vxμ τελείες

Ιστοσελίδα · #1

Γειά σας
Στο συνημμένο είναι μια εργασία ενός μαθητή, τώρα φοιτητή - ταλέντου στα μαθηματικά - ο οποίος γενίκευσε μια άσκηση του Ευκλείδη Β, στην οποία υπήρχαν 25 τελείες τοποθετημένες σε ορθογώνια (5χ5) διάταξη και ζητούνταν να βρούμε πόσα τετράγωνα σχηματίζονται με κορυφές κάποια από τα σημεία αυτά .
Στην εργασία αυτή ο μαθητής Αντώνης Φαντάκης δίνει απάντηση στο ερώτημα αυτό γενικεύοντας για vxv το πλήθος τελείες ή και ακόμα γενικότερα για νχμ τελείες.
Η εργασία είναι κάπως εκτενής και δεν έχει ελεγχθεί για την ορθότητά της. Θα παρακαλούσα όποιον μπορεί, θέλει και έχει χρόνο, να το κάνει.
Η εργασία αυτή δημοσιεύεται μετά από σύμφωνη γνώμη του ίδιου του μαθητή.

Αντώνη καλή σταδιοδρομία.
Να συνεχίσεις να κάνεις με πάθος ό,τι σου αρέσει.
Τυχερή η επιστήμη που θα σε κερδίσει !!!
Μίλτος Π

#2

Πολύ καλή δουλειά. Έχω όμως μια διαφωνία.

- Ο αριθμός των τετραγώνων χωρίς περιστροφή είναι σωστός.
- Ο αριθμός των τετραγώνων με περιστροφή 45 μοιρών είναι σωστός.
- Στον αριθμών των τετραγώνων με περιστροφή αλλά όχι 45 μοιρών ο Αντώνης έχει χάσει κάποια τετράγωνα. Ο τύπος που βρήκε μετράει όλα τα τετράγωνα με περιστροφή $\tan^{-1}(1/2),\tan^{-1}(1/3),\tan^{-1}(1/4),\ldots$ και με περιστροφή $\tan^{-1}(2),\tan^{-1}(3),\tan^{-1}(4),\ldots$ . Δεν μετράει όμως π.χ. τα τετράγωνα με περιστροφή $\tan^{-1}(2/3)$ κ.τ.λ. Στις 6χ6 τελείες έχει χάσει δύο τετράγωνα. Αυτά με συντεταγμένες (3,1),(6,3),(4,6),(1,4) και (4,1),(6,4)(3,6),(1,3). Για περισσότερες τελείες χάνουμε και άλλες περιστροφές.

Ιστοσελίδα · #3

Demetres έγραψε:Πολύ καλή δουλειά. Έχω όμως μια διαφωνία.

- Ο αριθμός των τετραγώνων χωρίς περιστροφή είναι σωστός.
- Ο αριθμός των τετραγώνων με περιστροφή 45 μοιρών είναι σωστός.
- Στον αριθμών των τετραγώνων με περιστροφή αλλά όχι 45 μοιρών ο Αντώνης έχει χάσει κάποια τετράγωνα. Ο τύπος που βρήκε μετράει όλα τα τετράγωνα με περιστροφή $\tan^{-1}(1/2),\tan^{-1}(1/3),\tan^{-1}(1/4),\ldots$ και με περιστροφή $\tan^{-1}(2),\tan^{-1}(3),\tan^{-1}(4),\ldots$ . Δεν μετράει όμως π.χ. τα τετράγωνα με περιστροφή $\tan^{-1}(2/3)$ κ.τ.λ. Στις 6χ6 τελείες έχει χάσει δύο τετράγωνα. Αυτά με συντεταγμένες (3,1),(6,3),(4,6),(1,4) και (4,1),(6,4)(3,6),(1,3). Για περισσότερες τελείες χάνουμε και άλλες περιστροφές.

Καλησπέρα
Δημήτρη σε ευχαριστώ για την απάντηση.
Όπως είπα η λύση δεν έχει ελεγθεί ως προς την ορθότητά της και ένας λόγος που την δημοσίευσα εδώ είναι και αυτός ώστε να γίνει έλεγχος.
Προσωπικά δεν έχω κοιτάξει αναλυτικά τη λύση για να διαπιστώσω αυτό που λες, θα το συζητήσω μαζί του και τα ξαναλέμε
ευχαριστώ και πάλι
Μίλτος Π

#4

Μίλτο, δεν ξέρω αν ο Αντώνης παρακολουθεί την συζήτηση. Να δώσω μια βοήθεια να του την μεταφέρεις.

Ας πάρουμε την περίπτωση που μετράμε μόνο τα τετράγωνα με πλευρές παράλληλες με τους άξονες. Πολύ σωστά βρήκε ότι υπάρχουν $1^2 + 2^2 + \cdots (n-1)^2$ . Εκτός από την απόδειξη με μαθηματική επαγωγή που έκανε, υπάρχει και μια διαφορετική απόδειξη.

Πόσα τετράγωνα με πλευρά μήκους

έχουμε; Ακριβώς 1
Πόσα τετράγωνα με πλευρά μήκους n-1

έχουμε; Ακριβώς 4 = 2^2

. Η κάτω αριστερά κορυφή πρέπει να ανήκει στο κάτω αριστερά τετράγωνο μήκους 2. Ομοίως έχουμε 3^2

τετράγωνα μήκους n-2

κ.τ.λ.

Φυσικά η καταμέτρηση των περιστραμμένων τετραγώνων πάλι είναι πολύπλοκη αλλά ίσως πιο απλή από την αρχική προσπάθεια του Αντώνη.

Ιστοσελίδα · #5

Demetres έγραψε:Μίλτο, δεν ξέρω αν ο Αντώνης παρακολουθεί την συζήτηση. Να δώσω μια βοήθεια να του την μεταφέρεις.

Δημήτρη πιστεύω ότι αν όχι απόψε, λόγω ημέρας, σίγουρα αύριο θα διαβάσει τα μηνύματα και θα πάρει τις πληροφορίες από "πρώτο χέρι".
Άν όχι θα του μιλήσω στο τηλέφωνο.
Πάλι ευχαριστώ
Μίλτος

math_fan · #6

Γεια Δημήτρη. είμαι ο Αντώνης...
Πρώτα απ'όλα συγγνώμη για την καθυστέρηση... Απλώς έτρεχα λίγο (ήμουν άρρωστος)...
Είδα την απάντησή σου, αλλά να σου πω την αλήθεια δεν το έχω κοιτάξει... Θα το δω λογικά το απόγευμα πιο μετά, και θα ξαναμιλήσουμε. Διότι προς το παρόν δεν έχω δει και ποιά τετράγωνα μου λείπουν. Με τον τρόπο που έκανα την μέτρηση, είναι πολύ πιθανό να μου ξέφυγαν, γιατί βασίστηκα στο γεγονός πως έχουμε τετράγωνο (το σχήμα με τις τελείες εννοώ) και στην συμμετρία του. Θα το δω λοιπόν, και θα σου πω.
Σε ευχαριστώ πάρα πολύ για την απάντηση. και θα ξαναμιλήσουμε...

math_fan · #7

Γειά δημήτρη. Σήμερα κατάφερα μόνο να το κοιτάξω. Είδα ποια είναι τα τετράγωνα που παραλείπω, και ο τύπος μπορεί να διορθωθεί αν αντικατασταθεί το τελευταίο άθροισμα, από ένα άθροισμα αθροισμάτων... πιο απλό απ'ότι ακούγεται. άθροισμα αθροισμάτων για να μπορεί να συμβολιστεί, αφού όσο αυξάνεται ο αριθμός των σημείων, αυξάνεται και ο αριθμός των αθροισμάτων... θα ανεβάσω τον τύπο αύριο λογικά για να δεις τι εννοώ, και να μου πεις τη γνώμη σου.

math_fan · #8

υπάρχει επισύναψη με τον διορθωμένο τύπο

#9

Αντώνη, ο τύπος φαίνεται μόνο ο μισός. Φαντάζομαι ότι οι πρώτοι δυο όροι που δεν φαίνονται είναι οι όροι για τετράγωνα χωρίς περιστροφή και για περιστροφή 45 μοιρών που βρήκες στο προηγούμενο άρθρο. Τότε τύπος είναι σωστός. Συγχαρητήρια! Τι σπουδάζεις αν επιτρέπεται; Δεν κατάλαβα απ' τα λεγόμενα του Μίλτου αν σπουδάζεις μαθηματικά ή κάτι άλλο.

Ας προσπαθήσουμε όμως να τον συμμαζέψουμε λίγο τον τύπο. Στο άθροισμα εμφανίζονται πολλοί όροι της μορφής $(x-\nu)^2$ . Αν για συγκεκριμένο $\nu$ εμφανίζονται $a_{\nu}$ όροι τότε θα μπορούσαμε να γράψουμε τον τύπο πιο σύντομα σαν $\displaystyle{\sum_{\nu = 1}^x a_{\nu}(x-\nu)^2.}$ Μπορείς να μου πεις με τι ισούται το $a_{\nu}$ ;

Ιστοσελίδα · #10

Δημήτρη
κατ΄αρχήν ένα ευχαριστώ για το χρόνο που διέθεσες και ασχολήθηκες με την εργασία του Αντώνη αλλά και για την όλη καθοδήγηση που του δίνεις στην αντιμετώπιση του θέματος που πραγματεύεται στην εργασία του.
Εδώ να πω ότι ο Αντώνης είναι ένα παιδί με ιδιαίτερη κλίση στα Μαθηματικά, που διακρίνονταν πάντα στους μαθηματικούς διαγωνισμούς που συμμετείχε.
Φέτος πέτυχε να εισαχθεί στη σχολή εφαρμοσμένων μαθηματικών του ΕΜΠ.

Μίλτος

math_fan · #11

Γειά Δημήτρη. πρώτα απ'όλα να σε ευχαρειστήσω για τον χρόνο και τις υποδείξεις. Βέβαι, νομίζω ότι ο τύπος φαίνεται ολόκληρος. Αποτελείται από ένα άθροισμα για τα τετράγωνα χωρίς περιστροφή, ένα άθροισμα για τα τετράγωνα με περιστροφή 45 μοιρών και ένα άθροισμα αθροισμάτων για όλα τα υπόλοιπα (και το οποίο είναι επί δύο, για λόγους που έχουμε ήδη αναφέρει). Τώρα, νομίζω ότι είναι σωστός ο τύπος. Αλλά μπορεί να κάνω και λάθος. καθόλου απίθανο...

Πέρασα στο τμήμα εφαρμοσμένων μαθηματικών και φυσικών επιστημών στο ΕΜΠ, αλλά κατά πάσα πιθανότητα έχω περάσει και Ιατρική με το 3% (πλέον 5%), και είμαι στη φάση που προσπαθώ να διαλέξω.... μεγάλο το δίλημμα!

math_fan · #12

Συγγνώμη... Απλώς το δημοσιεύω σε Word...

#13

math_fan έγραψε:Τώρα, νομίζω ότι είναι σωστός ο τύπος. Αλλά μπορεί να κάνω και λάθος. καθόλου απίθανο...

Είναι σίγουρα σωστός. Μπορεί όμως να συντομευθεί κάπως για να μην υπάρχουν τόσα πολλά αθροίσματα.

math_fan έγραψε: Πέρασα στο τμήμα εφαρμοσμένων μαθηματικών και φυσικών επιστημών στο ΕΜΠ, αλλά κατά πάσα πιθανότητα έχω περάσει και Ιατρική με το 3% (πλέον 5%), και είμαι στη φάση που προσπαθώ να διαλέξω.... μεγάλο το δίλημμα!

Καλή επιιτυχία τότε σε ότι και αν διαλέξεις.

math_fan · #14

Πρώτα απ' όλα, μόλις χθες είδα ότι και τα δύο συνημμένα αρχεία με την διόρθωση του τύπου έχουν πρόβλημα. Το πρώτο (για το οποίο γνώριζα και για το λόγο αυτό ανέβασα και το 2ο) έχει ένα πλαίσιο, ενώ το δεύτερο δεν ανοίγει για άγνωστη αιτία.
Έπειτα, επισυνάπτω το αρχείο με τον διορθωμένο τύπο,
και τέλος, στο αρχείο αυτό θα βρείτε και μια απλοποίηση του τύπου, για την περίπτωση όμως που η διάταξ ητων σημείων είναι τετραγώνου σχήματος, όχι δηλαδή για τυχαίο ορθογώνιο.

#15

Η άσκηση με το 5Χ5 είχε τεθεί και σε ένα διγωνισμό της ΕΜΕ. Από τότε (Γ γυμνασίου) μου είχε κεντρίσει το ενδιαφέρον η γενίκευση αλλά δεν είχα καταφέρει να την αντιμετωπίσω. Τώρα λοιπόν τυχαία τη βρίσκω μπροστά μου και νομίζω έχω ένα τρόπο.
Έστω X_n

το σύνολο των τετραγώνων με κορυφές στο nxn και Y_n

των τετραγώνων που έχουν παράλληλες πλευρές στους άξονες. Για $x\in X_n$ έστω f(x)

το μικρότερο τετράγωνο που περιέχει το

. Παρατηρώντας ότι για καθε $y\in Y_n$ υπάρχουν ακριβώς

τετράγωνα με f(x)=y

παίρνουμε ότι το πλήθος είναι $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}}(n-k)^2k=\frac{n^2(n^2-1)}{12}$

#16

Σιλουανέ πάρα πολύ ωραία. Η ιδέα γενικεύεται και για $n \times m$ τελείες. Ας εξηγήσω λοιπόν την ιδέα του Σιλουανού σε αυτήν την περίπτωση:

Ας υποθέσουμε πως $m \leqslant n$ . Πόσα $k \times k$ τετράγωνα υπάρχουν με πλευρές παράλληλες προς τους άξονες; Ακριβώς (m-k)(n-k)

διότι υπάρχουν ακριβώς (m-k)(n-k)

τελείες που μπορούμε να τοποθετήσουμε την κάτω αριστερά κορυφή του. Πόσα τετράγωνα έχουν όλες τις κορυφές τους στις πλευρές ενός τέτοιου τετραγώνου; Ακριβώς

, ένα για κάθε τελεία στην κάτω πλευρά αυτού του τετραγώνου (εκτός από την κάτω δεξιά).

Άρα έχουμε σύνολο $\displaystyle{ \sum_{k=1}^m k(m-k)(n-k) = \cdots = \frac{(m-1)m(m+1)(2n-m)}{12}}$

Ο τύπος που είχε βρει ο Αντώνης ήταν σωστός αλλά περιείχε πολλά αθροίσματα.

vxμ τελείες

vxμ τελείες

Re: vxμ τελείες

Re: vxμ τελείες

Re: vxμ τελείες

Re: vxμ τελείες

Re: vxμ τελείες

Re: vxμ τελείες

Re: vxμ τελείες

Re: vxμ τελείες

Re: vxμ τελείες

Re: vxμ τελείες

Re: vxμ τελείες

Re: vxμ τελείες

Re: vxμ τελείες

Re: vxμ τελείες

Re: vxμ τελείες

Μέλη σε σύνδεση