Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

KARKAR · #1

Ας δημιουργήσουμε και ένα φάκελο με ασκήσεις Άλγεβρας Α' Λυκείου μόνο για μαθητές , με κανόνες αντίστοιχους

των παρόμοιων φακέλων άλλων τάξεων , ουσιαστικά δηλαδή με ασκήσεις σαν αυτές που θα βάζαμε στις

εξετάσεις και ως προς τη μορφή (2-3-4 ερωτήματα ) και ως προς τη δυσκολία (όχι μόνο 4α θέματα !)

Άσκηση 1
Δίνονται οι θετικοί ακέραιοι a , b , c , d

. Έστω ότι ισχύει : $\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{c}{d}$

1) Βρείτε τον αριθμητικό μέσο των δύο κλασμάτων , τον οποίο ας ονομάσουμε $\kappa$ , και δείξτε ότι : $\displaystyle \frac{a}{b}<\kappa<\frac{c}{d}$

2) Δείξτε ότι για τον αριθμό $\displaystyle \lambda =\frac{a+c}{b+d}$ , ισχύει επίσης ότι : $\displaystyle \frac{a}{b}<\lambda<\frac{c}{d}$

3) Εξετάστε ποιος εκ των $\kappa , \lambda$ , είναι μεγαλύτερος .

#2

ΑΣΚΗΣΗ 2

Έστω a , b , x , y

θετικοί πραγματικοί αριθμοί με a>x

και

.

(α) Να αποδείξετε ότι: 4xy<(a+x)(b+y)<4ab

(β) Να αποδείξετε ότι $\sqrt{ax+by}<a+b$

mathlete23 · #3

KARKAR έγραψε: Άσκηση 1
Δίνονται οι θετικοί ακέραιοι . Έστω ότι ισχύει : $\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{c}{d}$

1) Βρείτε τον αριθμητικό μέσο των δύο κλασμάτων , τον οποίο ας ονομάσουμε $\kappa$ , και δείξτε ότι : $\displaystyle \frac{a}{b}<\kappa<\frac{c}{d}$

2) Δείξτε ότι για τον αριθμό $\displaystyle \lambda =\frac{a+c}{b+d}$ , ισχύει επίσης ότι : $\displaystyle \frac{a}{b}<\lambda<\frac{c}{d}$

3) Εξετάστε ποιος εκ των $\kappa , \lambda$ , είναι μεγαλύτερος .

α) Θα είναι:
$\displaystyle \kappa=\frac{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}{2}=\frac{ad+bc}{2bd}$
Τώρα μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ζητούμενη:
$\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{ad+bc}{2bd}\Leftrightarrow ad+cb>2ad\Leftrightarrow cb>ad\Leftrightarrow \frac{c}{d}>\frac{a}{b}$ ,
που ισχύει από υπόθεση, και άρα ισχύει και η αρχική σχέση. Να σημειωθεί ότι αφού $a,b,c,d \in Z_+$ όλοι οι παρονομαστές ορίζονται. Επίσης έχουμε:
$\displaystyle \frac{c}{d}>\frac{ad+bc}{2bd}\Leftrightarrow ad+bc<2bc\Leftrightarrow bc>ad\Leftrightarrow \frac{c}{d}>\frac{a}{b}$ ,
ισχύει από υπόθεση, και συνεπώς:
$\displaystyle \frac{a}{b}<\kappa<\frac{c}{d}$

β)Θα ακολουθήσουμε παρόμοια λογική:
$\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}\Leftrightarrow a(b+d)<b(a+c)\Leftrightarrow ab+ad<ba+bc\Leftrightarrow \frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ ,
που και πάλι ισχύει από υπόθεση. Παρομοίως και:
$\displaystyle \frac{c}{d}>\frac{a+c}{b+d}\Leftrightarrow c(b+d)>d(a+c)\Leftrightarrow cb+cd>da+dc\Leftrightarrow \frac{c}{d}>\frac{a}{b}$
και άρα:
$\displaystyle \frac{a}{b}<\lambda<\frac{c}{d}$

γ)Θα ερευνήσουμε το πρόσημο της διαφοράς:
$\displaystyle \kappa-\lambda=\frac{ad+bc}{2bd}-\frac{a+c}{b+d}=\frac{(ad+cb)(b+d)-(a+c)2bd}{2bd(b+d)}$
Επειδή ο παρονομαστής είναι προφανώς θετικός, μας ενδιαφέρουν οι τιμές του αριθμητή:
$\displaystyle adb+cb^{2}+ad^{2}+cbd-2abd-2bcd=cb(b-d)+ad(d-b)=(b-d)(cb-ad)$
Όμως:
$\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{c}{d}\Leftrightarrow cb>ad\Leftrightarrow cb-ad>0$ ,
και τελικά επικεντρωνόμαστε στο εξής:
αν $\displaystyle b-d=0\Leftrightarrow b=d$ , τότε θα είναι και $\kappa=\lambda$
αν $\displaystyle b-d>0\Leftrightarrow b>d$ , τότε και $\displaystyle \kappa-\lambda>0\Leftrightarrow \kappa>\lambda$
αν $\displaystyle b-d<0\Leftrightarrow b<d$ , τότε και $\displaystyle \kappa-\lambda<0\Leftrightarrow \kappa<\lambda$

Ch.Chortis · #4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2

Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί με και .

(α) Να αποδείξετε ότι:

(β) Να αποδείξετε ότι $\sqrt{ax+by}<a+b$

Με φώναξε κανεις-Άλγεβρα είδα και μπήκα.
Επειδή όλοι είναι θετικοί,μπορούμε να χρησμοποιήσουμε όλες τις ιδιότητες διάταξης.
α) $\displaystyle a>x,~b>y \Rightarrow ab>xy \Rightarrow 4ab>4xy$ και $\displaystyle a>x,~b>y \Rightarrow a+x>2x,~b+y>2y \Rightarrow (a+x)(b+y)>4xy$ καθώς και $\displaystyle a+a>a+x,~b+b>b+y \Rightarrow 4ab>(a+x)(b+y)$ άρα $\displaystyle 4xy<(a+x)(b+y)<4ab$ .
β) $a>x,~b>y \Rightarrow a+b>x+y \Rightarrow (a+b)^2>(a+b)(x+y)>ax+by \Rightarrow a+b>\sqrt {(a+b)(x+y)}>\sqrt {ax+by}$ .Άρα ισχύει.

dr.tasos · #5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2

Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί με και .

(α) Να αποδείξετε ότι:

(β) Να αποδείξετε ότι $\sqrt{ax+by}<a+b$

Αν και το δεύτερο με ζόρισε κάπως βάζω μια λύση :

$\displaystyle{ 2a>x+a (1) }$

$\displaystyle{ 2b>y+b (2) }$

Πολλαπλασιάζω κατά μέλη τις 2 ανισότητες και παίρνω $\displaystyle{ 4ab >(a+x)(y+b) }$

Επίσης $\displaystyle{ a+x>2x (3) \wedge b+y>2y (4) }$ Πολλαπλασιάζω κατά μέλη τις 2 ανισότητες και παίρνω $\displaystyle{ 4xy <(a+x)(y+b) }$

KARKAR · #6

Άσκηση 3

Αν a-b=4

και

1) Βρείτε τα a+b

και

2) Βρείτε το a^3-b^3

, χωρίς να βρείτε τους a, b

3) Ομοίως το a^4-b^4

4) Βρείτε τώρα τους a , b

(!)

dr.tasos · #7

KARKAR έγραψε:Άσκηση 3

Αν και

1) Βρείτε τα και

2) Βρείτε το , χωρίς να βρείτε τους

3) Ομοίως το

4) Βρείτε τώρα τους (!)

a) $\displaystyle{ (a-b)(a+b)=44 \Leftrightarrow a+b=11 }$
$\displaystyle{ a^2+b^2-2ab=16 \Leftrightarrow (a+b)^2-4ab=16 \Leftrightarrow ab=\frac{105}{4} }$

b) $\displaystyle{ (a-b)(a^2+b^2+ab)=(a-b)[(a+b)^2-ab]=379 }$

c) $\displaystyle{ (a-b)(a+b)[(a+b)^2-2ab]=3014 }$

d) $\displaystyle{ a+b=11 \quad (1) \wedge a-b=4 \quad (2) }$ με κατάλληλη προσθαφαιρεση θα παρω $\displaystyle{ a=\frac{15}{2} \wedge b=\frac{7}{2} }$

dr.tasos · #8

Άσκηση 4

Βάζω και εγώ κατι σχετικά απλό στα απόλυτα :

Έστω $\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R} }$

a) Αν $\displaystyle{ ab \ne 0 }$ και ισχυει οτi $\displaystyle{ a|b|=b|a| }$ νδο $\displaystyle{ a ,b }$ ομόσημοι .

b) Άν $\displaystyle{ |a| \ne |b| }$ και |a+b^2|=|b||a+1|

νδο

Edit: Βαζω αλλα ένα πιο hardocore

c) Αν $\displaystyle{ |a| \ne |b| }$ Νδο $\displaystyle{ \frac{|a|}{|a+b|}+\frac{|b|}{|a-b|} \geq 1 }$

JimVerman · #9

dr.tasos έγραψε:Άσκηση 4

Βάζω και εγώ κατι σχετικά απλό στα απόλυτα :

Έστω $\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R} }$

a) Αν $\displaystyle{ ab \ne 0 }$ και ισχυει οτi $\displaystyle{ a|b|=b|a| }$ νδο $\displaystyle{ a ,b }$ ομόσημοι .

b) Άν $\displaystyle{ |a| \ne |b| }$ και νδο

α) $a\left | b \right |=b\left | a \right |\Leftrightarrow \frac{\left | a \right |}{\left | b \right |}=\frac{a}{b}\Leftrightarrow \left | \frac{a}{b} \right |=\frac{a}{b}\Leftrightarrow \frac{a}{b}\geq 0\Rightarrow ab\geq 0 \; \left ( \textnormal{\gr Απορρίπτεται το } \; ab= 0 \right ) \Rightarrow$
$\Rightarrow ab> 0\Rightarrow a,b \; \textnormal{\gr ομόσημοι}$

γ) $\frac{\left | a \right |}{\left | a+b \right |}+\frac{\left | b \right |}{\left | a-b \right |}\geq 1\Leftrightarrow \left | a \right |\left | a-b \right |+\left | b \right |\left | a+b \right |\geq \left | a+b \right |\left | a-b \right |\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left | a\left ( a-b \right ) \right |+\left | b\left (a+b \right ) \right |\geq \left | \left ( a+b \right ) \left ( a-b \right )\right |\Leftrightarrow \left | a^{2}-ab \right |+\left | ab+b^{2} \right |\geq \left | a^{2}-b^{2} \right |\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \boxed{\left | a^{2}-ab \right |+\left | ab+b^{2} \right |\geq\left | a^{2} -ab+ab-b^{2}\right |}$

$\textnormal{\gr το οποίο ισχύει από την τριγωνική ανισότητα. }$

Εκκρεμεί διόρθωση προς το τέλος της άσκησης.

Antonis_Z · #10

Για την 4:

dr.tasos έγραψε:Άσκηση 4 Έστω $\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R} }$

a) Αν $\displaystyle{ ab \ne 0 }$ και ισχυει οτi $\displaystyle{ a|b|=b|a| }$ νδο $\displaystyle{ a ,b }$ ομόσημοι .

b) Άν $\displaystyle{ |a| \ne |b| }$ και νδο

Edit: Βαζω αλλα ένα πιο hardocore

c) Αν $\displaystyle{ |a| \ne |b| }$ Νδο $\displaystyle{ \frac{|a|}{|a+b|}+\frac{|b|}{|a-b|} \geq 1 }$

β)υψώνω στο τετράγωνο και μετά τις πράξεις-παραγοντοποιήσεις έχω (1-b^2)(a^2-b^2)=0

.
Δηλαδή

ή

(απορρίπτεται από την εκφώνηση).
γ)Ισχύει ότι $|a|+|b|\geq|a+b|$ και $|a|+|b|\geq|a-b|$ .Εφαρμόζουμε αυτές τις δύο στο αριστερό μέλος και έχουμε: $LHS\geq \frac{|a|}{|a|+|b|}+\frac{|b|}{|a|+|b|}=1$

erxmer · #11

Aσκηση 5

Δίνονται οι παραστάσεις $A=\sqrt{\sqrt{2\sqrt[3]{2}}}, B=\frac{\displaystyle{3\sqrt{3}-2\sqrt{2}}}{\displaystyle{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}}$

1) Να αποδειχθεί οτι $A=\sqrt[3]{2}, B=5+\sqrt{6}$

2) Nα λυθεί η εξίσωση $|x+A^3|=B-\sqrt{6}$

3) Nα λυθεί η ανίσωση $|x-A|<\sqrt[3]{2}$

Ch.Chortis · #12

erxmer έγραψε:Aσκηση 5

Δίνονται οι παραστάσεις $A=\sqrt{\sqrt{2\sqrt[3]{2}}}, B=\frac{\displaystyle{3\sqrt{3}-2\sqrt{2}}}{\displaystyle{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}}$

1) Να αποδειχθεί οτι $A=\sqrt[3]{2}, B=5+\sqrt{6}$

2) Nα λυθεί η εξίσωση $|x+A^3|=B-\sqrt{6}$

3) Nα λυθεί η ανίσωση $|x-A|<\sqrt[3]{2}$

Στα γρήγορα...
1) $B=\dfrac {3\sqrt {3}-2\sqrt {2}} {\sqrt {3}-\sqrt {2}}=\dfrac {\sqrt {3}} {\sqrt {3}-\sqrt {2}} +2\dfrac {\sqrt {3}-\sqrt {2}} {\sqrt {3}-\sqrt {2}}=\dfrac {\sqrt {3} (\sqrt {3} +\sqrt {2})} {(\sqrt {3}-\sqrt {2}) (\sqrt {3}+\sqrt {2})}+2=3+\sqrt {6}+2=5+\sqrt {6}$ .

2)Έχουμε: $\displaystyle |x+(\sqrt [3] {2})^3|=5+\sqrt {6}-\sqrt {6} \Leftrightarrow |x+2|=5$ .Αν $x\displaystyle +2<0 \Rightarrow -x-2=5 \Rightarrow -x=7 \Rightarrow x=-7$ .

Αν $\displaystyle x+2>0 \Rightarrow x+2=5 \Rightarrow x=3$ .

3)Αν $\displaystyle x-\sqrt [3] {2}>0 \Rightarrow x-\sqrt [3] {2}<\sqrt [3] {2} \Rightarrow x<2\sqrt [3] {2}$ .Αν $\displaystyle x-\sqrt [3] {2} <0 \Rightarrow \sqrt [3] {2} -x<\sqrt [3] {2} \Rightarrow x>0$ .

KARKAR · #13

Άσκηση 6
1) Πώς θα παραστήσουμε τέσσερις , διαδοχικούς ( θετικούς) περιττούς ;

2) Ποιο είναι το άθροισμα των τετραγώνων τους ;

3) Ένας μόνο από τους 1040 , 1042 , 1044 , 1046

, μπορεί να είναι άθροισμα

τετραγώνων τεσσάρων διαδοχικών περιττών . Ποιος ?

4) Βρείτε τους τέσσερις αριθμούς που είναι λύσεις στο προηγούμενο ερώτημα

Ch.Chortis · #14

KARKAR έγραψε:Άσκηση 6
1) Πώς θα παραστήσουμε τέσσερις , διαδοχικούς ( θετικούς) περιττούς ;

2) Ποιο είναι το άθροισμα των τετραγώνων τους ;

3) Ένας μόνο από τους , μπορεί να είναι άθροισμα

τετραγώνων τεσσάρων διαδοχικών περιττών . Ποιος ?

4) Βρείτε τους τέσσερις αριθμούς που είναι λύσεις στο προηγούμενο ερώτημα

1)Μπορούμε να τους συμβολίσουμε έτσι: 2k-3,2k-1,2k+1,2k+3

με $k\in \mathbb {N},~k\geq 2$ (αν θέλουμε θετικούς).
2) Βρίσκουμε: $\displaystyle (2k+1)^2+(2k-1)^2+(2k+3)^2+(2k-3)^2=4k^2+4k+1+4k^2-4k+1+4k^2+12k^2+9+4k^2-12k+9=16k^2+20=4(4k^2+5)$ .
3)Ο αριθμός πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 4 άρα είτε θα είναι ο $\displaystyle 1040=4(4k^2+5) \Rightarrow 260=4k^2+5$ είτε ο $\displaystyle 1044=4(4k^2+5) \Rightarrow 261=4k^2+5$ .
Τώρα επειδή: $\displaystyle 4k^2+5=261 \Rightarrow 4k^2-256=(2k-16)(2k+16)=0 \Rightarrow k=\pm 8 \Rightarrow k=8$ ο αριθμός 1044

είναι ο σωστός.
3) Αντικαθιστούμε την τιμή k=8

και βρίσκουμε: $\displaystyle 2\cdot 8-3=13,~2\cdot 8-1=15,~2\cdot 8+1=17,~2\cdot 8+3=19$ άρα οι αριθμοί είναι οι 13,15,17,19

.

Ch.Chortis · #15

erxmer έγραψε:Aσκηση 5

Δίνονται οι παραστάσεις $A=\sqrt{\sqrt{2\sqrt[3]{2}}}...$
1) Να αποδειχθεί οτι $A=\sqrt[3]{2}$

Επειδή δεν είδα κανέναν να το απαντάει βάζω μία λύση χωρίς να είμαι σίγουρος μιάς και δεν έχω ασχοληθεί ιδιαίτερα με ασκήσεις που περιέχουν δείκτη(ελπίζω έτσι να το λένε το 3 που είναι αριστερά στο 2).
Υψώνουμε στον κύβο και παίρνουμε: $\displaystyle A^3=\left(\sqrt {\sqrt {2\sqrt [3] {2}}} \right)^3=\sqrt {\sqrt {(2\sqrt [3] {2})^3}}=\sqrt {\sqrt {8\cdot 2}}=\sqrt {\sqrt {16}}=\sqrt {4}=2$ άρα "γυρίζοντας πίσω τον κύβο" $\displaystyle A=\sqrt [3] {2}$ .
Μπορεί να κάνω και λάθος παρακαλώ κάποιος να με ενημερώσει.

JimVerman · #16

Άσκηση 7

Δίνεται η εξίσωση: $\left ( 5x-4 \right )^{2}+\left ( 4x+5 \right )^{2}+\left ( x-7 \right )\left ( x+7 \right )=2009+\left ( x-2\sqrt{2} \right )\left ( x+2\sqrt{2} \right )$ .

i) Να λυθεί η εξίσωση.

ii) Αν η

η μεγαλύτερη λύση της εξίσωσης, να απλοποιηθεί η παράσταση: $K=4\left | x+500 \right |+3\left | x-10 \right |-x-21$ για κάθε $x\in \left ( -y ,y \right )$ .

Άσκηση 8

Οι πραγματικοί αριθμοί $a , \; b , \; c$ είναι διαφορετικοί ανά δύο και ισχύει: $\alpha +\beta +\gamma =0$ . Να αποδείξετε ότι:

i) $\left ( 2a ^{2} +b c \right )\left ( 2b^{2}+ac \right )\left ( 2c^{2}+ab \right )\neq 0$ ,

ii) $\frac{a^{2}}{2a ^{2} +b c}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+ac}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+ab}=1$ .

Άσκηση 9

Για έναν τετραψήφιο φυσικό αριθμό $\overline{abcd}$ ισχύει: a+c=b+d

. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός αυτός είναι πολλαπλάσιο του

.

Από τον Β' Ευκλείδη (Τεύχος 73) της Ε.Μ.Ε.

dr.tasos · #17

JimVerman έγραψε:Άσκηση 7

Δίνεται η εξίσωση: $\left ( 5x-4 \right )^{2}+\left ( 4x+5 \right )^{2}+\left ( x-7 \right )\left ( x+7 \right )=2009+\left ( x-2\sqrt{2} \right )\left ( x+2\sqrt{2} \right )$ .

i) Να λυθεί η εξίσωση.

ii) Αν η η μεγαλύτερη λύση της εξίσωσης, να απλοποιηθεί η παράσταση: $K=4\left | x+500 \right |+3\left | x-10 \right |-x-21$ για κάθε $x\in \left ( -y ,y \right )$ .

Άσκηση 9

Για έναν τετραψήφιο φυσικό αριθμό $\overline{abcd}$ ισχύει: . Να αποδείξετε ότι ο αριθμός αυτός είναι πολλαπλάσιο του .

Από τον Β' Ευκλείδη (Τεύχος 73) της Ε.Μ.Ε.

α) Πράξεις .... $\displaystyle{ x=\pm 7 }$
b) $\displaystyle{ x \in (-7,7) }$ Άρα το πρώτο απόλυτο βγαίνει κανονικα και το δευτερο αλλαγμενο $\displaystyle{ A=2011 }$

$\displaystyle{\overline{abcd} =1000a+100b+10c+d \Leftrightarrow \overline{abcd}= 1000a+100b+10(b+d-a)+d \Leftrightarrow \overline{abcd}=990a+110b+11d \Leftrightarrow \overline{abcd}=11(90a+10b+d) }$ άρα προφανώς πολλαπλάσιο του $\displaystyle{ 11 }$

Drama Prinzessin · #18

Άσκηση 10

Α) Να δειχθεί ότι :
Αν $\alpha <\beta <\gamma$

$\frac{|\gamma -\alpha |-|\alpha -\beta |}{|\gamma -\beta |} + \frac{|\beta -\alpha |+|\beta -\gamma | }{|\gamma -\alpha |}=2$

Β) Αν $|x|\leq 2$ και $|y|\leq 4$ να αποδείξετε ότι $|5x-3y|\leq 22$

Ιστοσελίδα · #19

ΑΣΚΗΣΗ 11η

Μιας και φέτος έχουμε και τις πιθανότητες στην Α τάξη μια ιδέα για κάτι εύκολο (πχ 2ο Θέμα)

Αν $\displaystyle{ {\rm A},{\rm B} }$ είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου $\displaystyle{ \Omega }$ με πιθανότητες $\displaystyle{ P(A) = 0,4 }$ , $\displaystyle{ P(B) = 0,5 }$ και $\displaystyle{ P({\rm A} \cap B) = 0,2 }$ .

1. Να δείξετε ότι: $\displaystyle{ P({\rm A} \cup B) = 0,7 }$ .
2. Θεωρούμε το ενδεχόμενο: «Πραγματοποιείτε ακριβώς ένα από τα $\displaystyle{ {\rm A} }$ και $\displaystyle{ {\rm B} }$ » . Να γραφτεί στην συμβολική γλώσσα των συνόλων με την βοήθεια των $\displaystyle{ {\rm A},{\rm B} }$ και στην συνέχεια να βρεθεί η πιθανότητα του.
3. Αν $\displaystyle{ \Gamma }$ είναι ένα τρίτο ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου $\displaystyle{ \Omega }$ , τότε να υπολογίσετε την παράσταση: $\displaystyle{ K = \left| {1 - P(\Gamma )} \right| + \left| {P(\Gamma )} \right| }$

JimVerman · #20

Drama Prinzessin έγραψε:Άσκηση 10

Α) Να δειχθεί ότι :
Αν $\alpha <\beta <\gamma$

$\frac{|\gamma -\alpha |-|\alpha -\beta |}{|\gamma -\beta |} + \frac{|\beta -\alpha |+|\beta -\gamma | }{|\gamma -\alpha |}=2$

Β) Αν $|x|\leq 2$ και $|y|\leq 4$ να αποδείξετε ότι $|5x-3y|\leq 22$

Α) Επειδή είναι: $\gamma -\alpha >0$ , $\alpha -\beta <0$ , $\gamma -\beta >0$ , $\beta -\alpha >0$ , $\beta -\gamma <0$ και $\gamma -\alpha >0$ , η παράσταση $\frac{|\gamma -\alpha |-|\alpha -\beta |}{|\gamma -\beta |} + \frac{|\beta -\alpha |+|\beta -\gamma | }{|\gamma -\alpha |}$ είναι ίση με την $\frac{\gamma -\alpha -\left ( \beta -\alpha \right )}{\gamma -\beta } + \frac{\beta -\alpha +\gamma -\beta }{\gamma -\alpha }=\frac{\gamma -\alpha -\beta +\alpha }{\gamma -\beta }+\frac{\gamma -\alpha }{\gamma -\alpha }=\frac{\gamma -\beta }{\gamma -\beta }+1=1+1=\boxed{2} \; \textnormal{\en Q.E.D}$

Β) Είναι: $\left.\begin{matrix} \left | x \right |\leq 2\\ \left | y \right |\leq 4 \end{matrix}\right\}\Rightarrow \left.\begin{matrix} \left | 5x \right |\leq 10\\ \left | 3y \right |\leq 12 \end{matrix}\right\}\Rightarrow \boxed{\left | 5x \right |+\left | 3y \right |\leq 22}$ .

Από την τριγωνική ανισότητα, όμως, έχω: $\boxed{\left | 5x-3y \right |\leq \left | 5x \right |+\left | 3y \right |}$ .

Δηλαδή από την μεταβατική ιδιότητα: $\boxed{\left | 5x-3y \right |\leq 22} \; \texnormal{\en Q.E.D}$ .

Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση