Βρείτε τη γωνία x (116)

Ιστοσελίδα · #1

: x116.jpg (43.96 KiB) Προβλήθηκε 373 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

με $\widehat A = {30^ \circ }$ και AC = 2

. Επί της πλευράς

παίρνουμε σημείο

, τέτοιο ώστε $A\widehat CD = {102^ \circ }$ και $BD = \sqrt {10 + 2\sqrt 5 }$ . Δείξτε ότι η γωνία $x = \widehat B = {12^ \circ }$ .

#2

καλησπέρα Μιχάλη
με τριγωνομετρία (νόμο ημιτόνων)

$\bullet ~\displaystyle{\vartriangle ABC~~,(BC=a)~~: a=\frac{1}{\sin x}}$

$\bullet ~\displaystyle{\vartriangle BCD :~~ \frac{BD}{\sin(48-x)}=\frac{a}{\sin 48}}$

από τις προηγούμενες έχουμε $:~~\displaystyle{\frac{\sin(48-x)}{\sin x}=\sin 48 \cdot \sqrt{10+2\sqrt 5}}$

ισχύουν $\boxed {\displaystyle{~~: \sin 18=\frac{\sqrt 5-1}{4},~~\cos 18=\frac{ \sqrt{10+2\sqrt 5}}{4}}}$

άρα $\displaystyle{\sin 48 \cdot \sqrt{10+2\sqrt 5}=4 \sin 48 \cdot \cos 18=\frac{4 \sin 12 \sin 48 \cos 18}{\sin 12}=\frac{\sin 36}{\sin 12}\frac{4 \sin 12 \sin 48 \cos 18}{\sin 36}\Rightarrow }$

$\displaystyle{\sin 48 \cdot \sqrt{10+2\sqrt 5}=\frac{\sin 36}{\sin 12}~ \frac{2 \sin 12 \sin 48}{\sin 18}=\frac{\sin 36}{\sin 12}~ \cancelto{1}{\frac{\cos 36-\cos 60}{\sin 18}}\Rightarrow}$

$~~\displaystyle{\frac{\sin(48-x)}{\sin x}=\sin 48 \cdot \sqrt{10+2\sqrt 5}=\frac{\sin 36}{\sin 12}\Rightarrow \boxed{x=12^o}}$ μοναδική

λόγω μονοτονίας της $\displaystyle{f(x)=\frac{\sin(48-x)}{\sin x},~~ x\in (0,\frac{\pi}{2})}$

Βρείτε τη γωνία x (116)

Βρείτε τη γωνία x (116)

Re: Βρείτε τη γωνία x (116)

Μέλη σε σύνδεση