θέματα με απαιτήσεις

dennys · #1

Εστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f(x):(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ ,και ισχύει

$2\sqrt{x}f(x)=2\sqrt{x}f(\sqrt{xh})+(x-h)(\sqrt{h})f{'}(\sqrt{xh})$ για x,h>0, f(1)=0

.

1) Nα αποδείξετε οτι $:\int_{h}^{x}f(t)dt=(x-h)f(\sqrt{xh}),\,\,\ \forall x,h>0$

2)Να αποδείξετε 'οτι $\int_{2012}^{x}f(t)dt=\int_{2012}^{\frac{1}{x}}f(t)dt, \forall x>0$

3)Να αποδείξετε ότι $:x^2{f(x)}+f(\frac{1}{x})=0, \forall x>0$

4)Να δείξετε οτι υπάρχει $x_o\in(\frac{1}{3},\frac{1}{2}):f{'}(x_o)=54f(3)-24f(2)$

5)Να δείξετε ότι $2f(x)-(x^{3}-x)f{'}(x)=0,\forall x>0$

6)Αν δίνεται ακόμη ότι f{'}(1)=2

να βρείτε ότι $: f(x)=1-\frac{1}{x^2}, \forall x>0$

7)Aν $F(x)=\int_{2010}^{x}{\cfrac{2}{t^3{f(t)}}dt$ να βρείτε το πεδίο ορισμού της ,την μοναδική της ρίζα και την μονοτονία της.

8)Να δείξετε ότι F(x)=ln(f(x))-ln(f(2010))

dennys

dennys · #2

To επαναφερω γιατί είναι καλό θεματάκι,για απόψε .

dennys

#3

...αφού το ξενυχτάμε ας το λύσουμε όσο αντέξουμε...

1) Αν $g(x)=\int\limits_{a}^{x}{f(t)dt}-(x-a)f(\sqrt{ax})$ και a>0

σταθερό είναι παραγωγίσιμη με ${g}'(x)=f(x)-f(\sqrt{ax})+(x-a){f}'(\sqrt{ax})\frac{a}{2\sqrt{ax}}$ ή

${g}'(x)=f(x)-f(\sqrt{ax})+(x-a){f}'(\sqrt{ax})\frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{x}},\,\,\,x>0,\,\,a>0$ και επειδή από την δοθείσα για όπου

το

ισχύει ότι

$2\sqrt{x}f(x)=2\sqrt{x}f(\sqrt{ax})+(x-a)(\sqrt{a}){f}'(\sqrt{ax})\Leftrightarrow$ διαιρώντας με $2\sqrt{x}$

$f(x)=f(\sqrt{ax})+(x-a)(\frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{x}}){f}'(\sqrt{ax})$ προκύπτει ότι ${g}'(x)=0,\,\,\,\,x\in (0,\,\,\,+\infty )$ άρα $g(x)=c,\,\,\,\,x\in (0,\,\,\,+\infty )$ και επειδή για

x=a

είναι

έχουμε

άρα $g(x)=\int\limits_{a}^{x}{f(t)dt}-(x-a)f(\sqrt{ax})=0$ δηλαδή $\int\limits_{a}^{x}{f(t)dt}=(x-a)f(\sqrt{ax}),\,\,\,x>0,\,\,a>0$ επομένως ισχύει ότι $\int\limits_{h}^{x}{f(t)dt}=(x-h)f(\sqrt{hx}),\,\,\,x>0,\,\,h>0$

2) Για όπου

το $\frac{1}{x}$ θα έχουμε στην προηγούμενη σχέση ότι $\int_{\frac{1}{x}}^{x}{f}(t)dt=(x-\frac{1}{x})f(\sqrt{x\frac{1}{x}})=(x-\frac{1}{x})f(1)=0$ άρα και

$\int\limits_{\frac{1}{x}}^{2012}{f(t)dt+\int\limits_{2012}^{x}{f(t)dt}}=0\Leftrightarrow \int\limits_{2012}^{x}{f(t)dt}=-\int\limits_{\frac{1}{x}}^{2012}{f(t)dt=}\int\limits_{2012}^{\frac{1}{x}}{f(t)dt}$ , x>0

3) Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση πρκύπτει ότι $f(x)=f(\frac{1}{x})(\frac{1}{x}{)}'\Leftrightarrow f(x)=-\frac{1}{{{x}^{2}}}f(\frac{1}{x})\Leftrightarrow {{x}^{2}}f(x)+f(\frac{1}{x})=0$

4) Από ΘΜΤ στο $[\frac{1}{3},\,\,\frac{1}{2}]$ για την παραγωγίσιμη

υπάρχει ${{x}_{0}}\in (\frac{1}{3},\,\,\frac{1}{2})$ ώστε ${f}'({{x}_{0}})=\frac{f(\frac{1}{2})-f(\frac{1}{3})}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=6\left( f(\frac{1}{2})-f(\frac{1}{3}) \right)$

και από την προηγούμενη σχέση έχουμε ότι

$9f(3)+f(\frac{1}{3})=0\Leftrightarrow f(\frac{1}{3})=-9f(3)$ και $4f(2)+f(\frac{1}{2})=0\Leftrightarrow f(\frac{1}{2})=-4f(2)$ έτσι

αντικαθιστώντας έχουμε ότι ${f}'({{x}_{0}})=6\left( -4f(2)+9f(3) \right)=54f(3)-24f(2)$

5) Από $f(x)=f(\sqrt{hx})+(x-h)(\frac{\sqrt{h}}{2\sqrt{x}}){f}'(\sqrt{hx}),\,\,\,\,x,h>0$ προκύπτει για όπου

το $\frac{1}{h}$ ότι $f(\frac{1}{h})=f(1)+(\frac{1}{h}-h)(\frac{h}{2}){f}'(\sqrt{1}),\,\,\,h>0$ ή ότι

$f(\frac{1}{h})=\frac{1}{2}(1-{{h}^{2}}){f}'(\sqrt{1}),\,\,\,h>0$ έτσι από ${{x}^{2}}f(x)+f(\frac{1}{x})=0$ θα έχουμε ότι

${{x}^{2}}f(x)+\frac{1}{2}(1-{{x}^{2}}){f}'(1)=0\Leftrightarrow f(x)=-\frac{{f}'(1)}{2}\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}-1 \right)$ και ακόμη

${f}'(x)=-\frac{{f}'(1)}{2}\left( -\frac{2}{{{x}^{3}}} \right)=\frac{{f}'(1)}{{{x}^{3}}}$ επομένως τώρα $2f(x)-({{x}^{3}}-x){f}'(x)=-2\frac{{f}'(1)}{2}\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}-1 \right)-({{x}^{3}}-x)\left( \frac{{f}'(1)}{{{x}^{3}}} \right)=$

$=-{f}'(1)\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}-1 \right)-\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right){f}'(1)=0$

6) Τώρα από ${f}'(x)=\frac{{f}'(1)}{{{x}^{3}}}$ αφού {f}'(1)=2

άρα ${f}'(x)=\frac{2}{{{x}^{3}}}={{\left( -\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}$ οπότε και $f(x)=-\frac{1}{{{x}^{2}}}+c$ και επειδή f(1)=0

το

άρα

$f(x)=-\frac{1}{{{x}^{2}}}+1,\,\,\,x>0$

...τωρα

Βασίλης

θέματα με απαιτήσεις

θέματα με απαιτήσεις

Re: θέματα με απαιτήσεις

Re: θέματα με απαιτήσεις

Μέλη σε σύνδεση