Τελευταία ψηφία

kbatsos · #1

Ποια είναι τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού $3^{999}$ ;

#2

kbatsos έγραψε:Ποια είναι τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού $3^{999}$ ;

Από το θεώρημα του Euler είναι

$\displaystyle{3^{\phi (100)}\equiv 1\mod 100}$

άρα

$\displaystyle{3^{40}\equiv 1\mod 100}$ και επομένως

$\displaystyle{3^{960}\equiv 1\mod 100.}$

Άρα το πρόβλημα ανάγεται στο να βρούμε τον θετικό ακέραιο $\displaystyle{x<100}$ ώστε $\displaystyle{3^{39}\equiv x\mod 100.}$

Είναι

$\displaystyle{3^{39}\equiv 27\cdot 81^9 \equiv 27(-19)^9\equiv -(3\cdot 19^3)^3\equiv -20577^3\equiv 23^3\equiv 67\mod 100.}$

Άρα τα δύο τελευταία ψηφία του $\displaystyle{3^{999}}$ είναι τα $\displaystyle{67.}$

#3

Αρχίζοντας από την 3^1=03

, τα δύο τελευταία ψηφία των δυνάμεων του

είναι

Η παραπάνω προφανής και αναπόφευκτη περιοδικότητα μήκους

και η διαίρεση $399=20\times 19+19$ μας επιτρέπει να καταλήξουμε στον δέκατο ένατο αριθμό της λίστας,

.

Γιώργος Μπαλόγλου

kbatsos · #4

gbaloglou έγραψε:Αρχίζοντας από την , τα δύο τελευταία ψηφία των δυνάμεων του είναι

Η παραπάνω προφανής και αναπόφευκτη περιοδικότητα μήκους και η διαίρεση $399=20\times 19+19$ μας επιτρέπει να καταλήξουμε στον δέκατο ένατο αριθμό της λίστας, .

Γιώργος Μπαλόγλου

θα μπορούσατε να μου εξηγήσετε με ποιο κριτήριο επιλέξαμε τη διαίρεση $399= 20\times 19 +19$ ;

#5

matha έγραψε:
Από το θεώρημα του Euler είναι

$\displaystyle{3^{\phi (100)}\equiv 1\mod 100}$

gbaloglou έγραψε:Αρχίζοντας από την , τα δύο τελευταία ψηφία των δυνάμεων του είναι

Η παραπάνω προφανής και αναπόφευκτη περιοδικότητα μήκους

Συμπληρωματικά με όσα αναφέρει ο Θάνος και ο Γιώργος παραπάνω, αξίζει να αναφερθεί ότι η "αναπόφευκτη" περιοδικότητα οφείλεται στη συνάρτηση $\phi$ του Euler. Συγκεκριμένα τα δύο τελευταία ψηφία δυνάμεων του 3 (αλλά και οποιασδήποτε δύναμης ενός φυσικού αριθμού

με

) έχουν περίοδο μήκους $\phi(100)=40$ ή διαιρέτη του 40 (εδώ το μήκος είναι 20 που είναι διαιρέτης του 40).

Με δεδομένο ότι αν (a,n)=1

τότε $a^{\phi(n)}\equiv 1\pmod {n}$ (θεώρημα Euler) ισχύει το παρακάτω αποτέλεσμα:

Αν

είναι ο ελάχιστος θετικός ακέραιος για τον οποίο $a^d\equiv 1\pmod{n}$ τότε $d|\phi(n)$ .

Ο αριθμός

ονομάζεται τάξη του αριθμού

ως προς το

και συμβολίζεται με $ord_n{a}$ . Στο συγκεκριμένο πρόβλημα έχουμε $ord_{100}{3}=20$ διότι ο ελάχιστος θετικός ακέραιος στον οποίο πρέπει να υψώσουμε το 3 ώστε να είναι ισότιμο με $1\pmod{100}$ είναι το 20.

(Για την απόδειξη θεωρείστε την ευκλείδεια διαίρεση του

με τον

και δουλέψτε με εις άτοπο απαγωγή)

Αλέξανδρος

#6

kbatsos έγραψε:
gbaloglou έγραψε:Αρχίζοντας από την , τα δύο τελευταία ψηφία των δυνάμεων του είναι

Η παραπάνω προφανής και αναπόφευκτη περιοδικότητα μήκους και η διαίρεση $399=20\times 19+19$ μας επιτρέπει να καταλήξουμε στον δέκατο ένατο αριθμό της λίστας, .

Γιώργος Μπαλόγλου
θα μπορούσατε να μου εξηγήσετε με ποιο κριτήριο επιλέξαμε τη διαίρεση $399= 20\times 19 +19$ ;

Κάθε

βήματα επιστρέφουμε στα ίδια (δύο τελευταία) ψηφία, άρα μπορούμε να δούμε τα

βήματα ως 'υπερβήμα', και το ερώτημα -- που απαντά η παραπάνω διαίρεση -- είναι με πόσα τέτοια 'υπερβήματα' (βλέπε πηλίκο διαίρεσης) φθάνουμε 'κοντά' (βλέπε υπόλοιπο διαίρεσης) στον 399

, κλπ [Αφού δηλαδή αντιληφθούμε ότι τα δύο τελευταία ψηφία του $3^{380}$ είναι

, το πρόβλημα ανάγεται στον καθορισμό των δύο τελευταίων ψηφίων του $3^{19}$ , κλπ κλπ]

Γιώργος Μπαλόγλου

#7

Λίγο διαφορετικά από την απόδειξη του Θάνου.

Γνωρίζουμε ότι $3^{40} \equiv 1 \bmod 100$ και άρα $3^{400} \equiv 1 \bmod 100$ .

[Αυτά τα σχόλια δεν χρειάζονται για την απόδειξη αλλά είναι ο τρόπος που σκεφτόμαστε. Αρκεί να βρόυμε αριθμό $0 \leqslant n \leqslant 99$ ώστε $3n \equiv 1 \bmod 100$ . Τότε θα έχουμε $n \equiv 3^{400}n \equiv 3^{399}(3n) \equiv \bmod 100$ . To 101 δεν διαιρείται με το 3, το 201 όμως διαιρείται. Επομένως μπορούμε να πάρουμε n = 201/3 = 67

. Τέλος σχολίων συνεχίζουμε με την απόδειξη...]

Επειδή επιπλέον $3 \cdot 67 \equiv 1 \bmod 100$ , τότε $3^{399} \equiv 3^{399} \cdot 3 \cdot 67 \equiv 67 \bmod 100$ και άρα τα δυο τελευταία ψηφία του $3^{399}$ είναι τα

.

----
Επεξεργασία: Διόρθωση τυπογραφικού σφάλματος.

kbatsos · #8

Σας ευχαριστώ πολύ για τις ιδέες και λύσεις σας!

Τελευταία ψηφία

Τελευταία ψηφία

Re: Τελευταία ψηφία

Re: Τελευταία ψηφία

Re: Τελευταία ψηφία

Re: Τελευταία ψηφία

Re: Τελευταία ψηφία

Re: Τελευταία ψηφία

Re: Τελευταία ψηφία

Μέλη σε σύνδεση