Όρια συνάρτησης πεπλεγμένης μορφής (3)

#1

Με αφορμή αυτό το ποστ :

Έστω η συνάρτηση

που ορίζεται μέσω των σχέσεων $\displaystyle{f(x)e^{f(x)}=x\geq0}$ .

Ας υπολογισθούν, αν υπάρχουν, τα όρια

$\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{\ln x}}$ ,

$\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-\ln x}{\ln\left(\ln x\right)}}$ .

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Με αφορμή αυτό το ποστ :

Έστω η συνάρτηση που ορίζεται μέσω των σχέσεων $\displaystyle{f(x)e^{f(x)}=x\geq0}$ . (1)

Ας υπολογισθούν, αν υπάρχουν, τα όρια

$\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{\ln x}}$ ,

$\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-\ln x}{\ln\left(\ln x\right)}}$ .

Ας κάνω μία προσπάθεια για το πρώτο:

Εύκολα βγαίνει ότι η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ , συνεπώς έχει όριο στο συν άπειρο, το οποίο

είναι ή ένας αριθμός $\displaystyle{k}$ ή $\displaystyle{+\infty}$

Αν ισχύει το πρώτο τότε $\displaystyle{\lim_{x \to + \infty}(f(x)e^{f(x)})=\lim_{x \to +\infty}x \Rightarrow ke^k=+\infty}$ , άτοπο.

Άρα $\displaystyle{\lim_{x \to \infty}f(x)=+\infty}$

Συνεπώς $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac {lnf(x)}{f(x)}=\lim_{u \to +\infty}\frac {lnu}{u}=0}$ . Άρα

$\displaystyle{ (1) \Rightarrow lnf(x)+f(x)=lnx \Rightarrow \frac {lnf(x)}{f(x)}+1=\frac {lnx}{f(x)}}$

και παίρνοντας όρια

$\displaystyle{0+1=\lim_{x \to +\infty}\frac {lnx}{f(x)} \Rightarrow \lim_{x \to +\infty}\frac {f(x)}{lnx}=1}$

#3

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Έστω η συνάρτηση που ορίζεται μέσω των σχέσεων $\displaystyle{f(x)e^{f(x)}=x\geq0}$ .

Ας υπολογισθούν, αν υπάρχουν, τα όρια

$\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{\ln x}}$ ,

$\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-\ln x}{\ln\left(\ln x\right)}}$ .

Συνέχεια στο $..\quad 2)$ $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-\ln x}{\ln\left(\ln x\right)}}$

Βρέθηκε ότι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{\ln x}} = 1}$ . Τότε $\displaystyle{f\left( x \right) = g\left( x \right)\ln x}$ με $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } g\left( x \right) = 1}$ . Όμως ισχύει $\displaystyle{f\left( x \right){e^{f\left( x \right)}} = x}$ .

Τότε $\displaystyle{f\left( x \right) + \ln f\left( x \right) = \ln x \Rightarrow f\left( x \right) - \ln x = - \ln f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) - \ln x = - \ln \left( {g\left( x \right)\ln x} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow f\left( x \right) - \ln x = - \ln g\left( x \right) - \ln \left( {\ln x} \right) \Rightarrow \frac{{f\left( x \right) - \ln x}}{{\ln \left( {\ln x} \right)}} = - \frac{{\ln g\left( x \right)}}{{\ln \left( {\ln x} \right)}} - 1 \Rightarrow \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right) - \ln x}}{{\ln \left( {\ln x} \right)}} = - 1}}$ .

parmenides51 · #4

διαφορετικά εδώ

Όρια συνάρτησης πεπλεγμένης μορφής (3)

Όρια συνάρτησης πεπλεγμένης μορφής (3)

Re: Όρια συνάρτησης πεπλεγμένης μορφής (3)

Re: Όρια συνάρτησης πεπλεγμένης μορφής (3)

Re: Όρια συνάρτησης πεπλεγμένης μορφής (3)

Μέλη σε σύνδεση