Σημεία Feuerbach

spege · #1

Ήθελα να θέσω δυο ερωτήσεις προς όλα τα μέλη.
Γνωρίζετε να υπάρχει απόδειξη ,με Ευκλείδεια μέσα, στα εξής δυο θέματα;
1) Τα σημεία επαφής του κύκλου Euler με τους παρεγγεγραμμένους ,γνωστά ως σημεία Feuerbach ,ορίζουν τρία τμήματα με τις απέναντι κορυφές ενός τριγώνου . Τα τμήματα αυτά διέρχονται από το ίδιο σημείο
2) Αντίστοιχο θέμα με τον Απολλώνιο κύκλο που εφάπτεται των τριών παρεγγεγραμμένων .
Σπύρος

#2

spege έγραψε:Ήθελα να θέσω δυο ερωτήσεις προς όλα τα μέλη.
Γνωρίζετε να υπάρχει απόδειξη ,με Ευκλείδεια μέσα, στα εξής δυο θέματα;
1) Τα σημεία επαφής του κύκλου Euler με τους παρεγγεγραμμένους ,γνωστά ως σημεία Feuerbach ,ορίζουν τρία τμήματα με τις απέναντι κορυφές ενός τριγώνου . Τα τμήματα αυτά διέρχονται από το ίδιο σημείο
2) Αντίστοιχο θέμα με τον Απολλώνιο κύκλο που εφάπτεται των τριών παρεγγεγραμμένων .
Σπύρος

Ίσως χρειάζεται ένα σχήμα και ένα ακόμα ερώτημα για να αποκτήσει μεγαλύτερο ενδιαφέρον το όμορφο αυτό θέμα.

: 1.png (56.77 KiB) Προβλήθηκε 1122 φορές

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ . Θεωρούμε γνωστό ότι ο κύκλος $\displaystyle{ \left( {Euler} \right) }$ , $\displaystyle{ \left( E \right) }$ του τριγώνου εφάπτεται των παρεγγεγραμμένων κύκλων $\displaystyle{ \left( {I_a } \right),\left( {I_b } \right),\left( {I_c } \right) }$

και του εγγεγραμμένου $\displaystyle{ \left( I \right) }$ (Θεώρημα Feuerbach). Αν $\displaystyle{ F_a ,F_b ,F_c }$ είναι τα σημεία επαφής των $\displaystyle{ \left( E \right) - \left( {I_a } \right),\left( E \right) - \left( {I_b } \right),\left( E \right) - \left( {I_c } \right) }$ αντίστοιχα

να δειχθεί ότι οι ευθείες $\displaystyle{ AF_a ,BF_b ,CF_c }$ διέρχονται από το ίδιο σημείο $\displaystyle{ F }$

το οποίο ανήκει στην ευθεία που συνδέει το έκκεντρο $\displaystyle{ I }$ του $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ και το κέντρο $\displaystyle{ E }$ του κύκλου $\displaystyle{ \left( {Euler} \right) }$ του τριγώνου $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ .

Περιμένοντας τους ειδικούς στις συντρέχουσες ευθείες και στα συνευθειακά σημεία.

Φιλικά
Στάθης

Υ.Σ. Σπύρο το δεύτερο ερώτημα μήπως χρειάζεται διευκρίνηση γιατί δεν ξέρω κατά πόσο οι Απολλώνιοι κύκλοι εφάπτονται των παρεγγεγραμμένων;

spege · #3

Στάθη καλησπέρα
Για το δεύτερο θέμα νομίζω ναι γιατί είναι ενα απο τα Απολλώνια προβλήματα
Εχω κάποια λύση αλλά "δεν την έχει δει άλλο μάτι" και για τα δυο θέματα
Σπύρος

#4

spege έγραψε:Στάθη καλησπέρα
Για το δεύτερο θέμα νομίζω ναι γιατί είναι ενα απο τα Απολλώνια προβλήματα
Εχω κάποια λύση αλλά "δεν την έχει δει άλλο μάτι" και για τα δυο θέματα
Σπύρος

Οκ. Σπύρο , έχεις δίκιο. Τώρα κατάλαβα για ποιόν κύκλο μιλάμε ... (Άλλα διάβαζα και άλλα καταλάβαινα )

Στάθης

#5

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ . Θεωρούμε γνωστό ότι ο κύκλος Euler $\displaystyle{ \left( N \right) }$ του τριγώνου εφάπτεται των παρεγγεγραμμένων κύκλων $\displaystyle{ \left( {I_a } \right),\left( {I_b } \right),\left( {I_c } \right) }$ και του εγγεγραμμένου $\displaystyle{ \left( I \right) }$ ( Θεώρημα Feuerbach ). Αν $\displaystyle{ F_a ,F_b ,F_c }$ είναι τα σημεία επαφής των $\displaystyle{ \left( N \right) - \left( {I_a } \right),\left( N \right) - \left( {I_b } \right),\left( N \right) - \left( {I_c } \right) }$ αντίστοιχα, να δειχθεί ότι οι ευθείες $\displaystyle{ AF_a ,BF_b ,CF_c }$ διέρχονται από το ίδιο σημείο έστω $\displaystyle{X}$ , το οποίο ανήκει στην ευθεία που συνδέει το έκκεντρο $\displaystyle{I}$ με το κέντρο $\displaystyle{N}$ του κύκλου Euler του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ .

Τα σημεία $N,\ F_{a},\ I_{a}$ είναι συνευθειακά και στο τρίγωνο $\vartriangle NII_{a}$ με διατέμνουσα την $AXF_{a}$ , όπου $X\equiv IN\cap AF_{a},$ σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου,

έχουμε $\displaystyle \frac{XI}{XN}\cdot \frac{F_{a}N}{F_{a}I_{a}}\cdot \frac{AI_{a}}{AI} = 1$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{XI}{XN} = \frac{F_{a}I_{a}}{F_{a}N}\cdot \frac{AI}{AI_{a}} = \frac{R_{a}}{R_{N}}\cdot \frac{r}{R_{a}} = \frac{r}{R_{N}}\ \ \ ,(1)$

όπου

είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου (I)

και $R_{a},$ είναι η ακτίνα του

-παρεγγεγραμμένου κύκλου και $R_{N},$ είναι η ακτίνα του κύκλου Euler του $\vartriangle ABC$ .

Έστω τα σημεία $X'\equiv IN\cap BF_{b},\ X''\equiv IN\cap CF_{c}$ και με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι ισχύει $\displaystyle \frac{X'I}{X'N} = \frac{r}{R_{N}}\ \ \ ,(2)$ και $\displaystyle \frac{X''I}{X''N} = \frac{r}{R_{N}}\ \ \ ,(3)$

Από $(1),\ (2),\ (3)$ $\Longrightarrow$ $X''\equiv X'\equiv X$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Θεωρήθηκε το σημείο

αντί του

στο σχήμα του Στάθη, γιατί συνήθως το

αναφέρεται ως το σημείο επαφής του κύκλου Euler του τριγώνου, με τον εγγεγραμμένο κύκλο. Επίσης με (N)

συμβολίζεται διεθνώς αν δεν κάνω λάθος, ο κύκλος Euler και με

το κέντρο του ( = nine point circle και nine point center αντιστοίχως ).

#6

Είναι προφανές ότι το σημείο

επί της

στο οποίο συντρέχουν οι ευθείες $AF_{a},\ BF_{b},\ CF_{c},$ ταυτίζεται με το αρμονικό συζυγές του

ως προς τα $I,\ N,$ όπου

είναι το σημείο επαφής του κύκλου Euler του $\vartriangle ABC$ με τον εγγεγραμμένο κύκλο (I),

γιατί ισχύει και $\displaystyle \frac{FI}{FN} = \frac{r}{R_{N}}$ .

$\bullet$ Ένα ενδιαφέρον επίσης συμπέρασμα, είναι ότι αντιστρέφοντας την προηγούμενη απόδειξη, προκύπτει μία απλή απόδειξη του Θεωρήματος Feuerbach, για το σκέλος που αφορά στην επαφή του κύκλου Euler ενός τριγώνου, με τους τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους.

Πράγματι, αν είναι

το σημείο μεταξύ των $I,\ N$ ώστε να ισχύει $\displaystyle \frac{XI}{XN} = \frac{r}{R_{N}}$ και εφαρμόσουμε το Θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο $\vartriangle NII_{a}$ με διατέμνουσα την $AXF_{a}$ , όπου $F_{a}\equiv NI_{a}\cap AX,$ αποδεικνύεται άμεσα ότι ισχύει

$\displaystyle \frac{F_{a}N}{F_{a}I_{a}} = \frac{R_{N}}{r}\cdot \frac{r}{R_{a}} = \frac{R_{N}}{R_{a}}$ και άρα, συμπεραίνεται ότι οι κύκλοι $(N),\ (I_{a})$ εφάπτονται στο $F_{a}.$

Ομοίως αποδεικνύεται ότι ο κύκλος Euler (N)

του $\vartriangle ABC$ , εφάπτεται και στους παρεγγεγραμμένους κύκλους $(I_{b}),\ (I_{c}).$

Μένει τώρα να δούμε αν μπορεί να αποδειχθεί το ίδιο απλά και το ότι ο κύκλος (N)

εφάπτεται επίσης και του εγγεγραμμένου κύκλου (I).

Δεν το έχω ψάξει και όσα γράφω είναι όπως τα έχω στο πρόχειρο. Η αφορμή που ασχολήθηκα σήμερα, ήταν η δημοσίευση του Parmenides51 Εδώ.

Κώστας Βήττας.

spege · #7

Κώστα ευχαριστώ για το ενδιαφέρον και τη λύση σου. Η δική δεν είναι αυτή .Είναι ένα μέρος από μια εργασία πολύ ενδιαφέρουσα που μου προέκυψε (από αλλού ξεκίνησα ) αλλά βγήκαν πολλά και ενδιαφέροντα στη πορεία. Ένα μέρος της είναι στον εκθέτη του Νίκου.
Συγχωρήστε που δεν μπορώ να γράψω σε latex , σχήματα κλπ κάτι που θα έχετε παρατηρήσει που αποφεύγω και σε άλλες περιπτώσεις.
Σκέφτομαι να την παρουσιάσω στο επόμενο ίσως συνέδριο.
Στη δεύτερη παρέμβασή σου εντόπισες και την σχέση των ακτίνων. Είναι και άλλα πολύ ενδιαφέροντα.
Θεωρώ ότι είναι δυο νέα σημεία στο τρίγωνο και χωρίς να έχω βρει Ευκλείδεια απόδειξη
Σπύρος

#8

Σπύρο, εγώ σ' ευχαριστώ για την ευκαιρία που είχα να προσεγγίσω με στοιχειώδη μέσα και απλό τρόπο αυτό το διάσημο θεώρημα, και πιθανότατα να έχω πέσει πάνω σε γνωστά πράγματα, γιατί το σκεπτικό μου φαίνεται πολύ απλό για να είναι καινούργιο. Δεν το έχω βρει όμως στη ελληνική βιβλιογραφία που έχω υπόψη μου, ενώ για την ξένη βιβλιογραφία οι γνώσεις μου είναι ελλειπέστατες.

$\bullet$ Ας δούμε μία απλή προσέγγιση για το σκέλος του Θεωρήματος Feuerbach που αφορά στην επαφή του κύκλου Euler (N)

ενός τριγώνου, με τον εγγεγραμμένο κύκλο (I)

.

Λόγω των διχοτόμων $BI,\ BI_{a}$ της γωνίας $\angle B,$ έχουμε ότι η σημειοσειρά $A,\ I,\ T,\ I_{a}$ είναι αρμονική, όπου $T\equiv BC\cap AI$ και άρα, η δέσμη $F{a}.AITI_{a}$ είναι επίσης αρμονική και έστω το σημείο $F\equiv IN\cap F_{a}T.$

Επομένως, η σημειοσειρά $F,\ I,\ X,\ N$ , ως η τομή της δέσμης $F_{a}.AITI_{a}$ από την ευθεία

, είναι αρμονική και προκύπτει έτσι ότι ισχύει $\displaystyle \frac{FI}{FN} = \frac{XI}{XN} = \frac{r}{R_{N}}\ \ \ ,(1)$

Από (1)

συμπεραίνεται ότι οι κύκλοι $(I),\ (N)$ εφάπτονται στο σημείο

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ 1. Θα προσπαθήσω να καθαρογράψω τη συνολική απόδειξη του Θεωρήματος Feuerbach, όπως τεκμηριώνεται με τα παραπάνω, γιατί είναι η πιο απλή από όσες έχει τύχει να δω μέχρι τώρα και ελπίζω να είναι καινούργια. Αν κάποιος γνωρίζει κάτι γι' αυτό ( για το αν είναι γνωστή απόδειξη ), παράκληση να μας δώσει τη σχετική αναφορά.

Την χάρηκα αυτήν την απόδειξη και ευχαριστώ θερμά τον Σπύρο (spege) για το θέμα που πρότεινε και απορώ πως δεν το είδα πριν δύο μήνες.

ΥΓ 2. Νομίζω ότι δεν είμαστε στον σωστό φάκελο και είναι καλύτερα να μεταφερθεί το θέμα στη Γεωμετρία των Seniors, όπου επίσης έχει συζητηθεί και το Θεώρημα Feuerbach.

#9

Τελικά δεν ισχύουν και δεν πρέπει να ληφθούν υπόψη, τα όσα έχω γράψει παραπάνω για την απλή απόδειξη του Θεωρήματος Feuerbach, αντιστρέφοντας την απόδειξη του προβλήματος που αναφέρεται στη σύγκλιση των ευθειών $AF_{a}\cap BF_{b}\cap CF_{c}\equiv X.$

Οι ισότητες $\displaystyle \frac{F_{a}N}{F_{a}I_{a}} = \frac{R_{N}}{R_{a}}$ και $\displaystyle \frac{FI}{FN} = \frac{r}{R_{N}}$ είναι σωστές, αλλά είναι εσφαλμένο το ότι τεκμηριώνεται με αυτές, ότι ο κύκλος Euler (N)

του $\vartriangle ABC$ εφάπτεται του $(I_{a})$ και του (I)

.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Δείτε και Εδώ.

spege · #10

Δηλαδή Κώστα έθεσες ένα νέο πρόβλημα .Τι πρέπει να συμβαίνει για να είναι το κέντρο ομοιοθεσίας δυο κύκλων σημείο επαφής.
Μήπως η σχέση των ακτίνων που είναι γνωστή.Θα δούμε με τον καιρό θα έρθει από μόνο του.
Σπύρος

Σημεία Feuerbach

Σημεία Feuerbach

Re: Σημεία Feuerbach

Re: Σημεία Feuerbach

Re: Σημεία Feuerbach

Re: Σημεία Feuerbach

Re: Σημεία Feuerbach

Re: Σημεία Feuerbach

Re: Σημεία Feuerbach

Re: Σημεία Feuerbach

Re: Σημεία Feuerbach

Μέλη σε σύνδεση