Ταυτοτική...

Δημήτρης Μυρογιάννης · #1

θεωρούμε μία συνάρτηση

γνησίως αύξουσα στο

για την οποία επιπλέον ισχύει ότι f(f(f(x)))=f(x)

για κάθε $x \in R$ .
Δείξτε ότι η

είναι η ταυτοτική για κάθε $x \in R$ .

mathxl · #2

Επειδή η συνάρτηση μας είναι γνησίως αύξουσα θα είναι και συνάρτηση $\displaystyle{1 - 1}$ .
Είναι $\displaystyle{f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( {f\left( x \right)} \right) = x,\forall x \in R}$ .
Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right) = f\left( x \right) + x,x \in R}$ η οποία είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση (με ορισμό), άρα και συνάρτηση $\displaystyle{1 - 1}$ .
Επίσης έχουμε ότι $\displaystyle{g\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( {f\left( x \right)} \right) + f\left( x \right) = x + f\left( x \right) = g\left( x \right)}$ .
Επειδή η $\displaystyle{g}$ είναι $\displaystyle{1 - 1}$ προκύπτει $\displaystyle{f\left( x \right) = x,\forall x \in R}$ .

#3

maths-!!! έγραψε:θεωρούμε μία συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο για την οποία επιπλέον ισχύει ότι για κάθε $x \in R$ .
Δείξτε ότι η είναι η ταυτοτική για κάθε $x \in R$ .

Κλασσική.

Αν για κάποιο

είναι

τότε από την υπόθεση έχουμε διαδοχικά f(f(x)) > f(x)

και άρα

, άτοπο. Όμοια αν f(x) < x

.

Μ.

Δημήτρης Μυρογιάννης · #4

Είχα υπ'όψιν μου τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο του κ.Μ.Λάμπρου .... αλλά η μέθοδος του Βασίλη είναι εντυπωσιακή...

Ταυτοτική...

Ταυτοτική...

Re: Ταυτοτική...

Re: Ταυτοτική...

Re: Ταυτοτική...

Μέλη σε σύνδεση