ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

nikoszan · #1

Για την συνάρτηση $f:R \to R$ ισχύει $f\left( {x + 1} \right) + 2f\left( { - x} \right) = f\left( x \right) + 2f\left( {1 - x} \right) - 1,\forall x \in R$ και είναι
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( x \right) + 2f\left( {1 - x} \right) + x} \right) = 2$ .Να βρεθεί ο τύπος της

.
Ν.Ζ.

k-ser · #2

nikoszan έγραψε:Για την συνάρτηση $f:R \to R$ ισχύει $f\left( {x + 1} \right) + 2f\left( { - x} \right) = f\left( x \right) + 2f\left( {1 - x} \right) - 1,\forall x \in R$ και είναι
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( x \right) + 2f\left( {1 - x} \right) + x} \right) = 2$ .Να βρεθεί ο τύπος της .
Ν.Ζ.

Αν $\displaystyle g(x) = f\left( x \right) + 2f\left( {1 - x} \right) , x \in \mathbb{R}$

$\displaystyle g(x)=g(x+1)+1, \ \ \forall x \in \mathbb{R}$ και $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} {\left(g(x)+x\right)}=2$

Άρα $\displaystyle g(x)=g(x+n)+n, \ \ \forall x \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{Z}$

και εφόσον $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} {\left(g(x)+x\right)}=2$

$\displaystyle \lim_{n\to +\infty} {\left(g(x+n)+n\right)}= \lim_{x+n\to +\infty} {\left(g(x+n)+(x+n)-x\right)}=2-x$

οπότε

$\displaystyle g(x)=2-x, \ \ x \in \mathbb{R}$ ή $\displaystyle f(x)+2f(1-x)=1+1-x, \ \ x \in \mathbb{R} \ \ (1)$

Για $\displaystyle x:1-x$ είναι $\displaystyle f(1-x)+2f(x)=1+x, \ \ x \in \mathbb{R} \ \ (2)$

Από $\displaystyle (1)$ και $\displaystyle(2)$ εύκολα προκύπτει ότι $\displaystyle \bf{ f(x)=x , \ \ x \in \mathbb{R}}$ , η οποία επαληθεύει τα δεδομένα.

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

Μέλη σε σύνδεση