ΥΠΑΡΞΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

καλό μεσημέρι σε όλους

παραθέτω μια άσκηση που "ξέθαψα" πριν φύγω για διακοπές, μπορεί και να έχει συζητηθεί.Αν ναι, ενημερώστε με.
'Εστω f δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R με |f( x )| μικρότερη ή ίση του 1 για κάθε χ στο R και ( {f(0)} )^2 + ( {f'(0)} )^2 = 4.Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ στο R ώστε f(ξ ) + f''(ξ ) = 0

dement · #2

Καλημερα.

Εστω σημεια x, y

με $x < 0, \ y > 0$ και $|f^{\prime}(x)| < 1, \ |f^{\prime}(y)| < 1$ (υπαρχουν, αλλιως η

δε θα ηταν φραγμενη).

Θεωρουμε τη συναρτηση $g(x) = f(x)^2 + f^{\prime} (x)^2$ , η οποια ειναι παραγωγισιμη στο [x, y]

. Η

παιρνει τη μεγιστη τιμη της (για το [x,y]

) στο $\xi \in (x,y)$ (αφου $g(0) > g(x), \ g(0) > g(y)$ ). Επισης, ισχυει $f^{\prime} (\xi) \neq 0$ (αλλιως θα ειχαμε $g( \xi) \leq 1 < 4 = g(0)$ ).

Οποτε, εχουμε $g^{\prime} (\xi) = 0 = 2 f^{\prime} (\xi) \left( f(\xi) + f^{\prime \prime} (\xi) \right)$ και αφου $f^{\prime} (\xi) \neq 0$ εχουμε το ζητουμενο.

Δημητρης Σκουτερης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #3

καλημέρα κ.Σκουτερη, ευχαριστώ αφενός που ασχοληθήκατε με το θέμα αφετέρου θα ήθελα να ρωτήσω πως προκύπτει η ύπαρξη χ<0, ψ>0 από το φραγμένο της f ώστε η παράγωγος στα σημεία αυτά να φράσσεται από το 1;

dement · #4

Καλημερα.

Αν, π.χ., για καθε x > 0

ισχυει $|f^{\prime} (x)| \geq 1$ , τοτε θα ισχυει ειτε $f^{\prime} (x) \geq 1$ για καθε x > 0

ειτε $f^{\prime} (x) \leq -1$ για καθε x > 0

, γιατι η παραγωγος ειναι συνεχης. Οποτε, με ολοκληρωση της παραγωγου, βλεπουμε οτι σε καποιο σημειο η

θα 'ξεφυγει' απο τη ζωνη [-1,1]

. Ομοιως για x < 0

.

Δημητρης Σκουτερης

k-ser · #5

Δημήτρη, πολύ καλή η λύση σου.
Αν δεν κάνω κάπου λάθος τα x, y μπορούν να προκύψουν από ΘΜΤ στα [-2,0] και [0,2]
$\displaystyle |f^{\prime}(x)|=\frac{|f(0)-f(-2)|}{2} \leq \frac{|f(0)|+|f(-2)|}{2}\leq \frac{1+1}{2}=1$
και
$\displaystyle |f^{\prime}(y)|=\frac{|f(2)-f(0)|}{2} \leq \frac{|f(2)|+|f(0)|}{2}\leq \frac{1+1}{2}=1$
Είναι προφανές ότι, επιλέγοντας κατάλληλα διαστήματα μπορούμε τα $\displaystyle |f^{\prime}(x)|$ και $\displaystyle |f^{\prime}(x)|$ να τα περιορίσουμε όσο θέλουμε.

Ακόμα, το δεδομένο g(0)=4

μπορεί να αντικατασταθεί από το "ασθενέστερο": g(0)=a

με

mathxl · #6

Ψάχνοντας για ασκήσεις :o

http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=239613 Putnam 1976,A-6

ΥΠΑΡΞΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

ΥΠΑΡΞΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

Re: ΥΠΑΡΞΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

Re: ΥΠΑΡΞΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

Re: ΥΠΑΡΞΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

Re: ΥΠΑΡΞΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

Re: ΥΠΑΡΞΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

Μέλη σε σύνδεση