Μιγαδική

Ilias_Zad · #1

Αν

ολόμορφες σε τόπο

και

σταθερό για κάθε

στο

νδο

σταθερές

Ilias_Zad · #2

Επαναφορά (πρόκειται για πολύ ενδιαφέρον θέμα)

Ilias_Zad · #3

Ok, ας βάλω μια λύση στο θέμα (γνωρίζω άλλες δύο που έχουν εξίσου και διαφορετικό ενδιαφέρον-ίσως σε βάθος χρόνου να τις ανεβάσω.).
Έχουμε |f(z)|+|g(z)|=c

για κάθε

.
Από αρχή μεγίστου αρκεί να βγει η μία σταθερή.
Wlog c=1

( $c \not=0$ αλλιώς είναι άμεσο).
Προφανώς από αρχή αναλυτικής συνέχισης μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο τόπος μας είναι δίσκος D(a,2r)

. Τώρα αν υπάρχει σημείο μηδενισμού στον D(a,r)

για την

ή την

,η

( αντίστοιχα) θα πιάνει μέγιστο μέτρο σε εσωτερικό σημείο πράγμα που από αρχή μεγίστου θα την δώσει σταθερή. Συνεπώς $fg \not = 0$ στον δίσκο D(a,r)

. Άρα έχουν ολόμορφους λογάριθμους F,G

. Aν

,

έχουμε από την αρχική σχέση, e^u+e^v=1

. Άρα

. Παραγωγίζοντας την τελευταία τώρα ,δύο φορές ως προς

, δύο ως προς

και προσθέτοντας, γνωρίζοντας ότι u,v

αρμονικές , προκύπτει v_x^2+v_y^2=0

και άρα

σταθερό στον τόπο. Σταθερού πραγματικού μέρους ολόμορφες όμως σε τόπο είναι μόνο οι σταθερές(αρχή ανοικτής απεικόνισης) άρα g=e^G

σταθερή όπως θέλαμε.

#4

Όμορφο. Το είχα προσπαθήσει μέσω maximum modulus και Cauchy-Riemann χωρίς όμως επιτυχία.

#5

Χμ .. κι εγώ, αμέσως απέκλεισα την περίπτωση ύπαρξης ρίζας σε κάποια εκ των δύο συναρτήσεων. Αυτό θα οδηγούσε άμεσα στην σταθερότητα της άλλης (μέγιστο μέτρο συνάρτησης σε εσωτερικό σημείο Τόπου, θα την έβγαζε αυτόματα σταθερή).
Σκέφτηκα μετά να γράψω τις συναρτήσεις $\displaystyle{f(z)}$ και $\displaystyle{g(z)}$ σε εκθετική μορφή, με προβλημάτισε όμως το γεγονός ότι η λογαριθμική συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε θέσεις όπου η εσωτερική έκφραση γίνεται αρνητικός πραγματικός αριθμός .. συνεπώς δυνητικά χάνω τοπικά την ιδιότητα της αναλυτικότητας .. μου διέφυγε ότι το μέτρο εξαφανίζει το όρισμα και μένω με πραγματική αρμονική συνάρτηση .. anyway .. πανέμορφο θέμα .. μπράβο ..

Ilias_Zad · #6

Χαίρομαι που δημιούργησε ενδιαφέρον. Είχε μπει σε qualifyings στο phd του stanford στην μιγαδική ανάλυση αλλά και σε εξετάσεις στο Μαθηματικό Αθήνας.
Η παραπάνω λύση είναι δικιά μου.
Δίνω τώρα μια ακόμα λύση η οποία ανήκει σε καθηγητή του μαθηματικού:

Λήμμα: Αν $f : [0,2\pi] \rightarrow C$ και ισχύει $|\int_{r=0}^{2\pi} f(r)dr|=\int_{r=0}^{2\pi} |f(r)|dr$ τότε το $f([0,2\pi])$ ανήκει σε ημιευθεία που περνά από το μηδέν.
Απόδειξη: Εν συντομία υπάρχει

πραγματικό τέτοιο ώστε $\int_{r=0}^{2\pi} |f(r)|dr=|\int_{r=0}^{2\pi} f(r)dr|=e^{it}\int_{r=0}^{2\pi} f(r)dr$ $\rightarrow \int_{r=0}^{2\pi} |f(r)e^{it}|dr = \int_{r=0}^{2\pi} f(r)e^{it}dr$ \displaystyle{=Re( \int_{r=0}^{2\pi} f(r)e^{it}dr)=\int_{r=0}^{2\pi} Re(f(r)e^{it})dr \rightarrow Im(f(r)e^{it})=0 στο

[0,2\pi]

D(a,r)

C(a,s)

0<s<r

1=|f(a)|+|g(a)|} $= | \frac{\int_{r=0}^{2\pi}f(a+se^{ir})dr} {2\pi}|+| \frac{\int_{r=0}^{2\pi}g(a+se^{ir})dr}{2\pi} |$ $\leq \frac{1}{2\pi} \int_{r=0}^{2\pi}(|f(a+se^{ir})|+|g(a+se^{ir}|dr)=1$ Συνεπώς η ανισότητα ως ισότητα με βάση το λήμμα δίνει ότι πχ η

την περιφέρεια αυτήν ( C(a,s)

) την στέλνει μέσα σε μια ημιευθεία που περνάει από το μηδέν. Όμως η ημιευθεία θα πρέπει περιέχει και τον μέσο όρο των τιμών της $\frac{\int_{r=0}^{2\pi}f(a+se^{ir})}{2\pi}=f(a)$ . Οπότε η ημιευθεία περνά από τα 0,f(a)

που είναι ανεξάρτητα της ακτίνας

. Άρα η εικόνα του D(a,r)

είναι μέσα σε συγκεκριμένη ημιευθεία πράγμα που από θεώρημα ανοικτής απεικόνισης δίνει την

σταθερή και άρα από αρχή μεγίστου και την

.

Μιγαδική

Μιγαδική

Re: Μιγαδική

Re: Μιγαδική

Re: Μιγαδική

Re: Μιγαδική

Re: Μιγαδική

Μέλη σε σύνδεση