Ακέραιο μέρος και εξίσωση

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\left[ {\frac{{2x - 1}}{3}} \right] + \left[ {\frac{{4x + 1}}{6}} \right] = \frac{{5x - 4}}{3},x \in R}$

manos66 · #2

Απάντηση;;
οι : $\frac{1}{5},\frac{4}{5},\frac{7}{5},-\frac{2}{5}$

zorba_the_freak · #3

Επειδή το πρώτο μέλος είναι ακέραιος, προκύπτει ότι $\displaystyle\frac{5x-4}{3}=k\in\mathbb{Z},$ οπότε είναι $\displaystyle x=\frac{3k+4}{5},$ με $k\in\mathbb{Z}.$

Αντικαθιστώντας $\displaystyle x=\frac{3k+4}{5},$ στη δοσμένη σχέση και μετά τις πράξεις παίρνουμε:

$\displaystyle\left[\frac{2k+1}{5}\right]+\left[\frac{4k+7}{10}\right]=k$

Σύμφωνα με τη σχέση $[x]\leq x<[x]+1,$ παίρνουμε:

$\displaystyle\left[\frac{2k+1}{5}\right]\leq\frac{2k+1}{5}<\left[\frac{2k+1}{5}\right]+1$ και $\displaystyle\left[\frac{4k+7}{10}\right]\leq\frac{4k+7}{10}<\left[\frac{4k+7}{10}\right]+1$

Με πρόσθεση αυτών παίρνουμε:

$\displaystyle k\leq\frac{2k+1}{5}+\frac{4k+7}{10}<k+2,$ άρα προκύπτει $k\in\{-5,-4,\cdots,4\}$

To μόνο που μένει είναι να υπολογίσουμε τις αντίστοιχες τιμές του

και να κάνουμε επαλήθευση για κάθε μία από τις τιμές αυτές, μιας και ενδέχεται κάποιες να απορρίπτονται.

#4

Νομίζω πως αυτή η άσκηση θα μπορούσε να διδαχθεί και στο σχολείο. Εκτός και αν έχει καταργηθεί η διδασκαλία του ακεραίου μέρους ενός αριθμού. Τι λένε οι πιο έμπειροι;

mathxl · #5

Αν δεν κάνω λάθος, το ακέραιο μέρος έχει να εμφανιστεί σε σχολικό βιβλίο από το 1992

Ακέραιο μέρος και εξίσωση

Ακέραιο μέρος και εξίσωση

Re: Ακέραιο μέρος και εξίσωση

Re: Ακέραιο μέρος και εξίσωση

Re: Ακέραιο μέρος και εξίσωση

Re: Ακέραιο μέρος και εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση