Ιδιόμορφοι γεωμετρικοί τόποι

#1

Αν $z \ne i$ να βρεθεί το σύνολο των σημείων M(z)

για τα οποία ισχύει:
1) $\left| {\frac{{2z}}{{1 + {z^2}}}} \right| = 1$

2) $\left| {\frac{{2z}}{{1 + {z^2}}}} \right| < 1$

dennys · #2

μια σκέψη

1)απο $|z^2+1|=2|z|\Rightarrow ||z|^2-1|\le |z^2+1|=2|z|\Rightarrow -2|z| \le |z|^2-1 \le 2|z|$

αν θέσω $|z|=x\Rightarrow x^2-2x-1 \le 0 (1), x^2+2x-1 \ge 0 (2)$

οι οποίες δίνουν τον δακτύλιο μεταξύ των κύκλων $(0,-1+\sqrt{2})$ και $(0,1+\sqrt{2})$ όπως προκύπτει απο την συναλήθευση των (1)+(2)

που δίνουν $\sqrt{2}-1 \le |z| \le \sqrt{2}+1$ εξαιρώντας το (0,1)

2) ιδια αντιμετώπιση

φιλικά

#3

Για τα φράγματα συμφωνώ αλλά εγώ βρήκα άλλα αποτελέσματα .Θα το ξαναδώ αλλά δες το και σεις πάλι
Φιλικά και με εκτίμηση Doloros

hsiodos · #4

Έστω $\displaystyle{ z = x + yi\,\,,\,\,\,(x,y) \ne (0, \pm 1)}$

α) $\displaystyle{ \left| {\,\frac{{2z}}{{z^2 + 1}}\,} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\,z^2 + 1\,} \right|^2 = \left| {\,2z\,} \right|^2 \Leftrightarrow \left( {z^2 + 1} \right)\left( {\bar z^2 + 1} \right) = 4z\bar z \Leftrightarrow z^2 \bar z^2 + z^2 + \bar z^2 + 1 - 4z\bar z = 0}$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow (z\bar z)^2 + (z + \bar z)^2 - 6z\bar z + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {x^2 + y^2 } \right)^2 + 4x^2 - 6\left( {x^2 + y^2 } \right) + 1 = 0}$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow \left( {x^2 + y^2 } \right)^2 - 2\left( {x^2 + y^2 } \right) + 1 + 4x^2 - 4\left( {x^2 + y^2 } \right) = 0}$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \left( {x^2 + y^2 - 1} \right)^2 - 4y^2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x^2 + y^2 - 1 - 2y} \right)\left( {x^2 + y^2 - 1 + 2y} \right) = 0}$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow x^2 + y^2 - 1 - 2y = 0\,\,\,\,\,\eta \,\,\,\,x^2 + y^2 - 1 + 2y = 0 \Leftrightarrow \,\,\,x^2 + (y - 1)^2 = 2\,\,\,\,\,\,\eta \,\,\,\,\,\,x^2 + (y + 1)^2 = 2\,}$

Ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του $\displaystyle{z}$ είναι οι κύκλοι $\displaystyle{C_1 \,\,,\,\,\,C_2 }$ με κέντρα $\displaystyle{K(0,1)\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\Lambda (0, - 1)\,}$ αντίστοιχα και ακτίνες $\displaystyle{\rho _1 = \rho _2 = \sqrt 2 }$ .

β) Ανάλογα εργαζόμενοι βρίσκουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του $\displaystyle{z}$ είναι τα εξωτερικά σημεία των κύκλων $\displaystyle{C_1 \,\,,\,\,\,C_2 \,}$ καθώς και τα κοινά εσωτερικά τους σημεία.

Γιώργος

#5

Σας ευχαριστώ όλους που με τιμήσατε
Stamatis16 η σωστή και εξαίσια απάντηση έχει δοθεί από τον
Isiodos
Αλλά δες και την παρόμοια δική μου :

Η σχέση ισοδυναμεί με
$\displaystyle{|z + \frac{1}{z}| = 2 \Leftrightarrow |z + \frac{1}{z}{|^2} = 4 \Leftrightarrow (z + \frac{1}{z})(\overline {z + \frac{1}{z}} ) = 4}$ . Από δε τις γνωστές ιδιότητες των συζυγών μιγαδικών έχω:

$\displaystyle{(z + \frac{1}{z})(\bar z + \frac{1}{{\bar z}}) = 4 \Leftrightarrow z\bar z + \frac{{\bar z}}{z} + \frac{z}{{\bar z}} + \frac{1}{{z\bar z}} = 4 \Leftrightarrow {(z\bar z)^2} + {(\bar z)^2} + {z^2} + 1 = 4z\bar z}$ ή $\displaystyle{{(z\bar z)^2} - 2z\bar z + 1 + {(\bar z)^2} - 2z\bar z + {z^2} = 0}$ και επειδή $\displaystyle{{i^2} = - 1}$
η προηγούμενη σχέση ισοδύναμα γράφεται :
$\displaystyle{{(z\bar z - 1)^2} - {((z - \bar z) \cdot i)^2} = 0 \Leftrightarrow (z\bar z - 1 + (z - \bar z) \cdot i)(z\bar z - 1 - (z - \bar z) \cdot i) = 0}$ .(1)
Έστω τώρα ότι $\displaystyle{z = x + yi\,\,\,\,\,x,y\,\,\,\,}$ πραγματικούς όχι ταυτόχρονα μηδέν, άρα $\displaystyle{z - \bar z = 2yi\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,(z - \bar z)i = 2yi \cdot i = - 2y}$ έτσι η (1) ισοδυναμεί:
$\displaystyle{({x^2} + {y^2} - 1 - 2y)({x^2} + {y^2} - 1 + 2y) = 0}$
ισοδύναμα
$\displaystyle{{x^2} + {y^2} - 1 - 2y = 0}$ ή
$\displaystyle{{x^2} + {y^2} - 1 + 2y = 0}$
k.λ.π.
Στην περίπτωση της ανίσωσης με κάλυψε πλήρως κι εδώ το διευθύνον μέλος Isiodos
Φιλικά Doloros

: Ιδιόμορφοι γεωμετρικοί τόποι1.png (8.18 KiB) Προβλήθηκε 897 φορές

: n2.png (87.1 KiB) Προβλήθηκε 735 φορές

Ωmega Man · #6

Λίγο πιο μαζεμένα με το πρόγραμμα mathematica.

Για το πρώτο ερώτημα,

[attachment=0]εικ1.gif[/attachment]

και για το δεύτερο

[attachment=1]εικ2.gif[/attachment]

.

Ιδιόμορφοι γεωμετρικοί τόποι

Ιδιόμορφοι γεωμετρικοί τόποι

Re: Ιδιόμορφοι γεωμετρικοί τόποι

Re: Ιδιόμορφοι γεωμετρικοί τόποι

Re: Ιδιόμορφοι γεωμετρικοί τόποι

Re: Ιδιόμορφοι γεωμετρικοί τόποι

Re: Ιδιόμορφοι γεωμετρικοί τόποι

Μέλη σε σύνδεση