Συναρτησιακή-30-1-11

#1

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $\color{blue}\bf f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ώστε να ισχύει: $\color{blue}\bf f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+(y+1)f(x)+(x+1)f(y),\forall x,y\in\mathbb{R}$

#2

Φωτεινή, καλό απόγευμα. Πάλεψα αρκετά με το προτεινόμενο θέμα αλλά δεν κατάφερα να δώσω λύση. Δύο βέβαια συναρτήσεις που ικανοποιούν την συνθήκη είναι : f(x)=0 και f(x)=3x , αλλά απόδειξη δεν μπόρεσα να κάνω. Αν θέλεις, δώσε κάποια υπόδειξη όποτε μπορέσεις.

Ιωάννου Δημήτρης

#3

για $\displaystyle{x=x , y=0 \Rightarrow f(x)+f(x)f(0)=f(0)+f(x)+(x+1)f(0)\Rightarrow f(0)(f(x)-x-2)=0}$
Aν $\displaystyle{f(0)\ne 0 \Rightarrow f(x)=x+2}$ που δεν επαληθεύει την αρχική
Αν $\displaystyle{f(0)=0}$ για $\displaystyle{x=1,y=-1, A=f(1),B=f(-1) \Rightarrow 0+AB=A+2A}$
για $\displaystyle{x=-1,y=1, A=f(1),B=f(-1) \Rightarrow 0+AB=A+2B}$
αρα $\displaystyle{A=B=0}$ ή $\displaystyle{A=B=3}$
Tώρα για A=B=0, $\displaystyle{x=0,y=1+x \Rightarrow f(x+1)=(x+1)f(x)}$ ή $\displaystyle{f(x)=xf(x)}$ που για $\displaystyle{x\ne 1\Rightarrow f(x)=0}$ και αφού $\displaystyle{f(1)=0}$ η f είναι η μηδενική που επαληθεύει
Ενω αν Α=Β=3 για $\displaystyle{ x=x,y=1\Rightarrow f(x+1)+3f(x)=f(x)+2f(x)+3(x+1)\Rightarrow f(x+1)=3(x+1)\Rightarrow f(x)=3x}$ που επαληθεύει

#4

Ευχαριστώ BORIS . (H f(x)=x+2 δεν επαληθεύει την δοσμένη σχέση, κάτι που νομίζω το έχεις αφήσει να ενοηθεί . Οπότε οι συναρτήσεις φαίνεται να είναι μόνο δύο: f(x)=0 και f(x)=3x για κάθε χΕR)

#5

Δείτε και εδώ.

#6

Επίσης, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=470214

Συναρτησιακή-30-1-11

Συναρτησιακή-30-1-11

Re: Συναρτησιακή-30-1-11

Re: Συναρτησιακή-30-1-11

Re: Συναρτησιακή-30-1-11

Re: Συναρτησιακή-30-1-11

Re: Συναρτησιακή-30-1-11

Μέλη σε σύνδεση