Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Α.Κυριακόπουλος · #21

Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ η εξίσωση: $\displaystyle{\sqrt {4{x^2} - 11} = 2x - 1\,\,(1)}$
ΛΥΣΗ. Μπορούμε να εργαστούμε με έναν από τους παρακάτω δύο τρόπους.
• Πρώτος τρόπος.Ένας αριθμός $x\in \mathbb{R}$ για να ανήκει στο σύνολο ορισμού της εξίσωσης (1)

πρέπει και αρκεί: $4{x^2} - 11 \ge 0$ . Άρα, το σύνολο ορισμού της εξίσωσης είναι: $D = \left\{ {x \in \mathbb{R}|4{x^2} - 11 \ge 0} \right\} = \left( { - \infty , - \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{{\sqrt {11} }}{2}, + \infty } \right)$ .
Με $x\in D$ , έχουμε:
$\displaystyle{(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x - 1 \ge 0 \\ 4{x^2} - 11 = {(2x - 1)^2} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \frac{1}{2} \\ 4{x^2} - 11 = 4{x^2} - 4x + 1 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \frac{1}{2} \\ x = 3 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3}$ .
O αριθμός

ανήκει προφανώς στο σύνολο

. Άρα η δοσμένη εξίσωση έχει τη μοναδική λύση x=3

.
• Δεύτερος τρόπος.Όπως ακριβώς προηγουμένως βρίσκω το σύνολο ορισμού της εξίσωσης:
$D = \left\{ {x \in \mathbb{R}|4{x^2} - 11 \ge 0} \right\} = \left( { - \infty , - \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{{\sqrt {11} }}{2}, + \infty } \right)$ .
Έστω ότι $x\in D$ είναι μια λύση της δοσμένη εξίσωσης. Τότε:
$\displaystyle{\sqrt {4{x^2} - 11} = 2x - 1 \Rightarrow 4{x^2} - 11 = {\left( {2x - 1} \right)^2} \Rightarrow 4{x^2} - 11 = 4{x^2} - 4x + 1 \Rightarrow x = 3}$ .
O αριθμός

ανήκει προφανώς στο σύνολο

και όπως βρίσκουμε εύκολα επαληθεύει την εξίσωση (1)

. Άρα η δοσμένη εξίσωση έχει τη μοναδική λύση x=3

.
Σχόλιο.Αν δεν γράφαμε το σύνολο ορισμού

υπό μορφή ενώσεως διαστημάτων του $\mathbb{R}$ δεν θα ήταν λάθος ( άλλωστε υπάρχουν περιπτώσεις που αυτό δεν μπορεί να γίνει).

KARKAR έγραψε: .................................................................................................................................................
Μάλιστα , με κίνδυνο να φανώ αδιάκριτος , θα ζητούσα από τον Αντώνη Κυριακόπουλο του οποίου , δικαίως , η γνώμη έχει για όλους μας ιδιαίτερο βάρος , να εκφέρει μια πιο σαφή άποψη για τη βαθμολόγηση της λύσης 4)

Αγαπητέ KARKAR.
Οι βαθμοί που θα έβαζα εγώ, με την προϋπόθεση ότι οι εξισώσεις με ριζικά έχουν διδαχθεί σωστά, είναι οι εξής (υποθέτω ότι στις λύσεις των μαθητών, στην ένωση των συνόλων, το πρώτο $\frac{{\sqrt {11} }}{2}$ , είναι $- \frac{{\sqrt {11} }}{2}$ , δηλαδή ότι οι μαθητές το έχουν σωστά) :
• 1η λύση. Βαθμός: 8.
• 2η λύση. Βαθμός: 13.
• 3η λύση. Βαθμός: 17.
• 4η λύση. Βαθμός: 18.
• 5η λύση. Βαθμός: 19.
•Δεν είμαι σίγουρος ότι οι μαθητές στις λύσεις χρησιμοποιούν συνειδητά τις ισοδυναμίες και τις συνεπαγωγές. Σε ένα σημείο γράφουν: « πρέπει», ενώ στη θέση του θα έπρεπε να είχαν γράψει: « πρέπει και αρκεί». Ξέρουν άραγε το νόημα των λέξεων αυτών; Γιατί ούτε ένας μαθητής δεν το γράφει σωστά;
•Πιστεύω όμως ότι οι βαθμοί που θα έβαζε ο καθηγητής που τους έκανε μάθημα θα απεικόνιζαν περισσότερο την αξία ενός εκάστου μαθητή .Γιατί ο βαθμός σε ένα γραπτό, μεταξύ των άλλων, θα πρέπει να δείχνει και το πόσο κατανόησαν και εμπέδωσαν οι μαθητές αυτά που διδάχτηκαν. Μόνο ο καθηγητής που τους έκανε μάθημα και γνωρίζει τους μαθητές, μπορεί να διακρίνει, έστω και με κίνδυνο να κάνει λάθος. αν μια παράλειψη ενός μαθητή οφείλεται σε άγνοια ή στο ότι το θεώρησε προφανές. Αν κρίνει ότι το θεώρησε προφανές, ίσως να μην του αφαιρέσει μονάδες, αλλά οπωσδήποτε θα πρέπει να του επιστήσει την προσοχή ότι στα μαθηματικά βαθμολογούμε με βάση και μόνον αυτά που βλέπουμε.
•Με την ευκαιρία, μιλώντας γενικά και χωρίς να απευθύνομαι ειδικά σε κανέναν, θα ήθελα να τονίσω ότι, με το να βάζουμε σε ένα μαθητή βαθμό που δεν αξίζει όχι μόνο δεν τον βοηθάμε να δει τα λάθη του και να γίνει καλύτερος, αλλά υποβαθμίζουμε και το ρόλο μας (δεν αναφέρομαι στη μικρή διαφορά μεταξύ των βαθμών δύο βαθμολογητών που είναι φυσιολογικό να συμβεί). Είναι ολέθριο, από πάσης απόψεως, να βάζουμε στους μαθητές βαθμούς που δεν αξίζουν, μόνο και μόνο για να είμαστε αρεστοί!!! Όμως είναι εξίσου κακό και ολέθριο να αδικούμε τους μαθητές..
Φιλικά.

KARKAR · #22

Η παραπάνω δημοσίευση του Αντώνη , δημιουργεί (τουλάχιστον σε μένα ) τρία διαφορετικά συναισθήματα :

1) Επιβεβαιώνει το πόσο βαθύς γνώστης του αντικειμένου είναι και πόσο χρήσιμες ιδέες μπορεί να πάρει

κανείς μελετώντας τα κείμενά του . Δεν κρύβω το γεγονός , ότι η παρούσα συζήτηση προκλήθηκε από το "Περί Εξισώσεων" .

2) Ανακούφιση , διότι η προταθείσα βαθμολόγηση , προσεγγίζει τις δύο προηγηθείσες ( αν εξαιρεθεί το

"αυστηρότατα

"!) , αλλά και αύξηση της εκτίμησης προς τον επιστήμονα που δεν διστάζει να τοποθετηθεί !

3) Μένει μια μικρή απορία , για το τι ακριβώς είναι εκείνο που καθιστά την απάντηση 4) ελλιπή

αλλά αν της δώσουμε

.... Οφείλω να επαναλάβω πάντως , ότι προσωπικά προτιμώ τη 1η λύση του Αντώνη .

Σημείωση : Ναι η σωστή έκφραση είναι "πρέπει και αρκεί " ( μόνο του το "πρέπει" , υποδηλώνει ότι ενδέχεται να

απαιτούνται και άλλοι περιορισμοί ) . Στα σχολικά βιβλία και της Α' αλλά και της Β' , χρησιμοποιείται το "πρέπει "

ή άλλες ισοδύναμες με το "πρέπει " εκφράσεις και μόνο στο βιβλίο της Κατεύθυνσης της Γ' , εισάγεται το

"αν και μόνο αν" , ή "πρέπει και αρκεί " κ.λ.π.

Λάθος ασφαλώς , ίσως όμως όχι τόσο σημαντικό . Πιθανόν , πάντως , να εξυπηρετεί τη διδασκαλία , διότι

είναι μάλλον δύσκολο ο μαθητής της Α' Λυκείου να κατανοήσει τη λεπτή διαφορά των δύο εκφράσεων

και στον διδάσκοντα να την εξηγήσει , με κίνδυνο , όμως , με την απλούστευση να κατεβεί από το infimum ...

Bill K · #23

Η 4 είναι ελλιπής, νομίζω γιατί δεν βρίσκει το σύνολο ορισμού της εξίσωσης.

Πάντως εγώ δεν τα ειχά διδαχθεί με τόση σαφήνεια.Μάλιστα θυμάμαι ότι πέρσυ ο καθηγητής μας τα πέρναγε λίγο γρήγορα για να αφιερώσει περισσότερες διδακτικές ώρες στους λογάριθμους.Έτσι όμως δεν ξεκαθαρίζονται κάποια πράγματα και δημιουργείται σύγχυση στο μαθητή.Τι να πω...δεν ξέρω ποια είναι η κύρια αιτία του προβλήματος.

Αυτό που μπορώ να κάνω είναι να αναζητώ και να επαληθεύω ή και να ενισχύω αυτά που διδάσκομαι.Υπάρχουν διάφορες πηγές και ευτυχώς υπάρχουν και πολλοί άνθρωποι που μπορούν και θέλουν να βοηθήσουν.

Εντάξει βγήκα λίγο εκτός αλλά ήθελα να το αναφέρω

Α.Κυριακόπουλος · #24

Αγαπητέ KARKAR.
1) Στην τέταρτη λύση, ο λύτης δεν προβληματίζεται καθόλου από το γεγονός ότι στην εξίσωση υπάρχει ένα ριζικό κάτω από το οποίο υπάρχει ο άγνωστος. Δεν γνωρίζει ότι τα υπόρριζα οφείλουν να είναι θετικά ή μηδέν; Δεν το πιστεύω. Εκείνο που πιστεύω (και αυτό φαίνεται και από τις άλλες λύσεις) είναι ότι δεν του έχει τονισθεί επαρκώς ότι όταν γράφουμε μια σχέση που περιέχει ένα άγνωστο μαθηματικό αντικείμενο, θα πρέπει να γνωρίζουμε σε ποιο σύνολο ανήκει το αντικείμενο αυτό, γιατί διαφορετικά δεν έχουν νόημα οι σχέσεις που γράφουμε (και γι' αυτό του έβαλα 18 και όχι παρακάτω). Με άλλα λόγια, εκείνο που κάνει την τέταρτη λύση ελλιπή είναι ότι δεν έχει βρει το σύνολο ορισμό της εξίσωσης και επομένως δεν ξέρουμε για ποιες τιμές του αγνώστου έχουν νόημα τα δύο μέλη της εξίσωσης, καθώς και οι συνεπαγωγές που γράφει.
2) Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι η διαφορά μεταξύ του « πρέπει» και του « πρέπει και αρκεί» δεν είναι και τόσο λεπτή. Η διαφορά είναι η ίδια με εκείνη που υπάρχει μεταξύ των χρημάτων που δίνουμε για ένα απλό εισιτήριο (πρέπει) και των χρημάτων που δίνουμε για ένα εισιτήριο με επιστροφή (πρέπει και αρκεί)( συνήθως τα διπλάσια!!!).
Φιλικά.

#25

Σε ένα παλαιότερο σημείωμα μου (posting.php?mode=edit&f=27&p=56197) είχα αναφερθεί στην αναγκαιότητα του να κοιτάμε τι έχουν γράψει και άλλοι άνθρωποι. Αν και το αρχικό μήνυμα εδώ είχε να κάνει με ζητήματα βαθμολόγησης η συζήτηση άγγιξε και θέματα μαθηματικής ορθότητας. Επ΄αυτού την γνώμη μου την εξέθεσα πιο πάνω. Ας δούμε (και φαντάζομαι πως δεν καταχρώμαι του χώρου) πως αντιμετωπίστηκαν παρόμοια ζητήματα από διάφορους συγγραφείς. Τα παραθέτω χωρίς σχολιασμό.
1) Βαβαλέτσκος, Μπούσγος Μαθηματικά Δ' Γυμνασίου ΟΕΔΒ 1968

: Βαβαλέτσκος, Μπούσγος.png (121.5 KiB) Προβλήθηκε 2843 φορές

2) Πέτρος Τόγκας, 'Αγεβρα τόμος Β χ.χ.

: Τογκας.png (182.85 KiB) Προβλήθηκε 2843 φορές

3) Σπύρος Κανέλλος, 'Αλγεβρα δια τα Λύκεια. 1969

: Κανέλλος.png (106.77 KiB) Προβλήθηκε 2843 φορές

4) Γεώργιος Χρ. Παπανικολάου, Μαθήματα Αλγέβρας, 1945

: Παπανικολάου.png (174.56 KiB) Προβλήθηκε 2843 φορές

5) Samuel Greitzer, International Mathematical Olympiads 1959-1977, 1978

: Greitzer.png (48.74 KiB) Προβλήθηκε 2843 φορές

6) Titu Andreescu, Dorin Andrica, 360 Problems for Mathematical Contests, 2003

: Andreescu.png (42.6 KiB) Προβλήθηκε 2843 φορές

7) Edward Lozansky, Cecil Rousseau , Winning Solutions , 1996

: Lozansky, Rousseau.png (56.7 KiB) Προβλήθηκε 2843 φορές

8) Walter Mientka, Mathematical Olympiads Problems and Solutions

: Mientka.png (28.89 KiB) Προβλήθηκε 2843 φορές

Μαυρογιάννης

#26

Γενικά σχόλια !

Όπως έχω ξαναγράψει και παραπάνω , οι άρρητες εξισώσεις παρουσιάζουν μια πολυμορφία αλλά συχνά και ιδιαίτερη δυσκολία στη λύση τους. Αυτό έχει ως συνέπεια να βλέπουμε για την ίδια άσκηση πολλές προσεγγίσεις και να είναι όλες σωστές, όχι μόνο στη χώρα μας αλλά και σε όλον τον κόσμο(Βλέπε το μήνυμα Μαυρογιάννη παραπάνω).

- Άλλοτε είναι επιβεβλημένο να θέτουμε όλους τους αναγκαίους περιορισμούς για να ορίζονται τα υπόρριζα και να προχωράμε (με συνεπαγωγές ή καλύτερα με βήματα χωρίς να νοιαζόμαστε αν είναι αντιστρεπτά), διότι μετά τη λύση της τελικής εξίσωσης οι περιορισμοί μας βοηθούν να απορρίψουμε τυχόν ''κακές τιμές'' και να γλυτώσουμε την επαλήθευση.

-Άλλοτε δε βάζουμε πουθενά περιορισμούς, αλλά επαληθεύουμε όλες τις υποφήφιες τιμές που προκύπτουν. Ωστόσο αυτή η μέθοδος, άρριστη και πλήρης σε όλα, έχει τις αδυναμίες της, ειδικά αν προκύψουν δύσκολοι αριθμοί και η επαλήθευση είναι πολύ επίμονη ή σχεδόν αδύνατη.Μια τέτοια εξίσωση είναι και η

$\displaystyle{ \sqrt {x^4+5x^2+6x-12} =1- x^2 }$

στην οποία η κλασματική ρίζα είναι δύσκολη στην επαλήθευση, ενώ αν θέταμε τον περιορισμό $1-x^2 \geq 0$ , θα γλυτώναμε με την πρώτη ματιά όλη αυτή τη φασαρία.

- Σε πολλές περιπτώσεις , όταν βάζουμε όλους τους περιορισμούς, τίθεται αμέσως το εξής σημαντικό ερώτημα : ''να κάνουμε αμέσως τη συναλήθευση των περιορισμών ή να εξετάσουμε σε αυτούς, και για καθέναν χωριστά, μία μία τις τιμές που θα προκύψουν στο τέλος ; '' Εδώ η απάντηση δεν είναι μονοσήμαντη. Θα ήταν ευχής έργο να μπορούσαμε να κάνουμε συναλήθευση, αλλά τι θα συμβεί αν οι περιορισμοί δε λύνονται, όπως π.χ. στην παραπάνω εξίσωση ; Εκτός αυτού, μερικές φορές είναι μεν εφικτή η συναλήθευση, αλλά η τελική εξίσωση που προκύπτει είναι αδύνατη και έτσι όλος ο κόπος πάει χαμένος.

- Μερικές φορές το να θέσουμε όλους τους περιορισμούς και να τους συναληθεύσουμε είναι η καλύτερη αντιμετώπιση.Για παράδειγμα στην εξίσωση :

$\displaystyle{ \sqrt {x-2} +\sqrt {x^3-8} =\sqrt {16-x^4} }$

η λύση του συστήματος των περιορισμών δίνει x=2

που με μια απλή παρατήρηση βλέπουμε ότι είναι η λύση της εξίσωσης,Φανταστείτε τι δουλειά θα είχαμε να κάνουμε, αν αφήναμε τους περιορισμούς και προσπαθούσαμε να λύσουμε την εξίσωση.

- Η μέθοδος με τη διατύπωση όλων των περιορισμών για τα υπόρριζα αλλά και σε άλλα σημεία ώστε να μπορούμε να εργαζόμαστε με ισοδυναμίες(αυτή είναι η μέθοδος που κατά κόρον προτείνουν όλοι , όσοι δίδαξαν ή διδάχθηκαν σε προηγούμενες δεκαετίες του εικοστού αιώνα, όχι όμως και όλοι, όπως δείχνουν τα εξαίρετα αποσπάσματα του Νίκου) ) έχει και αυτή δυσκολίες. Τι θα κάνουμε με τους νέους περιορισμούς στην πορεία ; Θα τους αφήσουμε για συναλήθευση στο τέλος, ή θα διακόψουμε για να τους συναληθεύσουμε με τους αρχικούς ; Παρόλες όμως τις επιμέρους αυτές δυσκολίες, η μέθοδος των ισοδύναμων βημάτων και όλων των περιορισμών είναι η πιο '' μαθηματική '' αντιμετώπιση , η οποία βέβαια περνάει και τα όλα τα μηνύματα για μια σωστή πορεία επίλυσης.
Εδώ να προσθέσω όμως ότι είναι άλλο πράγμα η επίλυση μιας εξίσωσης για έναν μαθηματικό στο γραφείο του και άλλο στην τάξη μπροστά σε μαθητές με τόσες διαφορές.
Στη διδασκαλία ο διδάσκων προτιμά πρώτα να γίνει αντιληπτή η βασική πορεία επίλυσης τέτοιων εξισώσεων και συμπληρώνει βαθμιαία μέσα από κατάλληλα παραδείγματα όλες τις περιπτώσεις και τις επιμέρους τεχνικές , ώστε ο μαθητήες να μη φύγει με επιδερμική μόνο γνώση της ενότητας αυτής.
Όσον αφορά τη βαθμολόγηση ελλειπών λύσεων , ο διδάσκων καθηγητής μπορεί ,όπου εκείνος μόνο κρίνει, να είναι πιο αυστηρός σε ορισμένα σημεία που θέλει τονίσει. Δε δικαιούται όμως να αφαιρέσει μονάδες επειδή η λύση του μαθητή δεν ταιριάζει με αυτή που εκείνος περιμένει.

Να τονίσω ότι τα παραπάνω δεν είναι απάντηση σε κάποιο από τα προηγούμενα μηνύματα, ούτε αναφέρονται στις λύσεις άλλων συναδέλφων , ούτε θέλουν να πείσουν σε κάτι ,αλλά εκφράζουν προσωπικές απόψεις που αν είναι να παρεξηγηθούν, καλύτερα να αγνοηθούν

.

Μπάμπης
(Πρέπει να φύγω ..., αν έχω τυχόν τυπογραφικά λάθη, συγχωρέστε με, θα τα διορθώσω στην επιστροφή)

S.E.Louridas · #27

Καλή μέρα με τις ειλικρινείς ευχές μου η επόμενη μέρα των εκλογών να είναι μέρα εκκίνησης για μία παιδεία ουσίας που θα προάγει την γνώση, αλλά και την σωστή χρήση της γνώσης που οδηγεί σε ελευθέρα μυαλά, ελεύθερες ψυχές με οράματα.

Είναι σαφές ότι το να αναφέρουμε το σύνολο αναφοράς και να βρίσκουμε το Σύνολο ορισμού είναι Μαθηματική αυστηρότητα και προφανώς είναι απόλυτα σωστό και κατά την άποψή μου είναι καθήκον του διδάσκοντα να έχει δώσει την σημασία που πρέπει, αφού ο ενασχολούμενος με τα Μαθηματικά θα πρέπει να τα έχει στο μυαλό του. Βέβαια είναι στην διδακτική του κρίση να κάνει σύμβαση με τους Μαθητές του τύπου "παιδιά με ενδιαφέρει περισσότερο ο τρόπος επίλυσης αλλά να έχετε στο μυαλό σας τα αναγκαία θεωρητικά που είπαμε"
Στα διαγωνιστικά Μαθηματικά (Αντρέσκου, Μιέτκα, Μπεκεάνου, Γρόσντεφ, …) βαθμολογείται ακόμα και μία ιδέα που οδηγεί σε λύση. Τα πράγματα εκεί είναι διαφορετικά και δεν «καταδικάζεται» ένας Διαγωνιζόμενος από εφαρμογή ή όχι ενός περιορισμού, σημασία εκεί έχει να κόψει για ένα λεπτό σημείο.
Μάλιστα όσοι έχουν κάνει Leaders, γνωρίζουν ότι ο Leader αναλώνει μεγάλο μέρος, ώρες ολόκληρες να βρεθεί ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ επιχείρημα που να πείθει ότι η τάδε σκέψη, οδηγεί σε λύση οπότε έχουμε βαθμολογικούς πόντους υπέρ του διαγωνιζόμενου και όλα αυτά λόγω του υψηλού επιπέδου (κατά κανόνα) των θεμάτων εκεί.
Η συζήτηση λοιπόν έχει να κάνει για το αν μπορεί να παρακαμφθεί η εύρεση του συνόλου ορισμού (προφανώς το σύνολο αναφοράς υπάρχει και πρέπει να υπάρχει στην εκφώνηση) χωρίς Μαθηματικό κόστος και βέβαια επί του πρακτέου, χωρίς βαθμολογικό κόστος.
Ας δούμε και ένα θέμα:
Να λυθεί στο σύνολο των R^+

(σύνολο αναφοράς) η εξίσωση
$\root 4 \of { - x^4 + x^2 - 1} - 1 = x\quad \left( 1 \right).$
1η Λύση:
Απομονώνουμε το ριζικό και παίρνουμε:
$\root 4 \of { - x^4 + x^2 - 1} = x + 1,\quad$
ή …τελικά με ύψωση στην 4η δύναμη κ.τ.λ. αρκεί να λύσουμε την εξίσωση
2x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 3x - 1 = 0...

2η Λύση:
Παρατηρούμε ότι:
$- x^4 + x^2 - 1 < 0,\quad \forall x \in {\Cal R}.$
Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωσή μας είναι αδύνατη στο σύνολο

.

#28

Bill K έγραψε:Η 4 είναι ελλιπής, νομίζω γιατί δεν βρίσκει το σύνολο ορισμού της εξίσωσης.

Ας τονίσω άλλη μία φορά ότι δεν χρειάζεται να βρούμε το σύνολο ορισμού, εκτός αν μας το ζητάνε ρητά. Ο ακριβής προσδιορισμός του συνόλου ορισμού είναι περιττός και καμιά φορά αδύνατος, πλην όμως η λύση της εξίσωσης μπορεί να είναι απλή (βλέπε παράδειγμα (**)

παρακάτω).

Ο λόγος που βαθμολόγησα με

την παρακάτω λύση

KARKAR έγραψε:
4) Έστω ρίζα της εξίσωσης . Τότε : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Rightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3$ ,

η οποία είναι δεκτή αφού επαληθεύει την αρχική.

είναι ο εξής: Ας την γράψω λίγο πληρέστερα.

Λύση. Παρατηρούμε ότι το σύνολο ορισμού είναι μη κενό γιατί περιέχει το $3 \,\,(*)$ . Πράγματι, για ελέγχουμε (αφήνω τις πράξεις ρουτίνας) ότι έχουν νόημα οι παραστάσεις και ικανοποιείται η εξίσωση. Τώρα, για ρίζα της εξίσωσης στο (μη κενό) σύνολο έχουμε τις συνεπαγωγές
$\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Rightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3$ .
Δηλαδή βρήκαμε τις υποψήφιες λύσεις (εδώ τυχαίνει να είναι μία, αλλά κάνω ότι δεν το είδα). Ελέγχουμε και κρατάμε όποιες από αυτές ικανοποιούν την δοθείσα. Θα βρούμε ότι η είναι η μοναδική ρίζα.

Σχόλια: Φυσικά για να καταλήξω στην (*)

πήγα στο πρόχειρό μου και έκανα τις πράξεις που ακολουθούν μετά την (*)

. Στη γραφή της λύσης, τα έγραψα με την σωστή σειρά, που δεν είναι η ίδια με την οποία ανακάλυψα την λύση. Αυτό στα Μαθηματικά είναι θεμιτό, και το κάνουμε σχεδόν πάντα. Ακριβώς για αυτό η λύση

που προτείνει ο KARKAR είναι απόλυτα αποδεκτή, έστω και αν τεχνικά έπρεπε να κάνει τον έλεγχο της επαλήθευσης δύο φορές (όπως στην λύση μου). Όμως, επειδή είναι σαφές και προφανές ότι η επαλήθευση της (*)

εμπεριέχεται στην τελική επαλήθευση, μπορούμε να δεχθούμε την επίλυση ως πλήρη, κοιτώντας την ουσία και όχι να προσκολληθούμε στη τυπολατρία.

(**)

Υπάρχουν πολλά στάνταρ παραδείγματα. Να ένα: Για την $\displaystyle{\frac {x} {x^{101}-x-1}=\frac {x^2} {x^{101}-x-1}}$ δεν μπορούμε να βρούμε που μηδενίζεται ο παρονομαστής. Πλην όμως μπορούμε πολύ εύκολα να λύσουμε την εξίσωση και να επαληθεύσουμε ότι οι ρίζες x=0, x=1

που θα βρούμε φορμαλιστικά, είναι αποδεκτές.

Φιλικά,

Μιχάλης

paulgai · #29

Θα συμφωνήσω απόλυτα με τον κύριο Στεργίου και τον κύριο Λάμπρου. Αν αποδεδειγμένα η μέθοδος επίλυσης οδηγεί
πάντα στις σωστές λύσεις (χωρίς φυσικά να ‘χάνουμε’ κάποιες από αυτές) τότε νομίζω ότι είμαστε υποχρεωμένοι να βάλουμε 20.

Για μένα λοιπόν η λύση (4) παίρνει 20 με τόνο γιατί είναι και η πιο απλή!

Α.Κυριακόπουλος · #30

• Στα μαθηματικά, όταν ενός λάθους το γράψουμε 1000

φορές δεν σημαίνει ότι γίνεται σωστό. Ούτε το αν κάτι στα μαθηματικά είναι σωστό είναι θέμα πλειοψηφίας. Τα μαθηματικά είναι αυτά που είναι. Εξαρτάται βέβαια πώς τα έχει ο καθένας στο μυαλό του.
Λίγο παλαιότερα, πολλά ελληνικά βιβλία έγραφαν, για παράδειγμα ότι το $\frac{0}{0}$ είναι ίσο με κάθε αριθμό. Είναι σωστό; Επίσης ότι: $\sqrt{4}=\pm 2$ . Είναι σωστό;

Mihalis_Lambrou έγραψε:Ο λόγος που βαθμολόγησα με την παρακάτω λύση
KARKAR έγραψε: 4) Έστω ρίζα της εξίσωσης . Τότε : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Rightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3$ , η οποία είναι δεκτή αφού επαληθεύει την αρχική.
είναι ο εξής:
Ας την γράψω λίγο πληρέστερα.
Λύση. Παρατηρούμε ότι το σύνολο ορισμού είναι μη κενό γιατί περιέχει το $3 \,\,(*)$ . Πράγματι, για ελέγχουμε (αφήνω τις πράξεις ρουτίνας) ότι έχουν νόημα οι παραστάσεις και ικανοποιείται η εξίσωση. Τώρα, για ρίζα της εξίσωσης στο (μη κενό) σύνολο έχουμε τις συνεπαγωγές
$\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Rightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3$ .
Δηλαδή βρήκαμε τις υποψήφιες λύσεις (εδώ τυχαίνει να είναι μία, αλλά κάνω ότι δεν το είδα). Ελέγχουμε και κρατάμε όποιες από αυτές ικανοποιούν την δοθείσα. Θα βρούμε ότι η είναι η μοναδική ρίζα.

• Αυτό το «λίγο πληρέστερα» ( αλλά και πάλι όχι πλήρες) δεν έχει η τέταρτη λύση, γι' αυτό δεν είναι για άριστα.
• Αν το σύνολο ορισμού μιας εξίσωσης δεν χρειαζόταν για να λύσουμε μια εξίσωση, τότε δεν θα υπήρχε ούτε σαν ονομασία. Και όμως η παραπάνω λύση μιλάει για το σύνολο ορισμού της εξίσωσης. Που σημαίνει ότι χρειάζεται. Αν δεν χρειαζόταν γιατί να αναφερθεί; Και αφού χρειάζεται γιατί δεν γράφτηκε για να ξέρουμε γιατί μιλάμε; Και το σπουδαιότερο, για να ξέρουμε για ποιές τιμές του άγνωστου ισχύουν οι συνεπαγωγές που είναι γραμμένες; Είναι εύκολο, όταν έχουμε να λύσουμε μια εξίσωση, να βρίσκουμε εκ των προτέρων μια ρίζα της για να βεβαιωθούμε ότι το σύνολο ορισμού δεν είναι το κενό; Για παράδειγμα, πώς είναι δυνατόν να βρούμε εκ των προτέρων μια ρίζα της εξίσωσης:
$\sqrt {1 - {x^2}} = {\left( {\frac{2}{3} - \sqrt x } \right)^4}$ .
Ενώ είναι τόσο εύκολο να γράψουμε το σύνολο ορισμού της, που είναι: $\left\{ {x \in R|1 - {x^2} \ge 0,x \ge 0} \right\}$ . Το σύνολο αυτό είναι διάφορο του κενού, αφού για παράδειγμα περιέχει το μηδέν. Δεν υπάρχει περίπτωση να βρούμε εκ των προτέρων μια ρίζα της εξίσωσης αυτής για να βεβαιωθούμε ότι το σύνολο ορισμού της είναι διάφορο του κενού, γιατί η εξίσωση αυτή έχει τη μοναδική ρίζα: $x = \frac{1}{9}\left( {1 + \sqrt {\sqrt {\frac{{97}}{2}} - 3} } \right)$ !!!
Με άλλα λόγια, επειδή το σύνολο ορισμού

μιας εξίσωσης είναι υπερσύνολο του συνόλου λύσεων αυτής

, είναι ευκολότερο να βρούμε ένα στοιχείο του

για να βεβαιωθούμε ότι αυτό είναι διάφορο του κενού.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Ας τονίσω άλλη μία φορά ότι δεν χρειάζεται να βρούμε το σύνολο ορισμού, εκτός αν μας το ζητάνε ρητά. Ο ακριβής προσδιορισμός του συνόλου ορισμού είναι περιττός και καμιά φορά αδύνατος, πλην όμως η λύση της εξίσωσης μπορεί να είναι απλή (βλέπε παράδειγμα παρακάτω).
Υπάρχουν πολλά στάνταρ παραδείγματα. Να ένα: Για την $\displaystyle{\frac {x} {x^{101}-x-1}=\frac {x^2} {x^{101}-x-1}}$ δεν μπορούμε να βρούμε που μηδενίζεται ο παρονομαστής. Πλην όμως μπορούμε πολύ εύκολα να λύσουμε την εξίσωση και να επαληθεύσουμε ότι οι ρίζες που θα βρούμε φορμαλιστικά, είναι αποδεκτές.
Φιλικά,
Μιχάλης

• Δεν έχω δει άσκηση που να ζητάει να βρούμε το σύνολο ορισμού μιας εξίσωσης. Η εύρεση του συνόλου ορισμού μιας εξίσωσης είναι μέρος της λύσης της.
• Έχω τονίσει πάρα πολλές φορές ότι το σύνολο ορισμού μιας εξίσωσης δεν είναι απαραίτητο να το θέτουμε υπό μορφή διαστήματος ή ενώσεων διαστημάτων. Άλλωστε, όπως έχω τονίσει επανειλημμένα, αυτό πολλές φορές δεν μπορεί να γίνει. Δεν μπορώ να καταλάβω γιατί θεωρείται δύσκολο να γράψουμε το σύνολο ορισμού μιας εξίσωσης, ενώ είναι τόσο εύκολο. Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την παραπάνω εξίσωση:
$\displaystyle{\frac {x} {x^{101}-x-1}=\frac {x^2} {x^{101}-x-1}}$ . (1)

ΛΥΣΗ. Το σύνολο ορισμού της εξίσωσης αυτής είναι: $D = \left\{ {x \in R|{x^{101}} - x - 1 \ne 0} \right\}$ . Επειδή, για παράδειγμα $2\in D$ , έπεται ότι $D\ne \varnothing .$ Με $x\in D$ , έχουμε:
$(1) \Leftrightarrow \frac{x}{{{x^{101}} - x - 1}}\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x(x - 1) = 0 \Leftrightarrow \left( {x = 0 \vee x = 1} \right)$ .
Όπως βρίσκουμαι εύκολα οι αριθμοί

και

ανήκουν στο σύνολο

. Επομένως, οι ρίζες της εξίσωσης (1)

είναι:

και

( τέλος).
• Που χρειάστηκε να βρούμε που μηδενίζεται ο παρονομαστής; Η λύση αυτή είναι φορμαλιστική; δεν νομίζω!
Φιλικά.

orestisgotsis · #31

ΠΕΡΙΤΤΑ

S.E.Louridas · #32

Εγώ και με όλη μου την απλότητα έκφρασης θα θέσω ένα προβληματισμό ζωής πλέον:
Έχουμε μεθαύριο στις Εισαγωγικές εξετάσεις στα Α.Ε.Ι. και Τ.Ε.Ι., δύο Μαθητές Διαγωνιζόμενους που και οι δύο στοχεύουν να μπουν σε μία σχολή και που η εισαγωγή τους κρέμεται άντε από 1- μονάδα.
Και οι δύο για διάφορους λόγους Δεν έχουν βρει το Σύνολο Ορισμού, ενώ μέχρι εκεί έχουν την ίδια βαθμολογία.
Όμως ο ένας έχει την τύχη να πάρει 20 και να περάσει, ας πούμε τελευταίος στην σχολή που θέλει
και ο άλλος να πάρει 19 και να μην περάσει στην ίδια σχολή που τυχαίνει και αυτός να θέλει.
Τι γίνεται τότε σε τέτοιο υπαρκτό σενάριο που ο «x-πολιτικάντης» θα το χαρακτήριζε σενάριο φαντασίας, ενώ δεν είναι τέτοιο, τουλάχιστον στο επιστημονικό-διδακτικό περιβάλλον;
Για να έρθουμε και στο δια ταύτα, off των άλλου τύπου συζητήσεων, αφού ο τίτλος στοχεύει στο «δέον βαθμολογείν».

(*) Προσωπικά θα βαθμολογούσα σύμφωνα με το πνεύμα των Διαγωνιστικών Μαθηματικών (ίσως από συνήθεια) και αυτό επειδή πιστεύω ότι ένα μυαλό που έχει την δυνατότητα να μπαίνει στην δομή της σκέψης επίλυσης, έχει και την δυνατότητα να κατανοήσει θεωρητικές μαθηματικές στιγμές άν και όποτε αυτό χρειαστεί.
Δηλαδή θα είχα και κάποιες ανοχές (αρκεί να μήν οδηγούσαν σε παρεκτροπή εννοιών) απέναντι σε μία εντυπωσιακή λύση που σηματοδοτεί.

gbag · #33

H λύση άρρητων εξισώσεων μπορεί να γίνει με δύο τρόπους:
Α (χωρίς περιορισμούς): Υψώνουμε στην δύναμη, την λύνουμε και μετά επαληθεύουμε όλες τις λύσεις που προκύπτουν για να δούμε ποιά/ποιές είναι δεκτές. Η
μέθοδος αυτή συναντάται στα περισσότερα βιβλία της College Algebra και Calculus.
Β (με περιορισμούς): Βάζουμε τους περιορισμούς, τους λύνουμε, τους συναληθεύουμε και βρίσκουμε το σύνολο ορισμού της εξίσωσης.
Πρέπει να τονίσουμε εδώ ότι οι περιορισμοί κάποιες φορές δεν λύνονται και έτσι δεν είμαστε σε θέση να γράψουμε το σύνολο ορισμού της εξίσωσης με
Αναγραφή και όχι με Περιγραφή γιατί στην ουσία εφαρμόζουμε την Α μέθοδο.
Στη συνέχεια υψώνουμε στη δύναμη, την λύνουμε, βρίσκουμε τις λύσεις και κρατάμε αυτές που ανήκουν στο σύνολο ορισμού της εξίσωσης. Αυτές είναι
πιθανές ρίζες. Και πάλι χρειάζεται να γίνει επαλήθευση για να δούμε ποιά/ποιές θα κρατήσουμε από αυτές.

batmsup1 · #34

Η παραπάνω συζήτηση μου θύμισε τη "θρασύτητα" που επέδειξε ο Cardano, επιστημολογικά και επιστημονικά, όταν διαχειρίστηκε αριθμούς που λέμε σήμερα μιγαδικούς ή τη θρασύτητα του Euler και άλλων να πειραματιστεί με σειρές, απειροστά κλπ χωρίς να υπάρχει το απαραίτητο αυστηρό υπόβαθρο σε θεωρία.
Just go on . . . and faith will soon return που έγραφε ο D'Alembert σε κάποιον διστακτικό στη χρήση απειροστών. Δεν είναι ίδια περίπτωση βέβαια, απλά το μυαλό μου πήγε εκεί. Προσωπικά κλίνω στην άποψη του κυρίου Κυριακόπουλου γιατί δεν έχει νόημα η επεξεργασία επι μαθηματικών αντικειμένων που δεν υπάρχουν. Παραμένει ένα πρόβλημα βέβαια στην περίπτωση όπου για τους περιορισμούς, οι εξισώσεις εύρεσης τους a priori είναι δυσεπίλυτες αναλυτικά, αλγεβρικά τουλάχιστον όπως πολύ ωραία ανέλυσαν αρκετοί πιο πάνω. Αξιόλογη όμως και η "διαγωνιστική" ματιά.

#35

Αντώνη, προφανώς δεν κατάλαβες αυτό που είπα.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: • Που χρειάστηκε να βρούμε που μηδενίζεται ο παρονομαστής;

Ακριβώς, είπα ότι δεν χρειάζεται να το βρούμε.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Ας τονίσω άλλη μία φορά ότι δεν χρειάζεται να βρούμε το σύνολο ορισμού, εκτός αν μας το ζητάνε ρητά.

Μ.

#36

batmsup1 έγραψε: δεν έχει νόημα η επεξεργασία επι μαθηματικών αντικειμένων που δεν υπάρχουν.

Αυτό δεν είναι σωστό. Το στάνταρ παράδειγμα είναι το εξής:

Θεώρημα. Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου.

Για την απόδειξη θέλουμε να δείξουμε κάτι της μορφής $x\in A \Rightarrow x\in B$ . Εδώ το

είναι το κενό σύνολο οπότε η υπόθεση $x\in A$ είναι ψευδής, ο,τι και να κάνουμε. Πλην όμως, η απόδειξη είναι σωστή.

Τέτοιοι συλλογισμοί είναι συχνοί στα Μαθηματικά. Η αλήθεια είναι ότι τους αποφεύγουμε στα σχολικά Μαθηματικά γιατί μπερδεύονται τα παιδιά και όσοι εργάζονται εμπειρικά.

Η αποδοχή αυτών των συλλογισμών έχει τις ρίζες της στην αρχαιότητα, και αποδίδεται στον Φίλωνα τον Μεγαρέα. Είναι, θα έλεγα, ένα από τα υπέροχα εργαλεία του μαθηματικού που τακτοποιεί τις μορφές συλλογισμού που αποδεχόμαστε στην Λογική. Σε τυπική γλώσσα λέει ότι στον πίνακα αληθείας της συνεπαγωγής, "η ψευδής υπόθεση κάνει την συνεπαγωγή αληθή, ό,τι και αν είναι το συμπέρασμα".

Φιλικά,

Μιχάλης

batmsup1 · #37

Έχετε δίκιο, μου μοιάζει με την εις άτοπον. Δε το διατύπωσα ορθά πιο πάνω.

Α.Κυριακόπουλος · #38

orestisgotsis έγραψε: Έστω ${{x}_{0}}$ μία λύση της δοσμένης εξίσωσης, άρα εκείνο το ${{x}_{0}}$ ανήκει στο σύνολο που ορίζεται η εξίσωση $\sqrt{4{{x}^{2}}-11}=2x-1$

• Και γιατί δεν λέμε ποιο είναι το σύνολο που ορίζεται η εξίσωση ,όπως λες, που δεν είναι άλλο από το σύνολο ορισμού της εξίσωσης, δηλαδή το σύνολο: $\left\{ {x \in \mathbb{R}|4{x^2} - 11 \ge 0} \right\}$ , ώστε να είμαστε σωστοί και σαφείς; ( είναι τόσο εύκολο να το γράψουμε). Είναι σωστό στα μαθηματικά να παρεμβάλλονται μαγικές εικόνες; Αναφέρεις στη λύση ένα σύνολο, που σημαίνει ότι χρειάζεται. Δεν πρέπει να το γράψεις για να καταλάβουμε ποιο είναι; Οι μαθητές γράφουν τις λύσεις όπως τις διδάσκουμε εμείς.
• Νομίζω ότι δεν πρέπει τα εύκολα να τα κάνουμε δύσκολα με αποτέλεσμα να παρουσιάζουμε τα μαθηματικά δυσκολότερα από ότι είναι και να απογοητεύομαι του μαθητές.
Φιλικά.

Mihalis_Lambrou έγραψε:
batmsup1 έγραψε: δεν έχει νόημα η επεξεργασία επι μαθηματικών αντικειμένων που δεν υπάρχουν.
Αυτό δεν είναι σωστό. Το στάνταρ παράδειγμα είναι το εξής:
Θεώρημα. Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου.
Για την απόδειξη θέλουμε να δείξουμε κάτι της μορφής $x\in A \Rightarrow x\in B$ . Εδώ το είναι το κενό σύνολο οπότε η υπόθεση $x\in A$ είναι ψευδής, ο,τι και να κάνουμε. Πλην όμως, η απόδειξη είναι σωστή.
Τέτοιοι συλλογισμοί είναι συχνοί στα Μαθηματικά. Η αλήθεια είναι ότι τους αποφεύγουμε στα σχολικά Μαθηματικά γιατί μπερδεύονται τα παιδιά και όσοι εργάζονται εμπειρικά.

Μιχάλη, με συγχωρείς αλλά ειλικρινά δεν καταλαβαίνω. Τι δεν υπάρχει ή δεν έχει νόημα από αυτά από γράφεις παραπάνω; Στα μαθηματικά υπάρχουν τα μαθηματικά αντικείμενα που έχουμε ορίσει και νόημα έχουν οι σχέσεις που έχουμε ορίσει μεταξύ των μαθηματικών αντικειμένων.
•Το κενό σύνολο; Και βέβαια υπάρχει.
• Η σχέση $x\in \varnothing$ ; Και βέβαια έχει νόημα. Είναι ένας προτασιακός τύπος καθολικά ψευδής, δηλαδή για κάθε αντικείμενο

καθίσταται μια πρόταση ψευδής ( από τον ορισμό του κενού συνόλου) .
• Η συνεπαγωγή $x \in \emptyset \Rightarrow x \in {\rm B}$ ; Και βέβαια έχει νόημα. Είναι ένας προτασιακός τύπος καθολικά αληθής, δηλαδή για κάθε αντικείμενο

καθίσταται μια πρόταση αληθής.
Δεν υπάρχει λοιπόν τίποτα που να μην υπάρχει ή να μην έχει νόημα.
• Και βέβαια τέτοιοι συλλογισμοί είναι συχνοί στα Μαθηματικά. Πάντοτε όμως είναι μεταξύ μαθηματικών αντικειμένων που υπάρχουν και σχέσεων που έχουν νόημα.
Πρώτα ορίζουμε τα μαθηματικά αντικείμενα και τις σχέσεις μεταξύ αυτών και μετά προχωρούμε, ακριβώς για να μιλάμε για αντικείμενα που υπάρχουν και για σχέσεις που έχουν νόημα, ώστε να μην μιλάμε στον αέρα. Τώρα, αν στην πορεία θέτουμε προβλήματα ύπαρξης μαθηματικών αντικειμένων με ορισμένες ιδιότητες, είναι άλλο θέμα. Αλλά και σ' αυτή την περίπτωση, προσπαθούμε να λύσουμε το πρόβλημα εργαζόμενοι με μαθηματικά αντικείμενα που είναι ορισμένα (ή αν χρειαστεί τα ορίζουμε εμείς) και με σχέσεις μεταξύ αυτών που έχουν νόημα ( αληθείς ή ψευδείς) .
Φιλικά.

#39

Αντώνη, πάλι δεν κατανόησες αυτά έγραψα.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: • Η συνεπαγωγή $x \in \emptyset \Rightarrow x \in {\rm B}$ ; Και βέβαια έχει νόημα. Είναι ένας προτασιακός τύπος καθολικά αληθής, δηλαδή για κάθε αντικείμενο καθίσταται μια πρόταση αληθής.

Μα και εγώ αυτό ακριβώς έγραψα:

Mihalis_Lambrou έγραψε:. Εδώ το είναι το κενό σύνολο οπότε η υπόθεση $x\in A$ είναι ψευδής, ο,τι και να κάνουμε. Πλην όμως, η απόδειξη είναι σωστή.

και παρακάτω

Mihalis_Lambrou έγραψε: Είναι, θα έλεγα, ένα από τα υπέροχα εργαλεία του μαθηματικού που τακτοποιεί τις μορφές συλλογισμού που αποδεχόμαστε στην Λογική.

Μ.

#40

Ας προσθέσω και εγώ την δική μου άποψη για την περιβόητη 4η λύση. Να θυμίσω ότι εδώ δεν εξετάζουμε ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος για την διδασκαλία των αρρήτων εξισώσεων. Ούτε εξετάζουμε αν ο μαθητής δεν καταλάβαινε τι έγραψε αλλά κατά λάθος του βγήκε σωστό. Εξετάζουμε μόνο την λύση ως προς την ορθότητα και την πληρότητά της. Θα ξεκινήσω γράφοντας μερικές λύσεις με διαδοχικά περισσότερες εξηγήσεις.

Λύση 4α
Έστω ρίζα της εξίσωσης .
Τότε : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Rightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3$ ,
η οποία είναι δεκτή αφού επαληθεύει την αρχική.

Λύση 4β
Έστω το σύνολο ορισμού της εξίσωσης.
Έστω το σύνολο ριζών της εξίσωσης.
Έστω $x \in S$ .
Τότε : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Rightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3$ ,
η οποία είναι δεκτή αφού επαληθεύει την αρχική.

Λύση 4γ
Έστω το σύνολο ορισμού της εξίσωσης. Τότε $D = \{x \in \mathbb{R} : 4x^2 - 11 \geqslant 0 \}$ .
Έστω το σύνολο ριζών της εξίσωσης.
Έστω $x \in S$ .
Τότε : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Rightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3$ ,
η οποία είναι δεκτή αφού επαληθεύει την αρχική.

Λύση 4δ
Έστω το σύνολο ορισμού της εξίσωσης. Τότε $D = \{x \in \mathbb{R} : 4x^2 - 11 \geqslant 0\} = (-\infty,-\sqrt{11}/2) \cup (\sqrt{11}/2,+\infty)$ .
Έστω το σύνολο ριζών της εξίσωσης.
Έστω $x \in S$ .
Τότε : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Rightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3$ ,
η οποία είναι δεκτή αφού επαληθεύει την αρχική.

Λύση 4ε
Έστω το σύνολο ορισμού της εξίσωσης. Τότε $D = \{x \in \mathbb{R} : 4x^2 - 11 \geqslant 0 \} = (-\infty,-\sqrt{11}/2) \cup (\sqrt{11}/2,+\infty)$ .
Έστω το σύνολο ριζών της εξίσωσης. Τότε $4x^2 - 11 \geqslant 0$ και $2x \geqslant 1$ για κάθε $x \in S$ .
Έστω $x \in S$ .
Τότε : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Rightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3$ ,
η οποία είναι δεκτή αφού επαληθεύει την αρχική.

Ποια η διαφορά μεταξύ της 4α και 4β; Απλώς δώσαμε ονομασίες στο σύνολα ορισμού και ριζών τα οποία ουδέποτε χρησιμοποιήσαμε μετά. Η πρώτη πρόταση της 4α σημαίνει ακριβώς το ίδιο πράγμα με τις πρώτες τρεις προτάσεις της 4β. Δεν λέει ούτε λιγότερα ούτε περισσότερα. Λέει ακριβώς τα ίδια με λιγότερα λόγια.

Ποια η διαφορά της 4β με την 4γ; Απλώς γράψαμε χωρίς να υπολογίσουμε το σύνολο ορισμού, το οποίο ουδέποτε χρησιμοποιήσαμε μετά. Έχει γίνει κάποια περισσότερη δουλειά στην 4γ, βλέπουμε καλύτερα ότι ο μαθητής ξέρει να βρίσκει το σύνολο ορισμού αλλά η επιπλέον πρόταση «Τότε $D = \{x \in \mathbb{R} : 4x^2 - 11 \geqslant\}$ » δεν χρησιμοποιείται πουθενά στην λύση που ακολουθεί και άρα δεν είναι απαραίτητο να γραφτεί. Επίσης τίθεται το θέμα αν έχουμε sthn 4β ορίσει το σύνολο ορισμού ώστε να ξέρουμε «για ποια

έχουν νόημα αυτά που γράφουμε». Η απάντηση είναι ότι έχουν νόημα για κάθε $x \in D$ . Είτε απλώς πούμε ότι

είναι το σύνολο ορισμού είτε πούμε ότι $D = \{x \in \mathbb{R} : 4x^2 - 11 \geqslant 0 \}$ οι πράξεις μας θα έχουν νόημα για κάθε $x \in D$ . Μπορεί βέβαια σε κάποιες περιπτώσεις να χρειαστεί να γνωρίζουμε περισσότερα για την μορφή του συνόλου

. Εδώ δεν χρειάστηκε και επομένως η 4β δεν μπορεί να θεωρηθεί ελλιπέστερη από την 4γ.

Ποια η διαφορά της 4γ με την 4δ; Απλώς γράψαμε το σύνολο ορισμού ως ένωση διαστημάτων. Σίγουρα όχι απαραίτητο. Εξάλλου (όπως έχουμε δει πιο πάνω) μερικές φορές είναι είτε δύσκολο είτα αδύνατο να γίνει.

Ποια η διαφορά της 4δ με την 4ε; Γράψαμε μια επιπλέον ιδιότητα που έχει κάθε στοιχείο του συνόλου ριζών. Δεν ήταν απαραίτητο και δεν μπορεί η 4δ να θεωρηθεί ελλιπέστερη από την 4ε αφού ουδέποτε χρησιμοποιήσαμε αυτήν την ιδιότητα.

Ισχυρίζομαι λοιπόν πως όπως η 4ε πρέπει να πάρει 20 το ίδιο πρέπει να συμβεί και για την 4α. Αν καταλαβαίνω καλά τους ισχυρισμούς του Αντώνη υποψιάζομαι ότι θα έβαζε 20 μόνο από την 4γ και κάτω γι' αυτό επεξήγησα περισσότερο γιατί θεωρώ ότι η 4β και 4γ πρέπει να βαθμολογηθούν το ίδιο.

Θέλω όμως να επανέλθω σε κάτι άλλο. Αφού λοιπόν οι πιο πάντως απαντήσεις δεν διαφέρουν παρά επεξηγηματικά, ποια απάντηση πρέπει να δώσει ο άριστος μαθητής. Και λέω ότι για τον άριστο μαθητή που καταλαβαίνει τις πέντε απαντήσεις η προτιμότερη είναι η 4α αφού είναι και η πιο σύντομη. Γιατί να χάσει χρόνο για να γράψει περισσότερα; (Προσοχή: Δεν λέω ότι πρέπει να ζητούμε από τον μαθητή να κάνει αυτό. Ο άριστος μπορεί να τα καταφέρει άριστα αλλά αν ο μέτριος ή ακόμη και καλός μαθητής που δεν καταλαβαίνει αρκετά την 4α αμελήσει να γράψει στην 4α «Έστω

ρίζα της εξίσωσης» τότε θα χάσει αρκετές μονάδες. Οπότε ίσως είναι προτιμότερο και για την κατανόηση και για δική του ασφάλεια να του διδάσκουμε να γράφει την 4ε) Πρέπει λοιπόν να είμαστε αρκετά προσεκτικοί. Γιατί να τιμωρήσουμε τον άριστο μαθητή που προτίμησε να γράψει την 4α; Δεν θα ήταν άδικο;

Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Μέλη σε σύνδεση