Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

lagos_vd · #101

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:Στο Δ1 μπορούμε να εργαστούμε και χωρίς Fermat.
Η δεύτερη δοθείσα ισχύει για κάθε θετικό, άρα και για $\displaystyle{x=\frac{1}{2}}$ . Έτσι μετά από λίγες πράξεις βγάζουμε ότι $\displaystyle{\int_{\frac{3}{4}}^{1}{f(t)dt}<0}$ . Όμως η συνεχής και μη μηδενιζόμενη στους θετικούς, άρα διατηρεί πρόσημο εκεί. Αν ήταν θετική στους θετικούς πραγματικούς, τότε θα ήταν και στο διάστημα $\displaystyle{[\frac{3}{4}.1]}$ και επομένως θα ικανοποιούσε εκεί την ιδιότητα "μη αρνητική και όχι παντού μηδέν". Έτσι από το γνωστό θεώρημα θα είχαμε $\displaystyle{\int_{\frac{3}{4}}^{1}{f(t)dt}>0}$ , άτοπο.
Άρα η αρνητική...

Ευχαριστω για την λυση.Είμαι υποψήφιος και χρησιμοποιησα τον ιδιο ακριβως τροπο,οποτε το επιβεβαιωσα.

S.E.Louridas · #102

Ο s.kap έγραψε:
Κάποιος μαθητής χωρίς να "πειράξει" τα Δ1 και Δ2 μπορούσε να λύσει τα Δ3 και Δ4 χωρίς κανένα πρόβλημα.

Αν και δεν θα ήθελα να αναφερθώ στα θέματα αυτά που εξετάστηκαν οι υποψήφιοι, θα συμφωνήσω με τον Σπύρο Καπελλίδη στην πιο πάνω τοποθέτηση του.
Επί τη ευκαιρία θα ήθελα να εκφράσω μία απορία: Γιατί έχει γίνει θεσμός για το 4ο θέμα να υπάρχει ντε και καλά συνάρτηση που ο τύπος της είναι ορισμένο ολοκλήρωμα με τουλάχιστον το ένα άκρο του να είναι συνάρτηση του και γύρω από αυτό να κτίζεται το πρόβλημα;
Μήπως δίνει την δυνατότητα να δρά ο κατασκευαστής, όπως ο παλαιός δάσκαλος ο οποίος χρησιμοποιούσε άλγεβρα γιά εύκολη κατασκευή θέματος, που γινόταν δύσκολο σαν επιλύσιμο θέμα πρακτικής Αριθμητικής;
Μήπως τελικά όλοι πλέον περιμένουν τέτοιας φύσης θέμα; Δηλαδή μήπως πρόκειται πλέον γιά προβλέψιμη κατάσταση;

Α.Κυριακόπουλος · #103

s.kap έγραψε:Κα Καλφοπούλου.
Βρίσκω τις παρατηρήσεις σας σχετικά με τα θέματα εύστοχες και ουσιαστικές. Θα πρόσθετα για το τελευταίο θέμα πως πέρα από μπουρδουκλωμένο είναι και εξαιρετικά άκομψο. Η παρατήρηση σας όμως σχετικά με το ότι στη λύση του ετέθη στο Δ1 η βοηθητική συνάρτηση $\displaystyle{F}$ , δεν με βρίσκει σύμφωνο, γιατί δεν υπάρχει θέμα σύγχισης με τα θέματα Δ3 και Δ4, αφού μετά την παραδοχή ότι $\displaystyle{f(x)=e^{-x}(lnx-x)}$ όσα έπονται είναι εντελώς ανεξάρτητα και δεν έχουν σχέση με εκείνα που έχουν προηγηθεί.
Κάποιος μαθητής χωρίς να "πειράξει" τα Δ1 και Δ2 μπορούσε να λύσει τα Δ3 και Δ4 χωρίς κανένα πρόβλημα.

Αγαπητέ Σπύρο.
Με συγχωρείς που επεμβαίνω αλλά νομίζω ότι η κυρία Καλφοπούλου έχει δίκαιο υπό την έννοια ότι υπάρχουν τόσα άλλα γράμματα για να χρησιμοποιήσουμε. Είναι ανάγκη να δημιουργούμε έστω και την παραμικρή αμφιβολία και να καθόμαστε να εξηγούμε αυτά που γράφεις ( που βεβαίως είναι σωστά), ενώ μπορούμε άνετα να τα αποφύγουμε χρησιμοποιώντας ένα άλλο γράμμα;

#104

Συγχαρητήρια στην επιτροπή, πολύ καλά θέματα που αξιολογούν σωστά τους μαθητές, ανάλογα με το πόσο κόπιασαν.
Μια λύση ακόμη για το Δ1 που ξενίζει.
Μην τυχόν κάποιος μαθητής την έκανε και στεναχωρείτε άδικα .
Θεωρούμε συνάρτηση $g(x)=\int\limits_{1}^{{{x}^{2}}-x+1}{f}(t)dt-\frac{x-{{x}^{2}}}{e},x\in (-\infty ,+\infty )$ .

Από την υπόθεση έχουμε ότι: $g(x)\ge 0\Leftrightarrow g(x)\ge g(0)$ για κάθε $x\in (-\infty ,+\infty )$ , ο-πότε η

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για x=1

, οπότε παρουσιάζει και τοπικό ελάχιστο για x=1

.
H συνάρτηση

είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $(-\infty ,+\infty )$ (ως διαφορά συνεχών και πα-ραγωγίσιμων συναρτήσεων), παρουσιάζει και τοπικό ελάχιστο για x=0

που είναι εσωτερικό σημείο του ${{A}_{g}}=(-\infty ,+\infty )$ , οπότε από το θεώρημα του Fermat έχουμε ότι g'(0)=0

.
Όμως: $g'(x)=f({{x}^{2}}-x+1)(2x-1)-\frac{1-2x}{e}$ , οπότε $g'(0)=f(1)+\frac{1}{e}$
και αφού g'(0)=0

, έχουμε ότι: $f(1)+\frac{1}{e}=0\Leftrightarrow f(1)=-\frac{1}{e}\,\,\,(1)$ .

Eukleidis · #105

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Συγχαρητήρια στην επιτροπή, πολύ καλά θέματα που αξιολογούν σωστά τους μαθητές, ανάλογα με το πόσο κόπιασαν.
Μια λύση ακόμη για το Δ1 που ξενίζει.
Μην τυχόν κάποιος μαθητής την έκανε και στεναχωρείτε άδικα .
Θεωρούμε συνάρτηση $g(x)=\int\limits_{1}^{{{x}^{2}}-x+1}{f}(t)dt-\frac{x-{{x}^{2}}}{e},x\in (-\infty ,+\infty )$ .

Από την υπόθεση έχουμε ότι: $g(x)\ge 0\Leftrightarrow g(x)\ge g(0)$ για κάθε $x\in (-\infty ,+\infty )$ , ο-πότε η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για , οπότε παρουσιάζει και τοπικό ελάχιστο για .
H συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $(-\infty ,+\infty )$ (ως διαφορά συνεχών και πα-ραγωγίσιμων συναρτήσεων), παρουσιάζει και τοπικό ελάχιστο για που είναι εσωτερικό σημείο του ${{A}_{g}}=(-\infty ,+\infty )$ , οπότε από το θεώρημα του Fermat έχουμε ότι .
Όμως: $g'(x)=f({{x}^{2}}-x+1)(2x-1)-\frac{1-2x}{e}$ , οπότε $g'(0)=f(1)+\frac{1}{e}$
και αφού , έχουμε ότι: $f(1)+\frac{1}{e}=0\Leftrightarrow f(1)=-\frac{1}{e}\,\,\,(1)$ .

Όμως η σχέση $\displaystyle{\int\limits_1^{{x^2} - x + 1} {f\left( t \right)dt} \geqslant \tfrac{{x - {x^2}}}{e}}$ ισχύει μονο για x>0

.

#106

Μη βιάζεσαι.

Eukleidis έγραψε:
Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Συγχαρητήρια στην επιτροπή, πολύ καλά θέματα που αξιολογούν σωστά τους μαθητές, ανάλογα με το πόσο κόπιασαν.
Μια λύση ακόμη για το Δ1 που ξενίζει.
Μην τυχόν κάποιος μαθητής την έκανε και στεναχωρείτε άδικα .
Θεωρούμε συνάρτηση $g(x)=\int\limits_{1}^{{{x}^{2}}-x+1}{f}(t)dt-\frac{x-{{x}^{2}}}{e},x\in (-\infty ,+\infty )$ .

Από την υπόθεση έχουμε ότι: $g(x)\ge 0\Leftrightarrow g(x)\ge g(0)$ για κάθε $x\in (-\infty ,+\infty )$ , ο-πότε η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για , οπότε παρουσιάζει και τοπικό ελάχιστο για .
H συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $(-\infty ,+\infty )$ (ως διαφορά συνεχών και πα-ραγωγίσιμων συναρτήσεων), παρουσιάζει και τοπικό ελάχιστο για που είναι εσωτερικό σημείο του ${{A}_{g}}=(-\infty ,+\infty )$ , οπότε από το θεώρημα του Fermat έχουμε ότι .
Όμως: $g'(x)=f({{x}^{2}}-x+1)(2x-1)-\frac{1-2x}{e}$ , οπότε $g'(0)=f(1)+\frac{1}{e}$
και αφού , έχουμε ότι: $f(1)+\frac{1}{e}=0\Leftrightarrow f(1)=-\frac{1}{e}\,\,\,(1)$ .
Όμως η σχέση με την ανισότητα $\displaystyle{\int\limits_1^{{x^2} - x + 1} {f\left( t \right)dt} \geqslant \tfrac{{{x^2} - x}}{e}}$ ισχύει μονο για χ>0.

S.E.Louridas · #107

S.E.Louridas έγραψε:
Ο s.kap έγραψε:
Κάποιος μαθητής χωρίς να "πειράξει" τα Δ1 και Δ2 μπορούσε να λύσει τα Δ3 και Δ4 χωρίς κανένα πρόβλημα.
Αν και δεν θα ήθελα να αναφερθώ στα θέματα αυτά που εξετάστηκαν οι υποψήφιοι, θα συμφωνήσω με τον Σπύρο Καπελλίδη στην πιο πάνω τοποθέτηση του.
Επί τη ευκαιρία θα ήθελα να εκφράσω μία απορία: Γιατί έχει γίνει θεσμός για το 4ο θέμα να υπάρχει ντε και καλά συνάρτηση που ο τύπος της είναι ορισμένο ολοκλήρωμα με τουλάχιστον το ένα άκρο του να είναι συνάρτηση του και γύρω από αυτό να κτίζεται το πρόβλημα;
Μήπως δίνει την δυνατότητα να δρά ο κατασκευαστής, όπως ο παλαιός δάσκαλος ο οποίος χρησιμοποιούσε άλγεβρα γιά εύκολη κατασκευή θέματος, που γινόταν δύσκολο σαν επιλύσιμο θέμα πρακτικής Αριθμητικής;
Μήπως τελικά όλοι πλέον περιμένουν τέτοιας φύσης θέμα; Δηλαδή μήπως πρόκειται πλέον γιά προβλέψιμη κατάσταση;

Θεωρώ παρά ταύτα υποχρέωση μου να πώ την τελική προσωπική μου γνώμη:
Σε γενικές γραμμές ήταν ένα καλό Διαγώνισμα χωρίς μαθηματικά κενά.

dennys · #108

Καλησπέρα mathematica

Στο σημείο αυτό να πώ ότι επειδή η ανισοισότητα γίνεται για x=0,x=1

το θ. FERMAT μπορεί να εφαρμοστει στο εσ.σημείο δηλ

στο x=1

.

Tώρα θα μπορούσε να αποφευχθεί αυτό αλλά ,ολα καλά .

πιστεύω ότι οι μαθητές έγραψαν αρκετά καλά , και μεγάλο ποσοστό είδα στο 85-95 στα 100 .Το 100αρι απο λίγα παιδιά πάλι, θα το δούμε.

dennys

apotin · #109

mathxl έγραψε:Καλό βράδυ. Γράφω μια λύση για το Δ1 (εύρεση τύπου) σχετικά σύντομη αν και νομίζω ότι έχει δοθεί μέχρι την μέση από την Χρήστο Ν.
Αφού βρούμε το πρόσημο έχουμε
$\displaystyle{\frac{{\ln x - x}}{{f\left( x \right)}} = \int\limits_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e \Leftrightarrow {\left( {\int\limits_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e} \right)^\prime } = \int\limits_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e\mathop \Leftrightarrow \limits_{\varepsilon \phi \alpha \rho \mu o\gamma \eta }^{\gamma \nu \omega \sigma \tau \eta } \int\limits_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e = c \cdot {e^x}}$
Για $\displaystyle{x = 1}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{c = 1}$ . Συνεπώς $\displaystyle{\int\limits_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e = {e^x}}$ και αντικαθιστώντας στην $\displaystyle{\frac{{\ln x - x}}{{f\left( x \right)}} = \int\limits_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e}$ (χωρίς να παραγωγίσουμε άρα χωρίς πρώτα να δικαιολογήσουμε την παραγωγισιμότητα) έχουμε $\displaystyle{\frac{{\ln x - x}}{{f\left( x \right)}} = {e^x} \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{ - x}}\left( {\ln x - x} \right)}$ (έμμεσα κάναμε και επαλήθευση). Έπειτα μπορούμε να πούμε για παραγωγισιμότητα.

εδώ

mathxl · #110

apotin έγραψε:
mathxl έγραψε:Καλό βράδυ. Γράφω μια λύση για το Δ1 (εύρεση τύπου) σχετικά σύντομη αν και νομίζω ότι έχει δοθεί μέχρι την μέση από την Χρήστο Ν.
Αφού βρούμε το πρόσημο έχουμε
$\displaystyle{\frac{{\ln x - x}}{{f\left( x \right)}} = \int\limits_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e \Leftrightarrow {\left( {\int\limits_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e} \right)^\prime } = \int\limits_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e\mathop \Leftrightarrow \limits_{\varepsilon \phi \alpha \rho \mu o\gamma \eta }^{\gamma \nu \omega \sigma \tau \eta } \int\limits_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e = c \cdot {e^x}}$
Για $\displaystyle{x = 1}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{c = 1}$ . Συνεπώς $\displaystyle{\int\limits_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e = {e^x}}$ και αντικαθιστώντας στην $\displaystyle{\frac{{\ln x - x}}{{f\left( x \right)}} = \int\limits_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e}$ (χωρίς να παραγωγίσουμε άρα χωρίς πρώτα να δικαιολογήσουμε την παραγωγισιμότητα) έχουμε $\displaystyle{\frac{{\ln x - x}}{{f\left( x \right)}} = {e^x} \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{ - x}}\left( {\ln x - x} \right)}$ (έμμεσα κάναμε και επαλήθευση). Έπειτα μπορούμε να πούμε για παραγωγισιμότητα.
εδώ

μχμχμ μου ΄διέφυγε Απόστολε. Η μισή λύση που ανέφερα στο παραπάνω μήνυμα είναι από εσένα και όχι από τον Χρήστο. Καλό σου βράδυ.

Επί της ευκαιρίας ας σχολιάσω τα θέματα.
ΘΕΜΑ Β
Β1. Προσιτό και υποστηρίζει γεωμετρικό αλλά και αλγεβρικό τρόπο προσέγγισης.
Β2. Αν ο μαθητής θυμάται το 1ο θεώρημα διαμέσων (τελευταία άσκηση από α ομάδα) ή σκεφτεί γεωμετρικά βγαίνει αρκετά γρήγορα. Η αλγεβρική αντιμετώπιση ΄με ύψωση στο τετράγωνο και κατόπιν τετραγωνική ρίζα, δεν είναι τόσο οικεία από αδύνατο μαθητή. Είναι τεχνική μεταφερόμενη από τα διανύσματα της β στην γ...
Β3. Δεν μου άρεσε η έλλειψη μέσα στο θέμα Β. Το θέμα Β πρέπει να είναι προσιτό κατά την γνώμη μου από τον αδύνατο μαθητή. Στα θετικά είναι ότι έδιναν την εξίσωση της έλλειψης οπότε με αντικατάσταση έβγαζαν την εξίσωση αλλά τις ακραίες τιμές του μέτρου τις έχασαν αρκετοί αδύνατοι...αφού δεν μπορούσαν καν, να σχεδιάσουν την έλλειψη...
Β4. Χαμένο από τους αδύνατους που δεν θυμόταν την έλλειψη. Οι υπόλοιποι δεν αντιμετώπισαν ιδιαίτερες δυσκολίες

Συγκριτικά με πέρσι, σίγουρα δυσκολότερο Β θέμα και εκτενέστερο. Μία ΄δόση αλγεβρικών πράξεων μπαίνει στο δισάκι των τουλάχιστον μέτριων μαθητών που συνεχίζουν παρακάτω. Η καθαρότητα σκέψης πέφτει κάτω από το 100% πλέον για αυτούς.
Με κλίμακα 0-10 του βάζω 6...Το περσινό παίρνει 10

ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Εύστοχο και αναμενόμενο για καλό μαθητή με μικρή μοριοδότηση
Γ2. Γ3 Καλά θέματα για τον καλό μαθητή.
Γ4. Απλό θέμα, δεν δικαιολογεί την θέση του ως τελευταίο υποερώτημα του Γ. Φαίνεται πως κάπως έπρεπε να εξεταστεί και η κατά παράγοντες ολοκλήρωση (υπολογισμός ολοκληρωμάτων)....εεε εντάξει το έκαναν μίξη με εμβαδό Υπερβολική η μοριοδότηση

Καλύτερο από το περσινό τερατούργημα που σε κλίμακα 0-10 παίρνει 1 τιμής ένεκεν. Το φετινό θα του έδινα 9 γιατί σέβεται τον καλό μαθητή. Το μόριο το χάνει γιατί υπάρχει αστοχία στην μοριοδότηση μεταξύ Γ1,Γ4.
Παρατηρώ ότι και αυτό έχει κάποια έκταση (όχι υπερβολικά μεγάλη) η οποία καταναλώνει με την σειρά της εκ νέου τη διαύγεια του μαθητή που συνεχίζει στο Δ όπως και αρκετό από τον χρόνο του. Η χρήση προχείρου θα ήταν στρατηγικά λανθασμένη.

ΘΕΜΑ Δ
Δ1. Καταβλήθηκε μεγάλη προσπάθεια το Δ να μην έχει 5-6 ερωτήματα και να μείνει στα 4. Το Δ1 είναι κλασικό παράδειγμα. Θα μπορούσε να ζητηθεί σε ξεχωριστό υποερώτημα "να δείξετε ότι η συνάρτηση παίρνει μόνο αρνητικές τιμές" και σε επόμενο υποερώτημα να βρεθεί ο τύπος. όπως είδαμε προτιμήθηκε το σαμπουάν 2 σε 1...με 10 μόρια πριμοδότηση γιατί είχε της Παναγιάς τα μάτια...Μαθητής που δεν σκέφτηκε το fermat και είδε ότι η συνάρτηση διατηρεί πρόσημο κατέφυγε σε διευρεύνηση και αντιμετώπιση κοντά στις δύο σελίδες. Μην ξεχνάτε τις διατυπώσεις για την παραγωγισιμότητα. Ο συγκεκριμένος τύπος μαθητή έχει μπουκώσει και πλέον αντιμετωπίζει σοβαρό πρόβλημα χρόνου. Αυτό σημαίνει ότι αν γνώριζε τα υπόλοιπα ερωτήματα δύσκολα θα μπορούσε να τα αντιμετωπίσει με επιτυχία. Γνωρίζω πολύ καλούς μαθητές που δεν πρόλαβαν να δουν το Δ4 και να αφιερώσουν πάνω από 5 λεπτά για το όριο(ανεπιτυχώς). Τα 2 ΘΜΤ τα έκαναν με την ταχύτητα του φωτός ως τετριμμένο θέμα.
Δ2. Ένα όριο που κατά την γνώμη μου δεν είναι δύσκολο αλλά χρονικά στην θέση που βρίσκονταν φάνηκε "ψηλότερο" από όσο πραγματικά είναι. Μοιάζει για το μπεστ σέλερ, μιας και δεν είναι λίγοι αυτοί που δεν το έγραψαν (μιλώ πάντα ύστερα από κουβέντα με συναδέλφους για τις επιδόσεις των άριστων μαθητών τους)
Δ3. Κλασικό για τους άριστους μαθητές. Στα αρνητικά ότι στην εκφώνηση έλεγε "με την βοήθεια της ανισότητας...". Είναι φανερό και εδώ ότι έγινε προσπάθεια να διατηρηθούν τα 4 υποερωτήματα του Δ. Ουσιαστικά είναι 2 ερωτήματα σε 1
Δ4. Καλό ερώτημα.

Το Δ απογοήτευσε ως προς την πρωτοτυπία. Ήταν μεγάλης έκτασης και λίγο δυσκολότερο από το περσινό. Εξετάζει πολλά θεωρήματα και απαιτεί εύλογο χρονικό διάστημα από τον άριστο μαθητή για να ανταπεξέλθει ( δεν μιλω για μαθητές που μετέχουν σε διαγωνιστικά μαθηματικά αλλά για σχολικά άριστους μαθητές). Ό χρόνος που κερδίθηκε στο Γ λόγω έκτασης χάνεται στο Δ. Οπότε από άποψη έκτασης τα περσινά και τα φετινά ήταν πιεσμένα.

Του βάζω 7.

Γενικά τα θέματα ήταν καλά αλλά δυστυχώς πάλι δεν ήταν προσεγμένα χρονικά. Οι μαθητές δεν είναι μαθηματικοί ούτε διακρίνονται όλοι σε μαθηματικούς διαγωνισμούς. Δεν μπορούμε σε εξετάσουμε τα πάντα στις εξετάσεις. Οι εξετάσεις δεν είναι μαθηματικός διαγωνισμός.
Τα συγχαρητήρια μου στην επιτροπή εξετάσεων του μαθημάτικα αλλά και σε αυτή που έβαλε τα θέματα. Μην βάζετε τόσα πολλά βρε παιδιά...ρολ μπολζάνο ΘΜΤ φερμά, τυροπιτάλ, σύνολο τιμών,...αυτό εκείνο το άλλο...

#111

dennys έγραψε:Καλησπέρα mathematica

Στο σημείο αυτό να πώ ότι επειδή η ανισοισότητα γίνεται για το θ. FERMAT μπορεί να εφαρμοστει στο εσ.σημείο δηλ

στο x=1.

Tώρα θα μπορούσε να αποφευχθεί αυτό αλλά ,ολα καλά .

πιστεύω ότι οι μαθητές έγραψαν αρκετά καλά , και μεγάλο ποσοστό είδα στο 85-95 στα 100 .Το 100αρι απο λίγα παιδιά πάλι, θα το δούμε.

dennys

Έχουμε την παρακάτω εκφώνηση:

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:(0,+\infty)->ℝ,$ η οποία για κάθε ικανοποιεί τις σχέσεις:
•
• $\int_{1}^{{{x}^{2}}-x+1}{f(t)dt}\ge \frac{x-{{x}^{2}}}{e}$
• $\ell nx-x=-\left( \int_{1}^{x}{\frac{\ell nt-t}{f(t)}dt+e} \right)\cdot \left| f(t) \right|$

Διονύση η άσκηση δεν ξεκαθαρίζει που ισχύει η ανίσωση.
Άρα θα ισχύει εκεί που ορίζεται δηλαδή στο

.
Οπότε εφαρμόζεται το fermat στο

Eukleidis · #112

Νομίζω είναι ότι η σχέση ισχύει για $\displaystyle{x > 0}$ αφου λέει η εκφώνηση:

" η οποία για κάθε $\displaystyle{x > 0}$ ικανοποιει τις σχέσεις"

#113

Eukleidis έγραψε:Νομίζω είναι ότι η σχέση ισχύει για $\displaystyle{x > 0}$ αφου λέει η εκφώνηση:

" η οποία για κάθε $\displaystyle{x > 0}$ ικανοποιει τις σχέσεις"

Το θέμα είναι που αναφέρεται το χ>0 .
Αν αναφέρεται στην ανίσωση έχεις δίκιο .
Αλλά έτσι όπως είναι γραμμένο

Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{\text{f}:(0,+\infty )\longrightarrow \mathbb{R}}$ , η οποία για κάθε x>0 ικανοποιεί τις σχέσεις:

το χ>0 πάει μόνο στη f.

Eukleidis · #114

Νομίζω οτι το $\displaystyle{x > 0}$ αναφέρεται και στις τρεις βούλες.
Το ερμηνέυω δηλαδή:

" η οποία $\displaystyle{f}$ για κάθε $\displaystyle{x > 0}$ ικανοποιει τις τρεις βούλες."

Φιλολογικό πλέον πως είναι το θέμα και χάνεται πιθανόν η ουσία σε κάθε περίπτωση.

bmathematic · #115

H f ορίζεται για $x\succ 0$ αλλά το π.ορ. του ολοληρώματος της ανισότητας είναι το R διότι $1\epsilon \left(0,+\propto \right)$ και το τριώνυμο του άλλου άκρου θα πρέπει να ανήκει στο ίδιο διάστημα. Αυτό όμως συμβαίνει για κάθε πραγματικό αριθμό. Άρα το 0 είναι εσωτερικό σημείο της συνάρτησης που ορίζουμε για να εφαρμόσουμε Fermat.

1=object? · #116

Καλησπέρα συνάδελφοι...
Ένας μικρός στοχασμός...
Ώρα 11:40 28/05/2012 ένα κορίτσι εξέρχεται από την αίθουσα εξετάσεων, φανερά προβληματισμένο από τα θέματα που μόλις κλήθηκε να αντιμετωπίσει και κάπως στεναχωρημένο που δεν μπόρεσε να ανταπεξέλθει στις προσδοκίες (ποιων;). Μετά από συζήτηση που είχαμε μου εξέφρασε τον προβληματισμό της για το γεγονός ότι βρήκε το θέμα Δ1 αρκετά περίπλοκο και προχώρησε στα επόμενα (εφικτό αφού δινόταν η f(x) ) με αποτέλεσμα να μην της φτάσει ο χρόνος... Επιπλέον ένα παράπονό της είναι ( παρότι εμείς κρίνουμε ευχάριστη έκπληξη την έλλειψη στα φετινά θέματα) η ανάκτηση γνώσεων από δεδομένα προηγούμενων τάξεων, τη στιγμή που οι μαθητές της Γ Λυκείου έχουν να μελετήσουν τόσα θεωρήματα και μεθοδολογίες...

Τελικά ο πήχυς να φτάσει που;
Παίρνοντας τα θέματα το πρωί στο εξεταστικό και θέλοντας να υποβάλλω τον εαυτό μου σε μια διαδικασία όπως αυτή που παιρνάνε οι μαθητές μας, δηλ.την πληρότητα των απαντήσεων τη καθαρότητα του γραπτού τον επανέλεγχο των ερωτήσεων κ.λ.π. διαπίστωσα ότι είχε περάσει ήδη 1 ώρα (είχα τελειώσει τα τρία πρώτα θέματα δίνοντας 3 λύσεις στο Β2 και 2 στο Β4) και είχα να αντιμετωπίσω ένα δύσμορφο 4ο θέμα που η πλήρης αιτιολόγηση ώστε να φύγει το απόλυτο, πήρε 20 λεπτά. Το άγχος κατέκλυσε και μένα πλέον όταν μια αβλεψία στο όριο με έκανε να κάνω κύκλους για την έυρεσή του. Άφησα το Δ2 και επανήλθα σ' αυτό αφού είχα δώσει λύση στα Δ3 και Δ4 (στο Δ3 και με Jensen) και επανήλθα στο Δ2 που με μεγαλύτερη ψυχραιμία κατέληξα στο ζητούμενο. Σύνολο 2 ώρες και 15 λεπτά. Μπαίνοντας αργότερα στο site είδα και τις υπόλοιπες λύσεις που προτείνουν οι αξιόλογοι συνάδελφοι...και σκέφτομαι τελικά πόσες παραμέτρους πρέπει να έχει ο ανθρώπινος εγκέφαλος ενός παιδιού μόλις 17-18 ετών ώστε να αντιμετωπίσει με τεράστια ψυχραιμία και νηφαλιότητα θέματα αυτού του επιπέδου;

Διαφωνώ λοπόν κάθετα με την εκτίμηση ότι πολλοί μαθητές θα πιάσουν 15-18 και επιπλέον στηρίζω την άποψη ότι τα θέματα ήταν σημαντικής δυσκολίας...
Και πριν βιαστείτε να απαντήσετε στο στοχασμό αυτό σας επιβεβαιώνω πως η μαθήτρια αυτή έχει πετύχει από την Ά λυκείου έως την Γ λυκείου σε όλους τους μαθηματικούς διαγωνισμούς (Θαλή, Ευκλείδη κ.λ.π.)

dennys · #117

Κώστα και για τους άλλους φίλους

καταλαβαίνω τι λές .

απλά το πρωί παίρνοντας τα θέματα στο φροντιστήριο είδαμε ότι ιίσχυε και για χ=ο,χ=1 και θα

μπορούσε κάποιος να μπερδευτεί ας το πούμε, αν έβλεπε την σχέση (ανισοισότητα )μέσα στην άσκηση και όχι ξεκομμένα.

δηλ . χάθηκε μια σχέση που να ισχυε για ενα χ_ο

φιλικά

dennys

#118

1=object? έγραψε:Διαφωνώ λοπόν κάθετα με την εκτίμηση ότι πολλοί μαθητές θα πιάσουν 15-18 και επιπλέον στηρίζω την άποψη ότι τα θέματα ήταν σημαντικής δυσκολίας...

Συμφωνώ κι εγώ με τη διαφωνία σας, παρότι απομακρυσμένος και εκτός "παιχνιδιού".
Η διαίσθηση μου αυτό λέει.Ήταν πάρα πολλά για να βγεις αλώβητος.

mathxl · #119

1=object? έγραψε:Καλησπέρα συνάδελφοι...
Ένας μικρός στοχασμός...
Ώρα 11:40 28/05/2012 ένα κορίτσι εξέρχεται από την αίθουσα εξετάσεων, φανερά προβληματισμένο από τα θέματα που μόλις κλήθηκε να αντιμετωπίσει και κάπως στεναχωρημένο που δεν μπόρεσε να ανταπεξέλθει στις προσδοκίες (ποιων;). Μετά από συζήτηση που είχαμε μου εξέφρασε τον προβληματισμό της για το γεγονός ότι βρήκε το θέμα Δ1 αρκετά περίπλοκο και προχώρησε στα επόμενα (εφικτό αφού δινόταν η f(x) ) με αποτέλεσμα να μην της φτάσει ο χρόνος... Επιπλέον ένα παράπονό της είναι ( παρότι εμείς κρίνουμε ευχάριστη έκπληξη την έλλειψη στα φετινά θέματα) η ανάκτηση γνώσεων από δεδομένα προηγούμενων τάξεων, τη στιγμή που οι μαθητές της Γ Λυκείου έχουν να μελετήσουν τόσα θεωρήματα και μεθοδολογίες...

Τελικά ο πήχυς να φτάσει που;
Παίρνοντας τα θέματα το πρωί στο εξεταστικό και θέλοντας να υποβάλλω τον εαυτό μου σε μια διαδικασία όπως αυτή που παιρνάνε οι μαθητές μας, δηλ.την πληρότητα των απαντήσεων τη καθαρότητα του γραπτού τον επανέλεγχο των ερωτήσεων κ.λ.π. διαπίστωσα ότι είχε περάσει ήδη 1 ώρα (είχα τελειώσει τα τρία πρώτα θέματα δίνοντας 3 λύσεις στο Β2 και 2 στο Β4) και είχα να αντιμετωπίσω ένα δύσμορφο 4ο θέμα που η πλήρης αιτιολόγηση ώστε να φύγει το απόλυτο, πήρε 20 λεπτά. Το άγχος κατέκλυσε και μένα πλέον όταν μια αβλεψία στο όριο με έκανε να κάνω κύκλους για την έυρεσή του. Άφησα το Δ2 και επανήλθα σ' αυτό αφού είχα δώσει λύση στα Δ3 και Δ4 (στο Δ3 και με Jensen) και επανήλθα στο Δ2 που με μεγαλύτερη ψυχραιμία κατέληξα στο ζητούμενο. Σύνολο 2 ώρες και 15 λεπτά. Μπαίνοντας αργότερα στο site είδα και τις υπόλοιπες λύσεις που προτείνουν οι αξιόλογοι συνάδελφοι...και σκέφτομαι τελικά πόσες παραμέτρους πρέπει να έχει ο ανθρώπινος εγκέφαλος ενός παιδιού μόλις 17-18 ετών ώστε να αντιμετωπίσει με τεράστια ψυχραιμία και νηφαλιότητα θέματα αυτού του επιπέδου;

Διαφωνώ λοπόν κάθετα με την εκτίμηση ότι πολλοί μαθητές θα πιάσουν 15-18 και επιπλέον στηρίζω την άποψη ότι τα θέματα ήταν σημαντικής δυσκολίας...
Και πριν βιαστείτε να απαντήσετε στο στοχασμό αυτό σας επιβεβαιώνω πως η μαθήτρια αυτή έχει πετύχει από την Ά λυκείου έως την Γ λυκείου σε όλους τους μαθηματικούς διαγωνισμούς (Θαλή, Ευκλείδη κ.λ.π.)

Άυτά έθιξα και εγώ παραπάνω (έκανα edit). Συμφωνώ μαζί σου. Βαρεθήκαμε να βλέπουμε μαθητές με αξιώσεις συνεπείς με καλό μυαλό να κλαίνε λόγω χρόνου...

#120

1) Η εκφώνηση στο Δ θέμα είναι σαφέστατη. Για την συνάρτηση

και για κάθε x>0

ισχύουν οι παρακάτω τρεις σχέσεις:....
Άρα και η $\displaystyle\int_1^{x^2-x+1}{f(t)\,dt}\geq\frac{x-x^2}{e}$ , δίνεται ότι ισχύει για κάθε x>0

.

2)

bmathematic έγραψε:H f ορίζεται για $x\succ 0$ αλλά το π.ορ. του ολοληρώματος της ανισότητας είναι το R διότι $1\epsilon \left(0,+\propto \right)$ και το τριώνυμο του άλλου άκρου θα πρέπει να ανήκει στο ίδιο διάστημα. Αυτό όμως συμβαίνει για κάθε πραγματικό αριθμό. Άρα το 0 είναι εσωτερικό σημείο της συνάρτησης που ορίζουμε για να εφαρμόσουμε Fermat.

Στην δεδομένη σχέση $\displaystyle\int_1^{x^2-x+1}{f(t)\,dt}\geq\frac{x-x^2}{e}$ , μπορεί, όπως εύκολα απέδειξες ότι συμβαίνει, το πρώτο μέλος (ολοκλήρωμα) να ορίζεται σε όλο το $\mathbb{R}$ αλλά υπάρχει και δεύτερο μέλος στην σχέση.

Επομένως για να χρησιμοποιηθεί το ότι η σχέση $\displaystyle\int_1^{x^2-x+1}{f(t)\,dt}\geq\frac{x-x^2}{e}$ ισχύει σε όλο $\mathbb{R}$ , πρέπει πρώτα να αποδειχθεί ότι ισχύει σε όλο το $\mathbb{R}$ .

φιλικά

Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Μέλη σε σύνδεση