Κατασκευή κοινής εφαπτομένης

[dimitris pap]

Μετά από πολύ καιρό, θέλω να θέσω ένα πρόβλημα και να δω όσες περισσότερες λύσεις γίνεται. Είναι ένα πρόβλημα που πιστεύω οι περισσότεροι, που χρησιμοποιούν ένα πρόγραμμα γεωμετρίας, έχουν σκεφτεί.

"Πώς κατασκευάζουμε τις κοινές εξωτερικές εφαπτομένες 2 κύκλων, με κανόνα και διαβήτη;"

Εχω βρει 2 τρόπους, αλλά θα ήθελα να δω όσους περισσότερους τρόπους γίνεται

Κατ' εμένα οι γεωμετρικές κατασκευές με κανόνα και διαβήτη είναι ένα πολύ σημαντικό κομμάτι της γεωμετρίας, καθώς αναπτύσσει κατά πολύ τη δημιουργική σκέψη (και τη φαντασία), και αισθάνομαι πως βοηθάει πολύ τη γεωμετρική σκέψη και μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώς "προπόνηση" του μυαλού, για τη λύση άλλων γεωμετρικών προβλημάτων

[parmenides51]

εδώ

[KARKAR]

Χωρίς λόγια ... ( Θεωρείται γνωστή η κατασκευή εφαπτομένης από το προς τον κύκλο )

[parmenides51]

εδώ, εδώ κι εδώ

[KARKAR]

Πάλι χωρίς λόγια ...

[dimitris pap]

Ευχαριστώ και τους δύο για τις άμεσες απαντήσεις που δώσατε. Ειδικά η λύση με το κέντρο ομοιοθεσίας μου άρεσε πολύ και δεν την είχα σκεφτεί. Απ' την άλλη η λύση με τον κύκλο ακτίνας , είναι νομίζω η πιο κλασική
Χαίρομαι γιατί μπορώ να προσφέρω μια ακόμα λύση που από ότι βλέπω δεν έχει ξαναδοθεί (να 'μαι ειλικρινής δεν μπορούσα να ανοίξω όλα τα αρχεία απ' τα links του parmenides οπότε δεν είμαι και σίγουρος...)

Η λύση μου βασίζεται στο εξής λήμμα: ο ριζικός άξονας 2 κύκλων τέμνει την εξωτερική εφαπτομένη στο μέσο της!

Ετσι έχουμε:
1) Κατασκευάζουμε τον ριζικό άξονα των 2 κύκλων: Πώς; Εκμεταλλευόμαστε την έννοια του ριζικού κέντρου.
Φέρνουμε έναν κύκλο που τέμνει και τους 2 δοσμένους κύκλους. Το σημείο στο οποίο τέμνονται οι κοινές χορδές (οι ριζικοί άξονες) ανήκει στο ριζικό άξονα που θέλουμε. Η κάθετη από αυτό το σημείο στη διάκεντρο είναι ο ριζικός άξονας.

2)Εστω το μέσο του (O, K τα κέντρα των κύκλων μας). Τότε η τομή του κύκλου με τον ρίζικό άξονα μας δίνει το σημείο (βασικά τα 2 σημεία) στο οποίο τέμνει ο ριζικός άξονας τη κοινή εξ. εφαπτομένη (βλ. λήμμα που προανέφερα και το τραπέζιο που δημιουργείται).

3) Εστω αυτό το σημείο. Η κάθετη της στο είναι η ζητούμενη εξωτερική εφαπτομένη ο.ε.δ.

Υ.Γ. Θα επαναλάβω εδώ πόσο σημαντικό θεωρώ για οποιονδήποτε δεν έχει σκεφτεί αυτό το πρόβλημα ξανά, να προσπαθήσει να βρει μια (ακόμα) λύση!

Υ.Γ.2 Αν κάποιος μπορεί να βάλει ένα σχήμα για τη λύση μου, θα το εκτιμούσα πολύ!

[parmenides51]

Δεν θα κάνει κανένας λύση με αντιστροφή;

[parmenides51]

Η λύση μου βασίζεται στο εξής λήμμα: ο ριζικός άξονας 2 κύκλων τέμνει την εξωτερική εφαπτομένη στο μέσο της!

Ετσι έχουμε:
1) Κατασκευάζουμε τον ριζικό άξονα των 2 κύκλων: Πώς; Εκμεταλλευόμαστε την έννοια του ριζικού κέντρου.
Φέρνουμε έναν κύκλο που τέμνει και τους 2 δοσμένους κύκλους. Το σημείο στο οποίο τέμνονται οι κοινές χορδές (οι ριζικοί άξονες) ανήκει στο ριζικό άξονα που θέλουμε. Η κάθετη από αυτό το σημείο στη διάκεντρο είναι ο ριζικός άξονας.

2)Εστω το μέσο του (O, K τα κέντρα των κύκλων μας). Τότε η τομή του κύκλου με τον ρίζικό άξονα μας δίνει το σημείο (βασικά τα 2 σημεία) στο οποίο τέμνει ο ριζικός άξονας τη κοινή εξ. εφαπτομένη (βλ. λήμμα που προανέφερα και το τραπέζιο που δημιουργείται).

3) Εστω αυτό το σημείο. Η κάθετη της στο είναι η ζητούμενη εξωτερική εφαπτομένη ο.ε.δ.

Υ.Γ. Θα επαναλάβω εδώ πόσο σημαντικό θεωρώ για οποιονδήποτε δεν έχει σκεφτεί αυτό το πρόβλημα ξανά, να προσπαθήσει να βρει μια (ακόμα) λύση!

Υ.Γ.2 Αν κάποιος μπορεί να βάλει ένα σχήμα για τη λύση μου, θα το εκτιμούσα πολύ!

Ορίστε σε δυο δόσεις ...

Κατασκευή κοινής εφαπτομένης1.png (117 KiB) Προβλήθηκε 1606 φορές

Κατασκευή κοινής εφαπτομένης2-3.png (20.66 KiB) Προβλήθηκε 1606 φορές

[dimitris pap]

Ευχαριστώ πολύ parmenides!