Μεγιστοποίηση γωνίας

KARKAR · #1

Σημείο

κινείται επί του ημιάξονα

. Για ποια θέση του

μεγιστοποιείται η γωνία $\phi$

και ποιά είναι η μέγιστη τιμή της , με τα δεδομένα του συγκεκριμένου σχήματος ; Μπορούμε

να διατυπώσουμε , έναν "γεωμετρικό" κανόνα , που να δίνει ενιαία απάντηση στο πρόβλημα ;

#2

Ας είναι $\displaystyle{S(0,y)}$ με $\displaystyle{y>0.}$

Έχουμε $\displaystyle{(ABS)=\frac{1}{2}AB\cdot OS=\frac{1}{2}4\cdot y=2y.}$

Όμως

$\displaystyle{\cot \phi=\frac{AS^2+BS^2-AB^2}{4(ABS)}=...=\frac{y^2+12}{4y}\geq \frac{2\sqrt{12y^2}}{4y}=\sqrt{3}.}$

Άρα

$\displaystyle{\max \phi=30^o,}$ όταν $\displaystyle{S(0,2\sqrt{3}).}$

#3

KARKAR έγραψε:Μπορούμε να διατυπώσουμε , έναν "γεωμετρικό" κανόνα , που να δίνει ενιαία απάντηση στο πρόβλημα ;

Ναι, η γωνία $\displaystyle{\hat \varphi }$ γίνεται μέγιστη, όταν ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $\displaystyle{ABS}$ εφάπτεται της κατακόρυφης ευθείας $\displaystyle{Oy}$ . (Θέλει απόδειξη βέβαια ..)

#4

Είναι γνωστό ότι το πρόβλημα λύνεται γενικά με την κατασκευή του κύκλου του πρώτου προβλήματος του Απολλώνιου (ΣΣΕ)
Εδώ $A{\hat S_0}B = A\hat TB < A\hat SB$ .
Στην ειδική περίπτωση του σχήματος το τετράπλευρο είναι ρόμβος με την μια διαγώνιο ίση με την πλευρά του και άρα
$K(4,\displaystyle\frac{{4\sqrt 3 }}{2}) = K(4,2\sqrt 3 )$ ενώ $A{\hat S_0}B = {30^0}$

Φιλικά Νίκος

KARKAR · #5

... Επειδή λοιπόν ο κύκλος (S,A,B)

εφάπτεται της

, θα είναι $\widehat{OSA}=\widehat{OBS}$

(χορδής-εφαπτομένης) , δηλαδή τα τρίγωνα OSA , OBS

, θα είναι όμοια . Έτσι έχουμε

στο αρχικό σχήμα : $\displaystyle\frac{y}{2}=\frac{6}{y}\Rightarrow y^2=12\Rightarrow y=2\sqrt{3}$ (Αβαντάζ για τη Γεωμετρία

)

KARKAR · #6

Γενικεύοντας τα παραπάνω έχω : $\displaystyle\frac{y}{a}=\frac{b}{y}\Rightarrow y^2=ab$ που σημαίνει ότι το

μπορεί να κατασκευασθεί ,

ως τομή η του ημικυκλίου με διάμετρο B'A

με την

. Αποτελεί μάλιστα το παραπάνω , εναλλακτικό

τρόπο κατασκευής του κύκλου που διέρχεται από τα A , B

και εφάπτεται ευθείας κάθετης προς την

!

S.E.Louridas · #7

Απλά να συμπληρώσω, ότι έχουμε το περιβάλλον του ιστορικού προβλήματος του αγάλματος που το πρόβλημα αυτό έχει συζητηθεί εδώ στο mathematica, αλλά δεν θυμάμαι ακριβώς πότε.

#8

S.E.Louridas έγραψε:Απλά να συμπληρώσω, ότι έχουμε το περιβάλλον του ιστορικού προβλήματος του αγάλματος που το πρόβλημα αυτό έχει συζητηθεί εδώ στο mathematica, αλλά δεν θυμάμαι ακριβώς πότε.

Σωτήρη, μήπως εννοείς αυτό;

parmenides51 · #9

Το άγαλμα αναφέρθηκε πάλι εδώ κι εδώ.

Παρόμοιες είδαμε εδώ κι εδώ.

Υ.Γ. Έκανα υπομονή λίγο για να εμφανιστούν κι άλλες ιδέες και να μην χαλάσω την διάθεση των πιθανών λυτών.

KARKAR · #10

Μελετώντας κανείς τις διάφορες διαπραγματεύσεις που βρίσκονται στις παραπομπές του Parmenides

,

διαπιστώνει ότι : 1) Το θέμα δικαιολογημένα είναι διμοφιλέστατο

2) Παρά την ανακύκλωση του θέματος , πάντα προστίθενται και νέες ιδέες και επεκτάσεις

και 3) Μερικοί εισηγητές και αρκετοί λύτες , έχουν ασθενή μνήμη

Μεγιστοποίηση γωνίας

Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Μέλη σε σύνδεση