Εμβαδόν ορθογωνίου

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

Γιώργος Απόκης · #2

Η εξίσωση γράφεται : $\displaystyle{\frac{x^2}{4}+y^2=1}$ , άρα η έλλειψη έχει $a=2,\beta=1,\gamma=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$ και εστίες $E(\sqrt{3},0),E'(-\sqrt{3},0)$ .

Έστω A(x,y)

, τότε

και $A'E=|x-\sqrt{3}|$ . Αν θεωρήσουμε $x\geq 0$ (*), έχουμε : $x^2+4y^2=4\Leftrightarrow x=\sqrt{4-4y^2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=2\sqrt{1-y^2},~-1\leq y \leq 1$ , δηλαδή $A'E=|2\sqrt{1-y^2}-\sqrt{3}|$ και $EE'=2\sqrt{3}$

Eπομένως το εμβαδόν του ορθογωνίου θα είναι : $E(y)=EE'\cdot A'E=2\sqrt{3}|2\sqrt{1-y^2}-\sqrt{3}|$ .

$\bullet$ Aν $\displaystyle{ 2\sqrt{1-y^2}-\sqrt{3}\geq 0\Leftrightarrow \sqrt{1-y^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow 1-y^2\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow y\in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]}$ τότε

$E(y)=2\sqrt{3}(2\sqrt{1-y^2}-\sqrt{3})=4\sqrt{3}\sqrt{1-y^2}-6$ .

$\bullet$ Aν $\displaystyle{ 2\sqrt{1-y^2}-\sqrt{3}< 0\Leftrightarrow y\in \left[-1,-\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2},1\right]}$ τότε

$E(y)=-2\sqrt{3}(2\sqrt{1-y^2}-\sqrt{3})=-4\sqrt{3}\sqrt{1-y^2}+6$ .

Θεωρούμε άξονες

και

.

Στην πρώτη περίπτωση έχουμε : $\displaystyle{E+6=4\sqrt{3}\sqrt{1-y^2}\Leftrightarrow \frac{E+6}{4\sqrt{3}}=\sqrt{1-y^2}\Leftrightarrow y^2+\frac{(E+6)^2}{48}=1}$

και στη δεύτερη : $\displaystyle{6-E=4\sqrt{3}\sqrt{1-y^2}\Leftrightarrow \frac{6-E}{4\sqrt{3}}=\sqrt{1-y^2}\Leftrightarrow y^2+\frac{(E-6)^2}{48}=1}$

Η γραφική παράσταση, επομένως, αποτελείται από δύο τόξα ελλείψεων ("εκτός ύλης" της Β' Λυκείου)

(*) Λόγω συμμετρίας ως προς τον y'y

τα αποτελέσματα είναι ίδια για x<0

.

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

Εμβαδόν ορθογωνίου

Εμβαδόν ορθογωνίου

Re: Εμβαδόν ορθογωνίου

Re: Εμβαδόν ορθογωνίου

Μέλη σε σύνδεση