Μιας και τη προηγούμενη άσκηση την είχαμε ξανασυζητήσει, ας δούμε μια άλλη, που αξίζει να την έχουμε στο αρχείο μας.
Είναι κατά τη γνώμη μου πολύ καλή και αξίζει κάποια στιγμή να τη διδάξουμε στις επαναλήψεις μας.
Άσκηση
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση
με συνεχή παράγωγο.Θεωρούμε
αφενός τη συνάρτηση
με x>0και αφετέρου τους μιγαδικούς αριθμούς z=f(β)+βi, και w=α+f(α)i, με
, με α<β.1. Αν είναι
, να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός zw είναι φανταστικός.2. Αν
και για κάθε x>0 η συνάρτηση g είναι κυρτή, να αποδειχθούν τα εξής:α. f(e)=0
β.
για κάθε x>0.Θωμάς
![\int_{a}^{b}{g^{\prime\prime}(x)dx}=[g^\prime(x)]_a^b=g^\prime(a)-g^\prime(b)=\frac{f(a)}{a}-\frac{f(b)}{b}=0\Rightarrow f(a)b=af(b)](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/9462bec4fb535d6539daef8b7a80a450.png "\int_{a}^{b}{g^{\prime\prime}(x)dx}=[g^\prime(x)]_a^b=g^\prime(a)-g^\prime(b)=\frac{f(a)}{a}-\frac{f(b)}{b}=0\Rightarrow f(a)b=af(b)")
(1)![zw=...=[af(b)-bf(a)]+[f(b)f(a)+ab]i](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b23b4024120008319c3b8dfda22a9f14.png "zw=...=[af(b)-bf(a)]+[f(b)f(a)+ab]i")
![\int_{e}^{1}{g^\prime(x)dx}=\int_{1}^{e}{f^\prime(x)lnxdx}\Rightarrow g(1)-g(e)=[f(x)lnx]_1^e-\int_{1}^{e}{f(x)\frac{1}{x}dx}\Rightarrow \int_{1}^{1}{\frac{f(u)}{u}}-g(e)=f(e)lne-f(1)ln1-g(e)\Rightarrow 0-g(e)=f(e)1-0-g(e)\Rightarrow f(e)=0](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/5aa3398eccfce1b2aca96aa36a2644b2.png "\int_{e}^{1}{g^\prime(x)dx}=\int_{1}^{e}{f^\prime(x)lnxdx}\Rightarrow g(1)-g(e)=[f(x)lnx]_1^e-\int_{1}^{e}{f(x)\frac{1}{x}dx}\Rightarrow \int_{1}^{1}{\frac{f(u)}{u}}-g(e)=f(e)lne-f(1)ln1-g(e)\Rightarrow 0-g(e)=f(e)1-0-g(e)\Rightarrow f(e)=0")
και 
και ειναι 