Συγγενείς συναρτησιακές

#1

Μια συλλογίτσα με συγγενείς, απλής -στην όψη- μορφής συναρτησιακές.
Οι 10 πρώτες είναι από εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=461479&

Τη 2 την είδαμε εδώ, με την επιπλέον συνθήκη f(1)=1.

Νομίζω λύνεται αν έχουμε γενικά $f(1)\ne 0.$

Με προβληματίζει η 3...

1. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+yf(x))=f(x)+xf(y)$

2. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(xy+f(x))=f(x)+xf(y)$

3. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+xf(y))=f(x)+xf(y)$

4. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+yf(x))=xy+f(x)$

5. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+yf(x))=x+xf(y)$

6. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(xy+f(x))=x+yf(x)$

7. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(xy+f(x))=x+xf(y)$

8. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+xf(y))=x+yf(x)$

9. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+xf(y))=xy+f(x)$

10. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(f(x)+xf(y))=xy+f(x)$

11. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x^{3}+y^{3})=xf^{2}(x)+yf^{2}(y) ,$

12. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y) ,$

13. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(f(x)+xy) = f(x)\cdot f(y+1),$

14. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f\big(f(x+y)\big)=xf(x)+yf(y)$

15. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+f(xy))=f(x)+xf(y)$

16. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+f(x)f(y))=f(x)+xf(y)$

17. $\forall x,y \in \Bbb{R} \ , \ \ f(xf(y)+f(x))=2f(x)+xy$

#2

socrates έγραψε:Μια συλλογίτσα με συγγενείς, απλής -στην όψη- μορφής συναρτησιακές.

14. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f\big(f(x+y)\big)=xf(x)+yf(y) (1)$

Η (1) για

δίνει

Η (1) για

δίνει

(2)

Η (1) για y=-x

δίνει $xf(x)-xf(-x)=0 \Rightarrow f(-x)=f(x),\ \forall x \neq 0$ (3)

Η (1), λόγω της (2) γράφεται $(x+y)f(x+y)=xf(x)+yf(y),\ \forall x,y \in \Bbb{R}$ (4)

Η (4) για y=x

δίνει $2xf(2x)=2xf(x) \Rightarrow f(2x)=f(x),\ \forall x \neq 0$ (5)

H (1) για y=-2x

δίνει $f(f(-x))=xf(x)-2xf(-2x) \Rightarrow f(f(x))=xf(x)-2xf(2x)$

$\Rightarrow f(f(x))=-xf(x), \forall x \neq 0$ (6)

(2)+(6) $\Rightarrow f(f(x))=0,\ \forall x \neq 0$ , άρα η (2) δίνει

$xf(x)=0,\ \forall x \neq 0 \Rightarrow f(x)=0,\ \forall x \neq 0$ και $f(0)=a, a \in \Bbb{R}$ ,

που αληθεύει η αρχική.

#3

socrates έγραψε:Μια συλλογίτσα με συγγενείς, απλής -στην όψη- μορφής συναρτησιακές.
Οι 10 πρώτες είναι από εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=461479&

13. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(f(x)+xy) = f(x)\cdot f(y+1),$ (1)

1η περίπτωση: Υπάρχει $x_0 \neq 0$ ώστε f(x_0)=0

, τότε η (1) για x=x_0

δίνει $f(x_0y)=0,\ \forall y \in \Bbb{R}$ , άρα $f(x)=0,\ \forall x \in \Bbb{R}$ , που αληθεύει την αρχική.

2η περίπτωση: $f(0) \neq 0$ , τότε η (1) για x=0

δίνει $\displaystyle{f(y+1)=\frac {f(f(0))}{f(0)},\ \forall y \in \Bbb{R}}$

Άρα $f(x)=c,\ \forall x \in \Bbb{R}$ και από την (1) βρίσκουμε c=1

3η περίπτωση: f(0)=0

τότε η (1) για y=-1

δίνει $f(f(x)-x)=0,\ \forall x \in \Bbb{R}$ .

Αν υπάρχει $x_0 \in \Bbb{R}$ ώστε $f(x_0) \neq x_0$ , τότε ερχόμαστε στην 1η περίπτωση,

άρα $f(x)=0,\ \forall x \in \Bbb{R}$ .

Αλλιώς θα πρέπει $f(x)=x,\ \forall x \in \Bbb{R}$ , που αληθεύει την αρχική.

#4

socrates έγραψε:Μια συλλογίτσα με συγγενείς, απλής -στην όψη- μορφής συναρτησιακές.
Οι 10 πρώτες είναι από εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=461479&

10. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(f(x)+xf(y))=xy+f(x) (1)$

η (1) για

δίνει

, άρα η

είναι 1-1.

Η (1) για x=y=0

δίνει $f(f(0))=f(0) \Rightarrow f(0)=0$

Η (1) για y=0

δίνει $f(f(x))=f(x),\ \forall x \in \Bbb{R} \Rightarrow f(x)=x,\ \forall x \in \Bbb{R}$ ,

η οποία επαληθεύει την (1)

#5

socrates έγραψε:Μια συλλογίτσα με συγγενείς, απλής -στην όψη- μορφής συναρτησιακές.
Οι 10 πρώτες είναι από εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=461479&

9. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+xf(y))=xy+f(x) (1)$

Κάπου έχω λάθος στις πράξεις, θα την ξανακοιτάξω. Θανάση σε ευχαριστώ.

Η (1) για x=1

δίνει $f(1+f(y))=y+f(1),\ \forall y \in \Bbb{R}$ (2), άρα η

είναι 1-1 και επί.

Θεωρούμε $y_0 \in \Bbb{R}$ με f(y_0)=0

, οπότε η (2) για y=y_0

δίνει $y_0=0 \Rightarrow f(0)=0$

Θεωρούμε $y_1 \in \Bbb{R}$ με f(y_1)=-1

, οπότε η (1) για y=y_1

δίνει $f(x)=-y_1x,\ \forall x \in \Bbb{R}$

και επαληθεύοντας στην αρχική βρίσκουμε -y_1=1

, άρα $f(x)=x,\ \forall x \in \Bbb{R}$

#6

socrates έγραψε:Μια συλλογίτσα με συγγενείς, απλής -στην όψη- μορφής συναρτησιακές.
Οι 10 πρώτες είναι από εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=461479&

8. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+xf(y))=x+yf(x)$ (1)

H (1) για

δίνει

και η (1) για y=0

δίνει $f(x)=x,\ \forall x \in \Bbb{R}$ , που

αληθεύει την αρχική

#7

socrates έγραψε:.

1. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+yf(x))=f(x)+xf(y)$

Την είδαμε εδώ: viewtopic.php?f=111&t=18770

#8

socrates έγραψε:Μια συλλογίτσα με συγγενείς, απλής -στην όψη- μορφής συναρτησιακές.
Οι 10 πρώτες είναι από εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=461479&

7. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(xy+f(x))=x+xf(y)$ (1)

Για

έχουμε

Για

και

έχουμε $f(0)=f(0)+f^2(0) \Rightarrow f(0)=0$

Η (1) για y=0

δίνει $f(f(x))=x,\ \forall x \in \Bbb{R}$ (2), άρα η

είναι 1-1.

Η (1) για y=f(y)

δίνει $f(xf(y)+f(x)=x+yx,\ \forall x,y \in \Bbb{R}$ (3)

Η (3) για y=-1

δίνει $f(xf(-1)+f(x))=0=f(0) \Rightarrow f(x)=ax,\ \forall x \in \Bbb{R}$ και από τη (1)

παίρνουμε ότι $a=\pm1$

#9

socrates έγραψε:Μια συλλογίτσα με συγγενείς, απλής -στην όψη- μορφής συναρτησιακές.
Οι 10 πρώτες είναι από εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=461479&

6. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(xy+f(x))=x+yf(x)$ (1)

Για

η (1) δίνει $f(f(0))=yf(0),\ \forall y \in \Bbb{R}$ , άρα αναγκαστικά f(0)=0

, οπότε η (1)

για x=1

δίνει

και για

έχουμε $f^2(1)=1 \Rightarrow f(1)=\pm1$

Αν f(1)=1

τότε η (1) για x=1

δίνει $f(y+1)=y+1,\ \forall y \in \Bbb{R}$ .

Άρα $f(x)=x,\ \forall x \in \Bbb{R}$ , που επαληθεύει την αρχική.

Αν f(1)=-1

τότε η (1) για x=1

δίνει $f(y-1)=-(y-1),\ \forall y \in \Bbb{R}$ .

Άρα $f(x)=-x,\ \forall x \in \Bbb{R}$ , που επίσης επαληθεύει την αρχική.

#10

socrates έγραψε:Μια συλλογίτσα με συγγενείς, απλής -στην όψη- μορφής συναρτησιακές.
Οι 10 πρώτες είναι από εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=461479&

5. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+yf(x))=x+xf(y)$

Αυτή παραείναι εύκολη:

Για x=y=0

έχουμε

, οπότε η αρχική για y=0

δίνει $f(x)=x,\ \forall x \in \Bbb{R}$ , που επαληθεύει την αρχική.

#11

socrates έγραψε:Μια συλλογίτσα με συγγενείς, απλής -στην όψη- μορφής συναρτησιακές.
Οι 10 πρώτες είναι από εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=461479&
4. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+yf(x))=xy+f(x)$ (1)

Έχουμε $f(1) \neq 0$ , γιατί σε αντίθετη περίπτωση η (1) για x=1

δίνει $y=0,\ \forall y \in \Bbb{R}$ , άτοπο.

Τότε η (1) για x=1

δίνει $f(f(1)y+1)=y+f(1),\ \forall y \in \Bbb{R}$ (2)

Άρα η (2) για $\displaystyle{y=\frac {x-1}{f(1)}}$ δίνει $\displaystyle{f(x)=\frac {1}{f(1)}x+f(1)-\frac {1}{f(1)},\ \forall x \in \Bbb{R}}$

και θέτοντας το στην αρχική βρίσκουμε $f(1)=\pm1$ , το οποίο δίνει λύσεις

$f(x)=x,\ \forall x \in \Bbb{R}$ και $f(x)=-x,\ \forall x \in \Bbb{R}$

#12

socrates έγραψε:
2. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(xy+f(x))=f(x)+xf(y)$

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6f#p855649

#13

socrates έγραψε:
11. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x^{3}+y^{3})=xf^{2}(x)+yf^{2}(y) ,$

viewtopic.php?f=111&t=14983

#14

socrates έγραψε:
12. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y) ,$

viewtopic.php?f=111&t=14984

#15

socrates έγραψε:
3. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+xf(y))=f(x)+xf(y)$

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=477809

#16

15.
$\forall x,y \in \Bbb{R}, \ \ f(x+f(xy))=f(x)+xf(y)$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

16.
$\forall x,y \in \Bbb{R}, \ \ f(x+f(x)f(y))=f(x)+xf(y)$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

17.
$\forall x,y \in \Bbb{R}, \ \ f(xf(y)+f(x))=2f(x)+xy$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Συγγενείς συναρτησιακές

Συγγενείς συναρτησιακές

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

Re: Συγγενείς συναρτησιακές

Μέλη σε σύνδεση