Διαφορικός Λογισμός 24

Γιώργος Κ77 · #1

Δίνονται οι συναρτήσεις

και

με πεδίο ορισμού το

, οι οποίες είναι δύο φορές παραγωγίσιμες

και ισχύει $g(x)\neq 0$ , για κάθε $x\in R$ .Έστω $\alpha \in R$ .

Θέτουμε $A=\frac{f(\alpha )}{g(a)}$ και $B=\frac{f'(\alpha )-Ag'(\alpha )}{g(\alpha )}$ .

Αν $\phi$ είναι πραγματική συνάρτηση ορισμένη στο $R-\begin{Bmatrix} \alpha \end{Bmatrix}$ τέτοια, ώστε :

$\frac{f(x)}{(x-\alpha )^{2}g(x)}=\frac{A}{(x-\alpha )^{2}}+\frac{B}{x-\alpha}+\frac{\phi (x)}{g(x)}$ , για κάθε $x \in R-\begin{Bmatrix} \alpha \end{Bmatrix}$ ,

να αποδείξετε ότι υπάρχει το $\displaystyle{\lim_{ x \to \alpha } \phi (x)$ .

#2

...παλαιό θέμα των δεσμών πάντα αξιόλογο και διδακτικό...γιά την εφαρμογή του κανόνα του DLH ...
και αν θυμάμαι καλά δέχθηκαν σωστές(!!!!) τις απαντήσεις τότε αυτών που χρησιμοποίησαν την συνέχεια
της 2ης παραγώγου των f,g....ως συνήθως από κάτι τέτοια πάντα αδικούνται οι άριστοι μαθητές....

Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)},\,\,\,\,\,x\in R$ αφού $g(x)\ne 0$ τότε λόγω υπόθεσης θα έχουμε

$A=h(\alpha )$ και $B={h}'(\alpha )$ και η δοθείσα σχέση γράφεται $\frac{h(x)}{{{(x-\alpha )}^{2}}}=\frac{h(\alpha )}{{{(x-\alpha )}^{2}}}+\frac{{h}'(\alpha )}{x-\alpha }+\frac{\varphi (x)}{g(x)}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \varphi (x)=g(x)\left( \frac{h(x)-h(\alpha )-(x-\alpha ){h}'(\alpha )}{{{(x-\alpha )}^{2}}} \right)$ (1)

Τώρα είναι $\underset{x\to \alpha }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{h(x)-h(\alpha )-(x-\alpha ){h}'(\alpha )}{{{(x-\alpha )}^{2}}} \right)\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to \alpha }{\mathop{\lim }}\,\frac{{h}'(x)-{h}'(\alpha )}{2(x-\alpha )}=\frac{1}{2}{h}''(\alpha )$

επειδή η

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη αφού οι f,g

είναι δύο φορές παραγωγίσιμες

Ετσι από (1) υπάρχει το $\underset{x\to \alpha }{\mathop{\lim }}\,\varphi (x)=\frac{1}{2}g(\alpha ){h}''(\alpha )$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Γιώργος Κ77 · #3

Όντως Βασίλη.Καλό παλαιότερο θέμα δεσμών.

Διαφορικός Λογισμός 24

Διαφορικός Λογισμός 24

Re: Διαφορικός Λογισμός 24

Re: Διαφορικός Λογισμός 24

Μέλη σε σύνδεση