Μικρή διαφορά , όχι όμως ασήμαντη

KARKAR · #1

Δείξτε ότι : $\displaystyle \sqrt{37}-\sqrt{35}>\frac{1}{6}$ . Γενικεύστε ...

dr.tasos · #2

Θέτω $\displaystyle{ n=36 }$ δηλαδη πάμε κατευθέιαν για την γενικεύση για $\displaystyle{ n \in [1,+\infty) }$

Έτσι η ανισοτητα μου γινεται $\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}>\frac{1}{\sqrt{n}} \Leftrightarrow \sqrt{n+1}>\frac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{n-1} \Leftrightarrow n+1>\frac{1}{n}+n-1+2\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}} \Leftrightarrow 2>\frac{1}{n}+2\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}} \Leftrightarrow 2\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}}<2-\frac{1}{n}$

Εδώ το δεύτερο μέλος ειναι θετικό (αφου $\displaystyle{ n \in [1,+\infty) }$ γιαυτο και μπορω να τετραγωνίσω και θα πάρω :

$\displaystyle{ \frac{4n}{n}-\frac{4}{n}<4+\frac{1}{n^2}-\frac{4}{n} \Leftrightarrow \frac{1}{n^2}>0 }$ που ισχύει .

KARKAR · #3

Κι αλλιώς : $\displaystyle \sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}>\frac{2}{2\sqrt{n}}$ , που ισχύει αφού :

$\left( \sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)^2<\left( 2\sqrt{n}\right)^2\Leftarrow 2n+2\sqrt{n^2-1}<4n\Leftarrow \sqrt{n^2-1}<n$

Μικρή διαφορά , όχι όμως ασήμαντη

Μικρή διαφορά , όχι όμως ασήμαντη

Re: Μικρή διαφορά , όχι όμως ασήμαντη

Re: Μικρή διαφορά , όχι όμως ασήμαντη

Μέλη σε σύνδεση