Όριο του ημx,όταν το x τείνει στο + άπειρο κτλ.

Α.Κυριακόπουλος · #1

Το συνημμένο περιέχει τις αποδείξεις, χωρίς ακολουθίες, αλλά μόνο με τη θεωρία που έχει το σχολικό βιβλίο περί ορίων, ότι τα παρακάτω όρια δεν υπάρχουν:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \eta \mu x,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \sigma \upsilon \nu x,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ \pm }} \eta \mu \frac{1}{x},{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ \pm }} \sigma \upsilon \nu \frac{1}{x}$

Microsoft Word - Μελέτη των παρακάτω ορίων.pdf: (55.8 KiB) Μεταφορτώθηκε 2900 φορές

k-ser · #2

Αντώνη, πολύ καλή και εύκολη η απόδειξη.

Για το όριο $\displaystyle \lim{\limits_{x\to{0}}}\sigma\upsilon\nu\frac{1}{x}$ ,
έχω μια απόδειξη αρκετά πιο δύσκολη...
Στο παρακάτω αρχείο.

1.doc: (59 KiB) Μεταφορτώθηκε 467 φορές

#3

Με τον ορισμό του ορίου.

S.E.Louridas · #4

Μεθοδολογικό σχόλιο

Θεωρώ πως θα μπορούσαμε να εργαστούμε και με την γενικότερη αντίληψη που ακολουθεί όταν μάλιστα αφήσουμε το τυχόν τόξο $a:\sin a \ne 0 \wedge \cos a \ne 0.$

Γνωρίζουμε ότι

$- 1 \leqslant \sin x \leqslant 1.$ Έστω ότι

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x = \lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow - 1 \leqslant \lambda \leqslant 1.$ Έχουμε ότι:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x = \mathop {\lim }\limits_{x \pm a \to + \infty } \sin \left( {x \pm a} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sin x\cos a \pm \cos x\sin a} \right) = \lambda ,$ για την τυχούσα πραγματική α οπως αναφέρθηκε στην αρχή .Δηλ. για παράδειγμα αν

$a = \frac{\pi } {4} \Rightarrow \lambda \sqrt 2 = 2\lambda \Rightarrow \lambda = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x = 0 \wedge \sqrt 2 \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos x = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos x = 0 \Rightarrow 1 = 0,$ άτοπο.

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #5

ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΑΝΑΛΥΣΗ
1)ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ:
Γνωρίζουμε ότι

$- 1 \leqslant \sin x \leqslant 1.{\rm A}\nu \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x = \ell \in \mathbb{R} \cup \left\{ { - \infty , + \infty } \right\} \Rightarrow - 1 \leqslant \ell \leqslant 1.$ Παρατηρούμε ότι:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x \pm a} \right) = + \infty ,$ όταν α πραγματική σταθερή .Οπότε αν υποθέσουμε πως

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x = \ell \in \mathbb{R}$ και με βάση τον τύπο πού δίνει το όριο σύνθετης συνάρτησης παίρνουμε:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin \left( {x + a} \right) = \ell = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sin x\cos a + \sin a\cos x} \right) \wedge \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin \left( {x - a} \right) = \ell = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sin x\cos a - \sin a\cos x} \right),$ Γνωρίζουμε επίσης ότι :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } f\left( x \right) = \ell _1 \in \mathbb{R} \wedge \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } g\left( x \right) = \ell _2 \in \mathbb{R},x_0 \in \mathbb{R} \cup \left\{ { - \infty , + \infty } \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } \left( {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right) = \ell _1 \pm \ell _2 .$
2) ΛΥΣΗ :
Υποθέτουμε ότι

$\exists \ell \in \mathbb{R}:\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x = \ell .$ Θεωρούμε

$a = \frac{\pi } {4} \Rightarrow \sin \frac{\pi } {4} = \cos \frac{\pi } {4} = \frac{{\sqrt 2 }} {2},$ οπότε με βάση τις προηγούμενες θεωρητικές αναφορές παίρνουμε

$2\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sin x} \right)\frac{{\sqrt 2 }} {2} = 2\ell \Rightarrow \ell \sqrt 2 = 2\ell \Rightarrow \ell = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x = 0.$ Άρα έχουμε ότι:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{\sqrt 2 }} {2}\sin x + \frac{{\sqrt 2 }} {2}\cos x} \right) = 0 \wedge \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{\sqrt 2 }} {2}\sin x} \right) = \frac{{\sqrt 2 }} {2}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos x = 0.$
Τελικά

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos x = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sin ^2 x + \cos ^2 x} \right) = 0 \Rightarrow 1 = 0,{\rm A}\tau o\pi o.$
Επομένως ,με βάση την εις άτοπο απαγωγής , δεν υπάρχει

$\ell \in \mathbb{R}:\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin x = \ell .$
Παρατήρηση
Τα παραπάνω ισχύουν ,όχι μόνο για

$a = \frac{\pi } {4},$ αλλά και για οποιαδήποτε σταθερή

$a:\sin a \ne 0 \wedge \cos a \ne 0.$

S.E.Louridas

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ : Μιλώ όταν έχω να πω κάτι καλλίτερο από την σιωπή.

Στέλιος Μαρίνης · #6

Φίλε Αντώνη, έχω μια μικρή παρατήρηση σχετικά με την απόδειξη για το 1/χ. Κοίτα την στο συνημμενο σε παρακαλώ και πες μου την άποψή σου.

adonis.doc: (35 KiB) Μεταφορτώθηκε 265 φορές

Στέλιος Μαρίνης · #7

: Untitled-2.png (26.49 KiB) Προβλήθηκε 10603 φορές

Όριο του ημx,όταν το x τείνει στο + άπειρο κτλ.

Όριο του ημx,όταν το x τείνει στο + άπειρο κτλ.

Re: Όριο του ημx,όταν το x τείνει στο + άπειρο κτλ.

Re: Όριο του ημx,όταν το x τείνει στο + άπειρο κτλ.

Re: Όριο του ημx,όταν το x τείνει στο + άπειρο κτλ.

Re: Όριο του ημx,όταν το x τείνει στο + άπειρο κτλ.

Re: Όριο του ημx,όταν το x τείνει στο + άπειρο κτλ.

Re: Όριο του ημx,όταν το x τείνει στο + άπειρο κτλ.

Μέλη σε σύνδεση