θεωρησει τη συναρτηση g με: $\displaystyle{\displaystyle g(x) = x^3 + x,x \in \mathbb{R} }$ .

Βήμα 2ο

Παρατηρεί πως:
$\displaystyle{\displaystyle g^{\prime} (x) = 3x^2 + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R} }$ . Συνεπώς η g είναι γνησίως αύξουσα στο R , αρα και 1-1...Αρα αντιστρέψιμη...
Η γνωστή , οχι απο το σχολικό βιβλίο πρόταση , εξασφαλίζει πως και η αντίστροφη της g είναι συνεχής και έχει το ίδιο είδος μονοτονίας...Αρα η δοθείσα μπορεί να έχει ως εξής:
$\displaystyle{\displaystyle g(f(x)) \geqslant x,\forall x \in \left[ {0,2} \right] \Leftrightarrow f(x) \geqslant g^{ - 1} (x) }$ (1).

Βήμα 3

Στη συνέχεια , ολοκληρώνει και τα δυο μέλη της (1) και λαμβάνει μετα απο κόπο με πράξεις, αλλαγή άκρων ολοκλήρωσης κτλ το ζητούμενο αποτελεσμα. Γιατί ;;
Να γιατί:
Θέτω $\displaystyle{\displaystyle \begin{gathered} y = g^{ - 1} (x) \Leftrightarrow x = g(y) \hfill \\ dx = g^{\prime} (x)dx \hfill \\ \end{gathered} }$ , αλλάζω τα άκρα:
Για χ=0 => y=0
Για χ=2 => y=1.
Kαι τελικά:
$\displaystyle{\displaystyle \int\limits_0^2 {g^{ - 1} (x)dx = \int\limits_0^1 {yg^{\prime} (y)dy = ... = \mathop {\left[ {\frac{{3y^4 }} {4} + \frac{{y^2 }} {2}} \right]}\nolimits_0^1 = \frac{5} {4}} } }$ .

Y.Γ
Δε λέω , μπορεί να υπάρχει και απλούστερος τρόπος, αλλά αυτήν τη στιγμή αυτός συνελήφθη...

Υ.Γ 2
Για λόγους πληρότητας , θα έπρεπε τυπικά να έχω βρεί το σύνολο τιμών της g αλλά και της αντίστροφής της.
Αλλά πόσα να γράψω;;
Ευχαριστώ το Βασίλη (mathxl) για την επισήμανση..
Είναι $\displaystyle{\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 2 \Rightarrow 0 \leqslant x^3 \leqslant 8 }$ , αρα $\displaystyle{\displaystyle 0 \leqslant x^3 + x \leqslant 10 \Rightarrow 0 \leqslant g(x) \leqslant 10 }$ .

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #3

Χρήστο καλησπέρα.

Για δες το 3ο θέμα στις
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ
ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 2003
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

στο οποίο πλην της γεωμετρικής λύσης ήταν αποδεκτή και η λύση με αντικατάσταση.
Πάντως η λύση σου είναι πλήρης.
Θωμάς

#4

Τώρα νομίζω πως επέλεξες μια αποφράδα ημέρα, αποφράδα για όλους...Φροντιστές, καθηγητές δημοσίου , μαθητές...
Νομίζω πως αυτή η ημέρα έγινε μάθημα σε όλους όσους παίζουν με τις τύχες ΠΑΙΔΙΩΝ. Απο τότε κι έπειτα δεν υπήρξε
άλλο κρούσμα άσκησης που δεν πάταγε ΚΑΘΟΛΟΥ στη θεωρία του σχολικού.
Και σα να μην έφτανε αυτό, όλοι ψάχναμε να βρούμε ένα σημείο καμπής που δεν υπήρχε!

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #5

chris_gatos έγραψε:Τώρα νομίζω πως επέλεξες μια αποφράδα ημέρα, αποφράδα για όλους...Φροντιστές, καθηγητές δημοσίου , μαθητές...
Νομίζω πως αυτή η ημέρα έγινε μάθημα σε όλους όσους παίζουν με τις τύχες ΠΑΙΔΙΩΝ. Απο τότε κι έπειτα δεν υπήρξε
άλλο κρούσμα άσκησης που δεν πάταγε ΚΑΘΟΛΟΥ στη θεωρία του σχολικού.
Και σα να μην έφτανε αυτό, όλοι ψάχναμε να βρούμε ένα σημείο καμπής που δεν υπήρχε!

Το πρόβλημα υπήρχε στο 4ο θέμα.
Επίσης εξήγησέ μου σε παρακαλώ τη φράση σου
Σκέφτεται...φροντιστηριακά!
Τι σημαίνει σε παρακαλώ αυτό.
Σημαίνει ότι η φροντιστηριακή σκέψη είναι κάτι διαφορετικό από κάποια άλλη σκέψη;
Συνάδελφοι ας σταματήσεις αυτό το νοητικό τέννις μεταξύ των φροντιστών και των άλλων
ή μεταξύ των καθηγητών του δημοσίου και των άλλων.
Ο δάσκαλος το έχω πει πολλές φορές γίνεται στον πίνακα, δημόσιο ή ιδιωτικό δεν έχει σημασία.

Θωμάς

#6

Θωμά αν υπήρχε κάποιος μαθητής που το έλυσε γεωμετρικά , τότε μπράβο του!
Το ''σκέπτεται φροντιστηριακά'' είχε να κάνει με το ''έχει μάθει καποια τρικάκια''. Αντί να γράψω το δεύτερο, έγραψα το πρώτο... Δεν εννοούσα πραγματικά κάτι κακό, παρ'ότι έχω πάρα πολλά απωθημένα, το παραδέχομαι,απο τη συμπεριφορά συναδέλφων μου ( παλαιότερων και διευθύνοντων ) , όταν ήμουν μέλος των φροντιστηρίων. Αλλά αυτά δε νομίζω πως αφορούν κανένα εδω μέσα.
Δε διαχωρίζω τίποτα, στα φροντιστήρια υπάρχουν πάρα , μα πάρα πολλοί αξιόλογοι συνάδελφοι, που μάχονται, σε δύσκολους καιρούς και αντίξοες συνθήκες, να προσφέρουν...

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #7

Έστειλα ένα μήνυμα με τον κωδικό που μπαίνει ο γυιος μου και το ξαναγράφω.

Χρήστο οι αξιόλογοι οι μέτριοι και οι μη αξιόλογοι υπάρχουν σε αμφότερους τους χώρους.
Οι μαθητές και τα επί μέρους αποτελέσματα ίσως κάνουν τους άξιους, πάντως όχι εμείς.

Επ' ευκαιρία να πω απαντώντας έμεσα σε άλλο post, ότι:
Επειδή κάποια γραπτά των υποψηφίων πήγαν σε αναβαθμολόγηση, δεν σημαίνει ότι οι βαθμολογητές δεν κάνουν καλά τη δουλειά τους. Την κάνουν πάρα πολύ καλά.

Είναι τρομερό αυτό που μας συμβαίνει. Έχουμε μπει σε μια παράνοια καννιβαλισμού και ότι θεσμός υπάρχει πάμε να τον κατακρεουργήσουμε.
Καθηγητές, βαθμολογητές, θεματοδότες και όχι μόνο, όλοι άχρηστοι.
Μόνον εμείς οι καλοί και άξιοι, οι άλλοι άχρηστοι.
Όμως δεν πρέπει να είναι έτσι και μάλλον δεν είναι έτσι.

Θωμάς

mathxl · #8

Ψάχνοντας στο ίντερνετ βρήκα την πηγή της άσκησης.
Ο δράστης: Cristinel Mortici, OJM Constanta 1997

Κρυφή Ολοκληρωτική ανίσωση

Κρυφή Ολοκληρωτική ανίσωση

Re: Κρυφή Ολοκληρωτική ανίσωση

Re: Κρυφή Ολοκληρωτική ανίσωση

Re: Κρυφή Ολοκληρωτική ανίσωση

Re: Κρυφή Ολοκληρωτική ανίσωση

Re: Κρυφή Ολοκληρωτική ανίσωση

Re: Κρυφή Ολοκληρωτική ανίσωση

Re: Κρυφή Ολοκληρωτική ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση