Δυο ζυγίσεις

[achilleas]

Έχουμε έξι νομίσματα που ζυγίζουν 1,2,3,4,5 και 6 γραμμάρια, τα οποία εξωτερικά φαίνονται όμοια εκτός από τις ετικέτες τους. Ο αριθμός {1,2,3,4,5,6} στην ετικέτα κάθε νομίσματος θα'πρεπε να αντισοιχεί στο βάρος του. Πως μπορούμε να αποφασίσουμε αν οι αριθμοί αυτοί είναι σωστοί, χρησιμποποιώντας μια ζυγαριά ακριβώς δυο φορές;

(Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας)

Φιλικά,

Αχιλλέας

[billy_scabilly]

Πρώτη ζύγιση το 1,2,3 με το 6. Πρέπει να είναι ίσα. Αν είναι ίσα τότε καταλαβαίνουμε ότι όντως είναι το το 6 αλλά δεν ξέρουμε ποιο από τα 1,2,3 είναι ποιο (αυτό διότι όποια τρία νομίσματα προσθέσεις έχουν άθροισμα >= 6). Μετά βάζει τα 1,2,4 και 3,5 και πρέπει να γέρνει προς τα δεξιά . Πράγματι αν δεν ήταν σωστό θα γέρνε προς τα αριστερά(τα 4 και 5 εκ κατασκευής δεν είναι στο ίδιο μέρος). Ελπίζω μην έχασα τίποτα.

[Demetres]

Νομίζω υπάρχει λάθος αφού δεν ξεχωρίζεις το 1 από το 2.

Χρησιμοποιώντας την αρχική ιδέα, μετά από το πρώτο ζύγισμα του billy βάζω τα 1,6 από τα αριστερά και τα 3,5 από τα δεξιά. Γνωρίζουμε ότι το 6 είναι σωστό και άρα στα αριστερά το βάρος είναι τουλάχιστον 7 με ισότητα αν και μόνο αν τα 1 είναι σωστό. Επίσης στα δεξιά έχουμε ένα νόμισμα από τα 1,2,3 και ένα από τα 4,5 οπότε το βάρος είναι το πολύ 8 με ισότητα αν και μόνο αν τα 3,5 είναι σωστά. Επομένως αν η ζυγαριά όντως πάει προς τα δεξιά τότε και τα 1,3,5 είναι σωστά. Οπότε επιπλέον γνωρίζουμε και το 2 και το 4.

[billy_scabilly]

Ναι σωστά , είχα παρερμηνεύσει ένα σημείο της εκφώνησης, έχεις απόλυτο δίκαιο.

[achilleas]

Πολύ ωραία!

Για μια ενδιαφέρουσα εργασία με γενικεύσεις του παραπάνω ποβλήματος κτλ δείτε

http://arxiv.org/abs/1006.4135

Baron Munchhausen Redeems Himself: Bounds for a Coin-Weighing Puzzle
Tanya Khovanova, Joel Brewster Lewis


Φιλικά,

Αχιλλέας