Ασκήσεις

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Απάντηση
petros r

Ασκήσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από petros r » Παρ Αύγ 10, 2012 6:26 pm

Μερικές ασκήσεις απο τους διαγωνισμούς ELMO και USAMO

1) Βρείτε τον μικρότερο πραγματικό αριθμόM με την εξής ιδιότητα:
Έχοντας εννιά μη αρνητικούς αριθμούς με άθροισμα 1, είναι πιθανό να τους τοποθετήσουμε σε ένα τετράγωνο 3 \times 3 έτσι ώστε το γινόμενο της κάθε στήλης ή σειράς να είναι το πολύM.

2) Ένας κύκλος \omega, που δεν τέμνει καμιά κορυφή του τριγώνου ABC, τέμνει τις πλευρές του AB,BC,CA σε δύο διαφορετικά σημεία.
Αποδείξτε ότι ο εγγεγραμένος κύκλος του ABC βρίσκεται μέσα στον κύκλο \omega.

3)Αποδείξτε ότι ο αριθμός n^{3}-n-3 δεν είναι τέλειο τετράγωνο για οποιοδήποτε ακέραιο αριθμό n.

4) Σε ένα εξάγωνο A B C D E F το οποίο είναι μη κυρτό και καμιά πλευρά του δεν τέμνεται με κάποια άλλη πλευρά του, δεν υπάρχουν ζευγη πλευρών του που να είναι παράλληλα.
Στις εσωτερικές γωνίες ισχύει οτι η A είναι τριπλάσια από την D , η C τριπλάσια απο την F και ηE τριπλάσια απο την B. Επιπλέον AB=DE , BC=EF, CD=FA. Αποδείξτε οτι οι διαγώνιοι AD, BE, CF συντρέχουν.
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Σάβ Αύγ 11, 2012 9:47 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: τονισμός λέξεων,διόρθωση κώδικα LaTeX


Κορυφή
petros r

Re: Ασκήσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από petros r » Σάβ Αύγ 11, 2012 5:10 pm

Για την 4 κάποια ιδέα?


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 669
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: Ασκήσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Σάβ Αύγ 11, 2012 11:56 pm

Το 3 είναι ωραίο:

Εύκολα η ποσότητα αυτή είναι περιττή ενώ είναι αρνητική για ακέραιους n \leq 0. Έστω πως μπορεί να ισούτε με (2d+1)^2, d \in \mathbb{N} για κάποιο φυσικό n, τότε:

n(n-1)(n+1) = 3 + 4d^2 + 4d + 1 = 4(d^2 + d + 1). Εύκολα η ποσότητα αυτή τώρα, διαιρείτε με 4 αλλά όχι με 8, και αυτό μπορεί να γίνει μόνο αν n = 4m, m \in \mathbb{N}, οπότε ισχύει:

m(4m-1)(4m+1) = d^2 + d + 1

Επειδή (m, 4m-1, 4m+1) \equiv (m, m-1, m+1) (mod3), ένας από αυτούς τους 3 αριθμούς αφίνει υπόλοιπο 2 με το 3, άρα έχει πρώτο διαιρέτη p \equiv 2 (mod3) και ισχύει έτσι:

p | d^2 + d + 1 \Rightarrow p | d^3 - 1, με τους d-1, d^2-1 να μη διαιρούνται με p διότι εύκολα gcd(d^2 + d + 1, d+1) = 1 και gcd(d^2 + d + 1, d - 1) | 3
(γιατί;). Άρα η τάξη του d (modp) είναι 3 και άρα από θεώρημα Lagrange 3 | p - 1, άτοπο διότι p \equiv 2 (mod3).

Άρα η ποσότητα αυτή δεν είναι ποτέ τετράγωνο.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Κορυφή
petros r

Re: Ασκήσεις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από petros r » Δευ Αύγ 13, 2012 1:32 am

Επαναφορα......Ενδιαφέρον πολύ θα είχε μια λύση για τις δύο γεωμετρίες (το 2 και το 4). :roll: ;)


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2283
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Ασκήσεις

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Αύγ 13, 2012 11:05 am

petros r έγραψε:Επαναφορα......Ενδιαφέρον πολύ θα είχε μια λύση για τις δύο γεωμετρίες (το 2 και το 4). :roll: ;)
Υπάρχει πόβλημα και στο 2 και στο 4 (για το 2 βλέπε σχήμα).
Συνημμένα
2.png
2.png (49.77 KiB) Προβλήθηκε 681 φορές


Κορυφή
petros r

Re: Ασκήσεις

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από petros r » Δευ Αύγ 13, 2012 5:14 pm

Ζητώ συγγνώμη απο το forum για την 2 τώρα είδα το λάθος στην εκφώνηση :( . Το έκκεντρο είναι η σωστή διατύπωση και όχι ο εγγεγραμενος κύκλος. Τώρα η 2 γίνεται ενδιαφέρουσα ;) , αλλά η 4 δεν έχει σφάλμα! Μάλιστα υπάρχει λύση της αλλά επειδή, είναι ενδιαφέρουσα άσκηση γεωμετρίας σίγουρα υπάρχει και άλλη αντιμετώπιση!


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης