Με αφορμή ένα φετεινό θέμα στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης

#1

Α) 'Εστω ένα διατεταγμένο σώμα

που έχει την ιδιότητα:
Κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα του με θετική παράγωγο είναι γνησίως αύξουσα.
Δείξτε ότι το

είναι (ισόμορφο με) το $\mathbb{R}$
B) Σχολιάστε την παρακάτω απόδειξη του θέματος Α1 (βρέθηκε σε γραπτό και μου την έδειξε συνάδελφος βαθμολογητής του Βαθμολογικού μας Κέντρου):
"Αποδεικνύουμε το θέωρημα στην περίπτωση που για κάθε . Παίρνουμε και θα δείξουμε ότι $f\left( x\right) <f\left( x_{0}\right)$ . Είναι $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{-}}\frac{f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) }{x-x_{0}}=f^{\prime }\left( x_{0}\right) >0$ και επομένως κοντά στο θα είναι $\dfrac{f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) }{x-x_{0}}>0$ και αφού είναι και $f\left( x\right) <f\left( x_{0}\right)$ ."
Μαυρογιάννης

air · #2

Για το β:

Ο μαθητής διαλέγει x<x_0

. Στη συνέχεια επικαλείται το ορισμό του ορίου. Δε γνωρίζει όμως αν το

ανήκει στην ε-περιοχή του x_0

στην οποία ισχύει ότι $\dfrac{f\left( x'\right) -f\left( x_{0}\right) }{x'-x_{0}}>0$ . Και δε νομίζω να σώζεται με κάποιο τρόπο το επιχείρημα. Ακόμα π.χ. και άμα προσπαθούσε επαγωγικά να διαλέξει κάθε φορά $x_i=x_{i-1}-\frac{\epsilon_{i-1}}{2}$ , όπου $\epsilon_{i}>0$ το ε που προκύπτει κάθε φορά από το ορισμό, ώστε στο τέλος να επιχειρηματολογήσει f(x_0)>f(x_1)>...>f(x)

θα υπήρχε πρόβλημα γιατί δε γνωρίζει άμα θα φτάσει ποτέ αρκετά κοντά στο

που διάλεξε στην αρχή..

Βέβαια είναι αρκετά ενδιαφέρον το γεγονός ότι με αντίστοιχη λογική (κοιτώντας την κατάσταση τοπικά) με αυτή του μαθητή αποδεικνύεται το θεώρημα του Fermat (σίγουρα αυτή τη απόδειξη θα είχε στο μυαλό του και θα τα μπέρδεψε). Και με το θεώρημα Fermat, μπορεί κανείς να δείξει το θεώρημα Rolle, δηλαδή και το θεώρημα μέσης τιμής και τελικά τη πρόταση που πρέπει να αποδειχθεί εδώ. Με άλλα λόγια, αυτό που φαντάζει αδύνατο στη προσπάθεια απόδειξης αυτού του μαθητή (δηλαδή από την ε-περιοχή να μπορέσει να το γενικεύσει σε ολόκληρο το δοσμένο διάστημα) τελικά όντως είναι εφικτό. Αυτή είναι και η ομορφιά των μαθηματικών.

#3

nsmavrogiannis έγραψε:Α) 'Εστω ένα διατεταγμένο σώμα που έχει την ιδιότητα:
Κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα του με θετική παράγωγο είναι γνησίως αύξουσα.
Δείξτε ότι το είναι (ισόμορφο με το) $\mathbb{R}$

Αρκεί να αποδείξουμε ότι το

ικανοποιεί το αξίωμα της πληρότητας. (Θεωρούμε γνωστό ότι το $\mathbb{R}$ είναι το μοναδικό διατεταγμένο σώμα που ικανοποιεί το αξίωμα.)

Ας υποθέσουμε πως αυτό δεν ισχύει και έστω $S \neq \emptyset$ ένα άνω φραγμένο υποσύνολο του

το οποίο δεν έχει ελάχιστο άνω φράγμα (supremum). Για κάθε $s \in S$ υπάρχει $s' \in S$ με s < s'

αφού αλλιώς το

θα ήταν το supremum του

. Άρα υπάρχει περιοχή U_s

του

με $U_s \subseteq S$ . Ομοίως για κάθε $t \notin S$ υπάρχει $t' \notin S$ με t < t'

και άρ υπάρχει περιόχή U_t

του

με $U_t \subseteq S^c$ . Έστω τώρα $s \in S$ και $t \notin S$ . Ορίζουμε $f:[s,t] \to \mathbb{R}$ με τύπο $f(x) = \begin{cases} x & \textnormal{\gr an } x \in S \\ x + s-t, & \textnormal{\gr an } x \notin S.\end{cases}$ Η

προφανώς δεν είναι γνησίως αύξουσα αφού f(s) = f(t)

. Από την άλλη f'(x) = 1

για κάθε $x \in (s,t)$ υπάρχει περιοχή U_x

του

με

για κάθε $y \in U_x$ .

Αυτό είναι άτοπο και άρα πράγματι το

είναι ισόμορφο με το $\mathbb{R}$ .

#4

Η όλη φάση αφορά το ότι δεν έβαλε ο μαθητής το " $x\in\mathbb R$ "; (ή άσχετο..)

Ιστοσελίδα · #5

nsmavrogiannis έγραψε: B) Σχολιάστε την παρακάτω απόδειξη του θέματος Α1 (βρέθηκε σε γραπτό και μου την έδειξε συνάδελφος βαθμολογητής του Βαθμολογικού μας Κέντρου):
"Αποδεικνύουμε το θέωρημα στην περίπτωση που για κάθε . Παίρνουμε και θα δείξουμε ότι $f\left( x\right) <f\left( x_{0}\right)$ . Είναι $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{-}}\frac{f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) }{x-x_{0}}=f^{\prime }\left( x_{0}\right) >0$ και επομένως κοντά στο θα είναι $\dfrac{f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) }{x-x_{0}}>0$ και αφού είναι και $f\left( x\right) <f\left( x_{0}\right)$ ."
Μαυρογιάννης

Αν ξαναγράψουμε την «απόδειξη» του μαθητή αλλάζοντας το συμβολισμό σε $\displaystyle{{x_1},\,\,{x_2}}$ , φαίνεται καλύτερα το κενό στην απόδειξη αφού η χρήση του

"ξεγελά".

«Παίρνουμε $\displaystyle{{x_1} < {x_2}}$ και θα δείξουμε ότι $\displaystyle{f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)}$
Είναι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{{x_1} \to x_2^ - } \frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = {f^\prime }\left( {{x_2}} \right) > 0}$ και επομένως κοντά στο ${x_2}$ θα είναι $\displaystyle{\frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} > 0}$ και αφού $\displaystyle{{x_1} < {x_2}}$ είναι και $\displaystyle{f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)}$ .»

Το λάθος, πιστεύω, του συλλογισμού βρίσκεται στο σημείο που γράφει $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{{x_1} \to x_2^ - } \frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = {f^\prime }\left( {{x_2}} \right)}$ . Ο λόγος είναι ότι τα $\displaystyle{{x_1},\,\,{x_2}}$ «παίρνουν κάθε φορά συγκεκριμένες τιμές» οπότε δεν έχει νόημα το να γράψουμε ότι $\displaystyle{{x_1} \to {x_2}}$

Μίλτος

#6

Για το Α) εκτός από την προσέγγιση του Δημήτρη μπορούμε να έχουμε και μία παρόμοια με εκείνης του
viewtopic.php?f=9&t=8811&p=49734#p49734
καταλήγοντας σε άτοπο παίρνοντας την συνάρτηση
$f(x)=\begin{cases} &x ,\,\,\, x \in A \\ & x-1, \,\,\, x \in B \end{cases}$

Για το B) Πέρα από τις εύστοχες επισημάνσεις του air και του Μίλτου Παπαγρηγοράκη που δείχνουν για ποιο λόγο η απάντηση είναι εσφαλμένη μπορούμε να έχουμε και μία "μακροσκοπική" απάντηση χωρίς να εξετάσουμε λεπτομέρειες: Οποιαδήποτε απόδειξη που χρησιμοποιεί ιδιότητες των ορίων χωρίς να επικαλείται κάποια πρόταση που είναι ισοδύναμη με κάποιο αξίωμα συνεχείας (το θεώρημα μέσης τιμής είναι) είναι a priori λάθος. Διότι το συμπέρασμα που πρέπει να αποδειχθεί είναι ισοδύναμο με την συνέχεια του $\mathbb{R}$ ενώ οι απλές ιδιότητες των ορίων ισχύεουν σε κάθε διατεταγμένο σώμα.

Μαυρογιάννης

#7

Διδακτικό ενδιαφέρον έχει και μία ...αυτοσχέδια λύση μαθητή για το Α.1 που μου την έδειξε στο ΒΚ για συζήτηση συνάδελφος διορθωτής. Αυτός λοιπόν -ο μαθητής - παίρνει τυχαίο x_0

από το διάστημα και με καλή αξιοποίηση του ορισμού του ορίου αποδεικνύει ότι τα γειτονικά

που είναι μικρότερα από το x_0

δίνουν

,ενώ τα μεγαλύτερα δίνουν f(x) > f(x_0)

.

Συμπεραίνει λοιπόν ο μαθητής :

'' Αφού αυτό συμβαίνει για κάθε x_0

, η τιμές της συνάρτησης συνεχώς μεγαλώνουν, άρα αυτή είναι γνησίως αύξουσα ''.

Ωραίες σκέψεις που δείχνουν μαχητικότητα και ερευνητική διάθεση , με οδηγό την εποπτεία ή τη διαίσθηση ή και τα δύο ! Το κατά πόσον είναι αυστηρά σωστές, είναι άλλο ζήτημα και για ευνόητους λόγους καλύτερα να μη το σχολιάσουμε βαθμολογικά μέχρι να βγουν τα αποτελέσματα.

Μπάμπης

Με αφορμή ένα φετεινό θέμα στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Με αφορμή ένα φετεινό θέμα στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Re: Με αφορμή ένα φετεινό θέμα θεωρίας στα Μαθηματικά Κατεύθ

Re: Με αφορμή ένα φετεινό θέμα θεωρίας στα Μαθηματικά Κατεύθ

Re: Με αφορμή ένα φετεινό θέμα θεωρίας στα Μαθηματικά Κατεύθ

Re: Με αφορμή ένα φετεινό θέμα θεωρίας στα Μαθηματικά Κατεύθ

Re: Με αφορμή ένα φετεινό θέμα στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Re: Με αφορμή ένα φετεινό θέμα στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μέλη σε σύνδεση