Συνδυαστική 1 (combinatorics)

csar · #1

Τελευταία ασχολούμαι με τη συνδυαστική αλλά δεν μπόρεσα να βρω αρκετές ασκήσεις στο

. Για αυτό αποφάσισα να αναρτήσω μερικές. Ως πρώτη θα ήθελα να βάλω μία που έστειλε ο παλιός μου δάσκαλος πριν από μερικές εβδομάδες.

Κάθε ένας από οκτώ μαθητές επιλέγει να καθίσει τυχαία σε ένα από τρία παγκάκια στο προαύλιο του σχολείου. Να βρεθεί η πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων:
E_1

= {Δύο μαθητές κάθονται στο πρώτο παγκάκι, ένας στο δεύτερο και οι υπόλοιποι στο τρίτο}.
E_2

= {Ένας τουλάχιστον μαθητής καθονται σε κάθε ένα παγκάκι}.
E_3

= {Δύο μαθητές τουλάχιστον κάθονται σε κάθε παγκάκι}.

Χρήστος

#2

Ας ξεκινήσουμε .. με το Ε1[attachment=0]01-08-2012.jpg[/attachment]Οι δυνατοί τρόποι ώστε να τοποθετήσουμε $\displaystyle{8}$ ομοιόμορφες σφαίρες σε $\displaystyle{3}$ διακριτά κουτιά είναι $\displaystyle{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10} \\ 2 \\ \end{array} } \right)}$ , διότι θεωρώντας τα $\displaystyle{2}$ κοινά μέρη των $\displaystyle{3}$ κουτιών, σαν $\displaystyle{2}$ στοιχεία που πρέπει να τοποθετηθούν κι αυτά σε $\displaystyle{2}$ από τις $\displaystyle{10}$ θέσεις (σφαίρες και χωρίσματα), έχουμε το παραπάνω πλήθος δυνατοτήτων τοποθέτησής τους.

Άρα υπάρχουν $\displaystyle{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10} \\ 2 \\ \end{array} } \right)}$ δυνατοί τρόποι και $\displaystyle{1}$ ευνοϊκός, επομένως $\displaystyle{P\left( {{E_1}} \right) = \frac{1}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10} \\ 2 \\ \end{array} } \right)}} = \frac{1}{{45}}}$ .

csar · #3

Σεραφείμ, μήπως η εκφώνηση δεν είναι αρκετά σαφής;

Οι δυνατοί τρόποι για να τοποθετηθούν 8 σφαίρες σε 3 κουτιά είναι 3^8

: Για την πρώτη σφαίρα έχουμε 3 επιλογές. Για τη δεύτερη άλλες τρεις, δηλαδή συνολικά $3\times3 = 3^2$ . Για την τρίτη άλλες τρεις, δηλαδή $3^2\times 3 = 3^3$ κ.ο.κ.

Μήπως εγώ δε βλέπω κάτι;

Χ

#4

csar έγραψε:Σεραφείμ, μήπως η εκφώνηση δεν είναι αρκετά σαφής;

Οι δυνατοί τρόποι για να τοποθετηθούν 8 σφαίρες σε 3 κουτιά είναι : Για την πρώτη σφαίρα έχουμε 3 επιλογές. Για τη δεύτερη άλλες τρεις, δηλαδή συνολικά $3\times3 = 3^2$ . Για την τρίτη άλλες τρεις, δηλαδή $3^2\times 3 = 3^3$ κ.ο.κ.

Μήπως εγώ δε βλέπω κάτι;

Χ

Χμ .. αν οι σφαίρες είναι διακριτές και τα κουτιά επίσης διακριτά, όντως οι δυνατοί τρόποι είναι $\displaystyle{3^8}$ .. αν όμως οι σφαίρες είναι ομοιόμορφες και δεν μας ενδιαφέρει η σειρά τοποθέτησής τους στα κουτιά, τότε τα πράγματα αλλάζουν. Επίσης το πρόβλημα αλλάζει αν και τα κουτιά δεν είναι διακριτά.

Όπως έχει το πρόβλημα στο $\displaystyle{E_1}$ τα παγκάκια είναι διακριτά (1ο - 2ο - 3ο), ενώ οι μαθητές όχι .. τουλάχιστον έτσι το καταλαβαίνω ..

Αναλυτικώτερα .. οι τρόποι που μπορούν να καθήσουν (σαν πλήθος) οι $\displaystyle{8}$ μαθητές στα παγκάκια είναι οι παρακάτω $\displaystyle{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10} \\ 2 \\ \end{array} } \right) = 45}$ .
Ένας είναι ο ζητούμενος .. είναι ο $\displaystyle{\left( {2,1,5} \right)}$ .

$\displaystyle{\begin{gathered} \left( {8,0,0} \right) - \left( {7,1,0} \right) - \left( {7,0,1} \right) - \left( {6,2,0} \right) - \left( {6,0,2} \right) - \left( {6,1,1} \right) - \left( {5,3,0} \right) - \left( {5,0,3} \right) - \left( {5,2,1} \right) - \left( {5,1,2} \right) - \hfill \\ \left( {4,4,0} \right) - \left( {4,0,4} \right) - \left( {4,3,1} \right) - \left( {4,1,3} \right) - \left( {4,2,2} \right) - \left( {3,5,0} \right) - \left( {3,0,5} \right) - \left( {3,4,1} \right) - \left( {3,1,4} \right) - \left( {3,3,2} \right) - \left( {3,2,3} \right) - \hfill \\ \left( {2,6,0} \right) - \left( {2,0,6} \right) - \left( {2,5,1} \right) - \left( {2,1,5} \right) - \left( {2,4,2} \right) - \left( {2,2,4} \right) - \left( {2,3,3} \right) - \left( {1,7,0} \right) - \left( {1,0,7} \right) - \left( {1,6,1} \right) - \left( {1,1,6} \right) - \hfill \\ \left( {1,5,2} \right) - \left( {1,2,5} \right) - \left( {1,4,3} \right) - \left( {1,3,4} \right) - \left( {0,8,0} \right) - \left( {0,0,8} \right) - \left( {0,7,1} \right) - \left( {0,1,7} \right) - \left( {0,6,2} \right) - \left( {0,2,6} \right) - \left( {0,5,3} \right) - \hfill \\ \left( {0,3,5} \right) - \left( {0,4,4} \right) \hfill \\ \end{gathered} }$

csar · #5

Μάλιστα. Τώρα κατάλαβα πού δημιουργήθηκε η σύγχυση.

Πάντως νομίζω ότι από την εκφώνηση είναι σαφές ότι ο κάθε μαθητής επιλέγει πού θα κάτσει, οι μαθητές δεν είναι "ομοιόμορφοι".

Επίσης, δε μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία θα κάτσουν αλλά μας ενδιαφέρει ποιοι θα κάτσουν πού. Δηλαδή αν στο πρώτο παγκάκι κάτσει μόνον ένας, ο Γιώργος, αυτή είναι μία περίπτωση αλλά αν κάτσει μόνον ένας, ο Γιάννης, τότε αυτή είναι άλλη περίπτωση.

Χ

csar · #6

[*]3 παγκάκια και 8 μαθητές άρα συνολικά 3^8

περιπτώσεις.

Για το E_1

:

Δύο στο πρώτο σημαίνει συνδυασμός 8 μαθητών ανά 2, άρα συνολικά $\begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix} = 28$ συνδυασμοί.
Ένας στο δεύτερο σημαίνει άλλοι 6 συνδυασμοί (αφού τώρα είναι 6 οι εναπομείναντες)
Οι υπόλοιποι στο τρίτο είναι 1 συνδυασμός.

Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι $p_1 = \frac{28\times6\times1}{3^8}= \frac{56}{3^7}\approx 2.6\%$ .

Για το E_2

:

P{κάθονται όλοι στο πρώτο παγκάκι} = $\frac{1}{3^8}$ . Άρα P{κάθονται όλοι σε ένα οποιοδήποτε παγκάκι} = $3\frac{1}{3^8}=\frac{1}{3^7} = p$ (αυτό το γεγονός είναι ισοδύναμο με το γεγονός {ακριβώς δύο παγκάκια μένουν άδεια}).
P{το παγκάκι 1 μένει άδειο} = $\left(\frac{2}{3}\right)^8$ . Άρα P{ακριβώς ένα παγκάκι μένει άδειο} = $3\left(\frac{2}{3}\right)^8=\frac{2^8}{3^7} = q$ .

Η συμπληρωματική της ζητούμενης πιθανότητας είναι P{ακριβώς ένα παγκάκι μένει άδειο $\cup$ ακριβώς δύο παγκάκια μένουν άδεια} και επειδή τα δύο γεγονότα είναι ξένα, η ζητούμενη πιθανότητα είναι $1-(p+q) = 1-\frac{2^8+1}{3^7} = 1-\frac{257}{3^7}\approx 88\%$ .

Για το E_3

:
Οι μοναδικές δυνατές περιπτώσεις είναι

σε ένα παγκάκι να κάτσουν 4 και στα άλλα να κάτσουν από 2 και
σε ένα παγκάκι να κάτσουν 2 και στα άλλα να κάτσουν από 3

Για την πρώτη περίπτωση, οι ευνοϊκοί συνδυασμοί είναι $3\begin{pmatrix}8\\4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix} = 1260$ (το 3 στην αρχή επειδή οι 4 μπορεί να κάτσουν σε οποιοδήποτε από τα 3 παγκάκια). Για τη δεύτερη περίπτωση είναι $3\begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix} = 1680$ . Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι $p_3 = \frac{1260+1680}{3^8} = \frac{98}{3^7}\approx 45\%$ .

Χ

Συνδυαστική 1 (combinatorics)

Συνδυαστική 1 (combinatorics)

Re: Συνδυαστική 1 (combinatorics)

Re: Συνδυαστική 1 (combinatorics)

Re: Συνδυαστική 1 (combinatorics)

Re: Συνδυαστική 1 (combinatorics)

Re: Συνδυαστική 1 (combinatorics)

Μέλη σε σύνδεση