Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

pastavr · #21

tsalikdimd έγραψε:Αφού δείξεις ότι η f είναι αρνητική βγάζεις το απόλυτο. Κατόπιν λόγω της συνέχειας της f το ολοκλήρωμα είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση. Επειδή και το 1ο μέλος της δοθείσας εξίσωσης είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση έπεται ότι και η f είναι παραγωγίσιμη

Ναι αλλά για να δείξεις ότι είναι παραγωγίσιμη θα πρέπει να μπορείς να λύσεις ως προς τη συνάρτηση . Γίνεται αυτό ;

#22

Και του χρόνου συνάδελφοι !!!

Νάμαστε όλοι καλά για λύσουμε και τα επόμενα ! Το μόνο ίσως που ξεφεύγει καμιά φορά είναι ότι πρέπει να τα λύσουν και οι μαθητές μας , για να ολοκληρωθεί η χαρά

, μια και τα θέματα μόνο σε αυτούς απευθύνονται !
Κι αυτοί είναι πάντα 18 χρονών !
Κάθε κριτική για τα θέματα πρέπει να παίρνει πολλά πράγματα υπόψιν .Αυτή ας μείνει για αργότερα, όταν θα καταλαγιάσει η πρώτη εντύπωση.
Καλά αποτελέσματα στους μαθητές σας αλλά και σε όλα τα μέλη του mathematica !

Μπάμπης

john.kastoris · #23

[quote="parmenides51"]
Δ4. η ύπαρξη με Θ.Bolzano στην $\displaystyle{g(x)=F(\beta)+F(3\beta)-2F(x)}$ στο $\displaystyle{(\beta,2\beta)}$
$\displaystyle{g(\beta)>0}$ από το Δ3
$\displaystyle{g(2\beta)=F(\beta)-F(2\beta)+F(3\beta)-F(2\beta)=-f(\xi_1)(2\beta-\beta)+f(\xi_2)(3\beta-2\beta)<0}$ από ΘΜΤ στα $\displaystyle{[\beta,2\beta],[2\beta,3\beta]}$ για την κυρτή $\displaystyle{F(x)}$

το g(β) απο την μονοτονια της F
το g(2β) απο το Δ3

Christos.N · #24

Στο Δ1
Με χρήση του θεωρήματος Fermat για να βρούμε μια αρνητική τιμή και να αποφανθούμε ότι παντού είναι αρνητική .
Στη συνέχεια φεύγει το απόλυτο μελετώντας το πρόσημο του αριστερού μέλους βλέπουμε ότι δεν μηδενίζεται άρα ο παράγοντας είναι διάφορος από μηδέν και λύνουμε ως προς

αιτιολογώντας στην συνέχεια γιατί είναι παραγωγίσιμη.
Παραγωγίζοντας και για άλλη μια φορά λύνουμε την γνωστή κρυφοδιαφορική.

apotin · #25

Δ1. Μπορούμε να θέσουμε

$\displaystyle{H\left( x \right) = \int_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e}$

η 3η σχέση γίνεται

$\displaystyle{H'\left( x \right) = H\left( x \right) \Leftrightarrow H\left( x \right) = c{e^x} }$ , $\displaystyle{x>0}$

$\displaystyle{H\left( 1 \right) = e \Rightarrow H\left( x \right) = {e^x}}$

άρα από την τρίτη σχέση έχουμε:

$\displaystyle{\frac{{\ln x - x}}{{f\left( x \right)}} = {e^x}}$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{ - x}}\left( {\ln x - x} \right)}$ , $\displaystyle{x>0}$

parmenides51 · #26

Σαν γενικό σχόλιο πολλά μου φάνηκαν, πολύ γράψιμο έχουν, και δεν το Δ4 ηταν όντως το πιο απαιτητικό ερώτημα όλων.
Την ιδέα με τα μέτρα στο Β2. την είχαμε δει πάλι παλιότερα σε παλιά θέματα της ΕΜΕ (εδώ και στις παραπομπές της).

mathfinder · #27

Για το Β2 : Βγαίνει πολύ εύκολα με την ιδιότητα $\left|z_{1} +z_{2}\right|^{2}+\left|z_{1} -z_{2}\right|^{2}=2\left|z_{1} \right|^{2}+2\left|z_{2} \right|^{2}$ (άσκηση του σχολικού , άρα θέλει απόδειξη ; ) .

Αθ. Μπεληγιάννης

13_stoixia · #28

Το Β4 νομίζω ότι βγαίνει από την τριγωνική ανισότητα για το μέτρο του Ζ-W, σωστά;

Christos.N · #29

apotin έγραψε:Δ1. Μπορούμε να θέσουμε

$\displaystyle{H\left( x \right) = \int_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e}$

η 3η σχέση γίνεται

$\displaystyle{H'\left( x \right) = H\left( x \right) \Leftrightarrow H\left( x \right) = c{e^x} }$ , $\displaystyle{x>0}$

$\displaystyle{H\left( 1 \right) = e \Rightarrow H\left( x \right) = {e^x}}$

άρα

$\displaystyle{\frac{{\ln x - x}}{{f\left( x \right)}} = {e^x}}$ , $\displaystyle{x>0}$

Απόστολε υποκλίνομαι στην ψυχραιμία σου...πολύ καλή λύση.

parmenides51 · #30

13_stoixia έγραψε:Το Β4 νομίζω ότι βγαίνει από την τριγωνική ανισότητα για το μέτρο του Ζ-W, σωστά;

Νομίζω πως ναι

#31

13_stoixia έγραψε:Το Β4 νομίζω ότι βγαίνει από την τριγωνική ανισότητα για το μέτρο του Ζ-W, σωστά;

Ασφαλώς:

Είναι $\displaystyle \left| {z - w} \right| \le \left| z \right| + \left| w \right| \le 1 + 3 = 4$ με το ίσον όταν $\displaystyle w = \pm 3$

Είναι $\displaystyle \left| w \right| \ge 2 \Rightarrow \left| w \right| - \left| z \right| \ge 1 \Rightarrow \left| {\left| w \right| - \left| z \right|} \right| = \left| {\left| z \right| - \left| w \right|} \right| \ge 1$

Άρα $\displaystyle 1 \le \left| {\left| z \right| - \left| w \right|} \right| \le \left| {z - w} \right|$ με το ίσον όταν $\displaystyle w = \pm 2i$

sokratis lyras · #32

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
13_stoixia έγραψε:Το Β4 νομίζω ότι βγαίνει από την τριγωνική ανισότητα για το μέτρο του Ζ-W, σωστά;

Ασφαλώς:

Είναι $\displaystyle \left| {z - w} \right| \le \left| z \right| + \left| w \right| \le 1 + 3 = 4$ με το ίσον όταν $\displaystyle w = \pm 3$

Είναι $\displaystyle \left| w \right| \ge 2 \Rightarrow \left| w \right| - \left| z \right| \ge 1 \Rightarrow \left| {\left| w \right| - \left| z \right|} \right| = \left| {\left| z \right| - \left| w \right|} \right| \ge 1$

Άρα $\displaystyle 1 \le \left| {\left| z \right| - \left| w \right|} \right| \le \left| {z - w} \right|$ με το ίσον όταν $\displaystyle w = \pm 2i$

Έτσι το έλυσα και εγώ (δεν είμαι εξεταζόμενος) απλά είχα έναν ενδοιασμό για την ισότητα.Δηλαδή οι μιγαδικοί που πίανουν την ισότητα στην τριγωνική,πρέπει να πιάνουν την ισότητα και στην 2η ανισότητα.

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #33

mathfinder έγραψε:Για το Β2 : Βγαίνει πολύ εύκολα με την ιδιότητα $\left|z_{1} +z_{2}\right|^{2}+\left|z_{1} -z_{2}\right|^{2}=2\left|z_{1} \right|^{2}+2\left|z_{2} \right|^{2}$ (άσκηση του σχολικού , άρα θέλει απόδειξη ; ) .

Αθ. Μπεληγιάννης

Λογικά θα πρέπει να αποδειχθεί.
Πιστεύω οτι μπορεί να αποδειχθεί και γεωμετρικά με το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων και την κυρια διαγ΄νιο του παραλληλογράμμου

apotin · #34

Δ4. Θ. Bolzano στο $\displaystyle{\left[ {\beta ,\,\,2\beta } \right]}$ για την $\displaystyle{g\left( x \right) = F\left( \beta \right) + F\left( {3\beta } \right) - 2F\left( x \right)}$

$\displaystyle{g\left( \beta \right) = F\left( {3\beta } \right) - F\left( \beta \right) = \int_\beta ^{3\beta } {f\left( t \right)dt} < 0}$

ή

$\displaystyle{g\left( \beta \right) = F\left( {3\beta } \right) - F\left( \beta \right) < 0}$

αφού $\displaystyle{F'\left( x \right) = f\left( x \right) < 0 \Rightarrow F}$ γν. φθίνουσα

$\displaystyle{g\left( {2\beta } \right) = F\left( \beta \right) + F\left( {3\beta } \right) - 2F\left( {2\beta } \right) > 0}$ από το Δ3

Η μοναδικότητα από τη μονοτονία
$\displaystyle{g'\left( x \right) = - 2f\left( x \right) > 0 \Rightarrow g}$ γν. αύξουσα

parmenides51 · #35

Ας δουμε και μια διαφορετική αντιμετώπιση από το προφανές της στο Γ2 (πλήθος ριζών σε διαστηματα μονοτονίας).
Aφου καταλήξουμε στην σχεση $\displaystyle{f(x)=2012}$ , μπορουμε να αποδείξουμε οτι εχει δυο τουλάχιστον ρίζες στα $\displaystyle{(0,1),(1,+\infty)}$ με Θ.bolzano και να συμπεράνουμε την μοναδικότητα τους, οτι δεν έχει τρίτη ρίζα με άτοπο με Θ.Rolle (η αντίφαση είναι πως η $\displaystyle{f'}$ έχει μοναδική ρίζα), αλλά έχει αρκετό γράψιμο σαν μέθοδος.

Διόρθωσα κι εδώ την αλλαγή μεταβλητής στο όριο του Δ2 (ελέω latex)

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #36

Άλλωστε επαληθεύεται η $\left|z_{1} -z_{2}\right|^{2}=\left|z_{1} \right|^{2}+\left|z_{2} \right|^{2}$ άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο άρα
γεωμετρικά με το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων και την κυρια διαγ΄νιο του παραλληλογράμμου
$\left|z_{1} +z_{2}\right|}=$ 2x(ύψος) (που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα)του ορθογωνίου δηλαδή $\sqrt{2}$

dopfev · #37

parmenides51 έγραψε:μερικές υποδείξεις

$\displaystyle{g(\beta)>0}$ από το Δ3

Parmenidis γιατί ισχύει αυτό; Μήπως επειδή η

είναι αρνητική;

mathripper · #38

To |w| στο Β3 βγαίνει εύκολα και με τριγωνική ανισότητα.
Αρκετά δύσκολα τα θέματα πάντως.

parmenides51 · #39

dopfev έγραψε:
parmenides51 έγραψε:μερικές υποδείξεις

$\displaystyle{g(\beta)>0}$ από το Δ3

Parmenidis γιατί ισχύει αυτό; Μήπως επειδή η είναι αρνητική;

τα μπέρδεψα στο Δ3. ανάποδα τα έβαλα,
(εμ ... τόσες συναρτήσεις που έθεσα μέχρι να βρω κάποια να βγαίνει, κάτι έχασα στην αντιγραφή

)
δες την απάντηση του Αποστόλη εδώ

Μάκης Χατζόπουλος · #40

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
13_stoixia έγραψε:Το Β4 νομίζω ότι βγαίνει από την τριγωνική ανισότητα για το μέτρο του Ζ-W, σωστά;

Ασφαλώς:

Είναι $\displaystyle \left| {z - w} \right| \le \left| z \right| + \left| w \right| \le 1 + 3 = 4$ με το ίσον όταν $\displaystyle w = \pm 3$

Είναι $\displaystyle \left| w \right| \ge 2 \Rightarrow \left| w \right| - \left| z \right| \ge 1 \Rightarrow \left| {\left| w \right| - \left| z \right|} \right| = \left| {\left| z \right| - \left| w \right|} \right| \ge 1$

Άρα $\displaystyle 1 \le \left| {\left| z \right| - \left| w \right|} \right| \le \left| {z - w} \right|$ με το ίσον όταν $\displaystyle w = \pm 2i$

Όποιες λύσεις δεν γράφουν και το ίσον είναι ελλιπείς, εμείς εδώ το έχουμε εξαντλήσει αυτό το θέμα.

Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Μέλη σε σύνδεση