Σωστό ή λάθος

[mhtsort]

Δίνεται μιγαδικός z για τον οποίο . Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του .
ΛΥΣΗ
Έστω . Τότε . Οπότε
οπότε






Πώς θα το διορθώνατε σε διαγώνισμα;

[KAKABASBASILEIOS]

...θα του έβαζα το 70 τοις 100 της βαθμολογίας για τον λόγο του ότι
δεν έχει αποδείξει ότι το μέτρο του μπορεί να πάρει την τιμή 3 και την τιμή 7
ώστε να χαρακτηρισθεί ελάχιστη τιμή το 3 και μέγιστη το 7
Βασίλης

[mhtsort]

Σε αυτή την περίπτωση όμως, έχουμε απόσταση σταθερού σημείου από κύκλο με κέντρο την αρχή, όπου είναι γνωστό από τις προηγούμενες τάξεις ότι η τριγωνική ανισότητα δίνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή και όχι φράγματα.

[apotin]

Σε αυτή την περίπτωση όμως, έχουμε απόσταση σταθερού σημείου από κύκλο με κέντρο την αρχή, όπου είναι γνωστό από τις προηγούμενες τάξεις ότι η τριγωνική ανισότητα δίνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή και όχι φράγματα.

που αναφέρεσαι;

[mhtsort]

Εχουν δει για παράδειγμα στην Α Λυκείου στη γεωμετρία ότι η μέγιστη και η ελάχιστη απόσταση σημείου από κύκλο ευρίσκεται με χρήση τριγωνικής ανισότητας (βλ Γεωμετρία σελ 58 Απ 4).

[dennys]

Θα του έδινα 100% , γιατί η τριγωνικη και το σχήμα λέν αλήθεια σε αυτη την περίπτωση.

Σ ε ασκηση σχολικου βιβλιου ξεχωρίζεται η ευρεση ακροτατων απο την ευρεση σε ποιους μιγαδικους εχω τα ακρότατα . Αρα δεν ηταν υποχρεωμένος να

απαντησει σε κατι άλλο.

dennys

[chris_gatos]

Σε αυτή την περίπτωση όμως, έχουμε απόσταση σταθερού σημείου από κύκλο με κέντρο την αρχή, όπου είναι γνωστό από τις προηγούμενες τάξεις ότι η τριγωνική ανισότητα δίνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή και όχι φράγματα.

Καλημέρα!
Αν όντως μιλάς για την άσκηση του βιβλίου γεωμετρίας τότε μπορεί ο μαθητής αβίαστα να τη χρησιμοποιήσει, χωρίς να την αναφέρει
ή ακόμη καλύτερα να την αποδείξει;
Σα θεωρία που υπάρχει στα σχολικά βιβλία αυτό που λες;
Εγώ θα έκοβα κάποιες μονάδες, αν το άφηνε ασχολίαστο.

[STOPJOHN]

Καλημέρα πιστεύω ότι η οποιαδήποτε άσκηση του σχολικού βιβλίου για να χρησιμοποιηθεί πρέπει υποχρεωτικά να αποδειχθεί (για τις Πανελλήνιες εξετάσεις και όχι μόνο ....) και είναι γνωστό στους συναδέλφους βαθμολογητές. Η τριγωνική ανισότητα με το αντίστοιχο σχήμα μπορεί να δώσει τα ζητούμενα ακρότατα
Γιάννης

[Τηλέγραφος Κώστας]

Δίνεται μιγαδικός z για τον οποίο . Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του .
ΛΥΣΗ
Έστω . Τότε . Οπότε
οπότε






Πώς θα το διορθώνατε σε διαγώνισμα;

Για την παραπάνω λύση.
Αν ήταν μαθητής μου θα του έβαζα στα , και αυτές για την σωστή εφαρμογή τις τριγωνικής ανισότητας .

Ογδόντα μονάδες κόβω γιατί δεν απάντησε καν στην ερώτηση της άσκησης.

Μια σκέτη ανισότητα της μορφής δεν δηλώνει ότι η παράσταση έχει ελάχιστη τιμή το και μέγιστη το .

Αν όμως αποδείξει ότι υπάρχουν μιγαδικοί που μπορούν να δώσουν στο μετρότις τιμές και τότε παίρνει στα .
Όμοια αν έχει κάνει σχήμα και όλα τα απαιτούμενα.

Αν δεν ήταν μαθητής μου θα του έβαζα στα για τους ίδιους λόγους .

[apotin]

Όμοια αν έχει κάνει σχήμα και όλα τα απαιτούμενα.

Πρέπει να το ελέγχουμε και αυτό. Ένα σχήμα από μόνο του δεν αποδεικνύει κάτι.

[mhtsort]

Μια σκέτη ανισότητα της μορφής δεν δηλώνει ότι η παράσταση έχει ελάχιστη τιμή το και μέγιστη το .

Δηλαδή στη συγκεκριμένη περίπτωση (κύκλος με κέντρο O και σταθερό σημείο) υπάρχει παράδειγμα στο οποίο η ανισότητα δεν δίνει τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή;

[Τηλέγραφος Κώστας]

Μια σκέτη ανισότητα της μορφής δεν δηλώνει ότι η παράσταση έχει ελάχιστη τιμή το και μέγιστη το .

Δηλαδή στη συγκεκριμένη περίπτωση (κύκλος με κέντρο O και σταθερό σημείο) υπάρχει παράδειγμα στο οποίο η ανισότητα δεν δίνει τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή;

Π.χ : Ισχύει αλλα το 11 δεν είναι το μέγιστο.

[Πρωτοπαπάς Λευτέρης]

Μια σκέτη ανισότητα της μορφής δεν δηλώνει ότι η παράσταση έχει ελάχιστη τιμή το και μέγιστη το .

Δηλαδή στη συγκεκριμένη περίπτωση (κύκλος με κέντρο O και σταθερό σημείο) υπάρχει παράδειγμα στο οποίο η ανισότητα δεν δίνει τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή;

Εγώ είμαι με την άποψη του Βασίλη ( KAKABASBASILEIOS).

Όποιος μαθητής γνωρίζει απ' έξω τις ασκήσεις των σχολικών βιβλίων δεν μπορεί να τις χρησιμοποιεί χωρίς απόδειξη.

Νομίζω ότι αυτό είναι ξεκάθαρο.

Ας το δούμε και αλλιώς.

Για πρώτη φορά πέρισυ μπορούσε ένας μαθητής να χρησιμοποιήσει την ισοδυναμία



(που είναι άσκηση στο σχολικό βιβλίο) χωρίς απόδειξη.

[exdx]

Οι οδηγίες είναι σαφείς : Μη αιτιολογημένο αποτέλεσμα δεν λαμβάνεται υπόψιν . Εδώ έτυχε τα φράγματα να είναι και ακρότατα .
Μην ξεχνάτε ότι το 2008 στο θέμα 2δ όσοι χρησιμοποίησαν μόνο την τριγωνική έχασαν μόρια .

Για τη βαθμολόγηση : Σίγουρα ο μαθητής δεν θα πάρει το σύνολο των μορίων . Εφόσον η απάντηση είναι ελλειπής , η βαθμολόγηση είναι υποκειμενική .

[dennys]

dennys έγραψε:k. Κωστα καλησπέρα

Θα ήθελα να ευχηθώ να μην σας είχα βαθμολογητή. Σε κάθε περίπτωση είστε άδικος κατά την γνώμη μου (%γιατι η τριγωνική ανισότητα

οταν την εφαρμόσουμε πάιρνοντας οτι οι μιγαδικοί είναι στήν ευθεία που ενώνει κέντρο κύκλου και σημείο εκτός αυτού

τότε μας δίνει μέγιστα ελάχιστα αφού τα διανύσματα ειναι ομόρροπα-αντίρροπα αντίστοιχα και αρα πιάνονται οι ισότητες

στην τριγωνική ,που σημαίνει οτι σε κάποιους μιγ.αντιστοιχούν .Τα άλλα που δείχνεται με κλπ, δεν τα δέχομαι

γιατί δεν ανταποκρίνονται στην περίπτωση αυτή. Ο μαθητής αυτός για μένα και μόνο που έθεσε κλπ

είναι σούπερ.

dennys

[Μπάμπης Στεργίου]

Δίνεται μιγαδικός z για τον οποίο . Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του .
ΛΥΣΗ
Έστω . Τότε . Οπότε
οπότε






Πώς θα το διορθώνατε σε διαγώνισμα;

Δε χωράει αμφιβολία ότι η απάντηση είναι ελλειπής .Η βαθμολογία είναι δευτερεύουσα υπόθεση και την παραβλέπω. Αν συνοδευτεί όμως η λύση αυτή από σχήμα και γίνει η σχετική εξήγηση, τότε η απάντηση είναι πλήρης.Δεν ξέρω βέβαια αν ο συγκεκριμένος τρόπος λύσης βοηθάει τη γεωμετρική προσέγγιση, αλλά η τελείως κλασική πια γεωμετρική ''λύση'' μέχρι τώρα θεωρείται και στις πανελλήνιες πλήρης, αφού υπάρχει αντίστοιχη (στο πνεύμα) άσκηση και στο σχολικό.Εδώ δηλαδή η λύση ολοκληρώνεται είτε αλγεβρικά με τον εντοπισμό των κατάλληλων μιγαδικών ή εποπτικά- γεωμετρικά.

Να σπεύσω να δηλώσω ότι αυστηρή γεωμετρική λυση δε δίνεται πουθενά σε παρόμοια προβλήματα .Αυτό που γίνεται είναι συνήθως γεωμετρική - εποπτική λύση - προσέγγιση .Στις φετινές πανελλήνιες η εύρεση των κλπ στην έλλειψη θεωρήθηκε (σωστά για μένα) πλήρης , βασιζόμενη στην εποπτεία.Το ίδιο συνέβη και στο τελευταίο ερώτημα με την ανισότητα για το .Το ίδιο επίσης στο θέμα του με το ελάχιστο του ,όταν η μία εικόνα κινείται σε κύκλο και η άλλη σε ευθεία που δεν τον τέμνει.Μια αυστηρότερη γεωμετρική λύση ή λύση με χρήση ανάλυσης δε μπορεί να γίνει ή να απαιτηθεί από το μαθητή στα δοσμένα ασφυκτικά χρονικά περιθώρια.

Εκτός αυτού, το πνεύμα του θεματοδότη ήταν να εξετάσει την ικανότητα του μαθητή να ερμηνεύσει τη γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου μιγαδικού ή της σχέσης και όχι να επιχειρήσει να κάνει απόδειξη της αντίστοιχης γεωμετρικής ανισότητας.
Θα ήταν άλλωστε παράλογο, όλες τις παραλλείψεις στην κλασική άλγεβρα των μικρότερων τάξεων, να τις χρεωθεί ο μαθητής της τρίτης τάξης, πού έχει τεράστιο φόρτο ύλης με τα έξι μαθήματα(συχνά 7) και που βρίσκεται στην πιο καθοριστική φάση της ζωής του, κάτω μάλιστα από πολύ δύσκολες κοινωνικά συνθήκες.

ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ

α) Στο σχολικό βιβλίο της γ΄λυκείου και στη σελίδα 100 ,ερώτημα β) , αναφέρεται ότι :
'' Από τη γεωμετρία γνωρίζουμε ότι ....''
Αν πάμε στο σχολικό βιβλιο γεωμετρίας , θα δούμε τη σχετική πρόταση που χρησιμοποιείται παραπάνω ως Αποδεικτική άσκηση 4, σελίδα 58.Δεν είναι λοιπόν εφαρμογή του σχολικού βιβλίου.

Βλέπουμε δηλαδή ότι ίδιο το σχολικό κάνει χρήση άσκησης για τη λύση άλλης άσκησης(για μένα καλά κάνει και την κάνει στη συγκεκριμένη θέση).Μπορεί , αν επιθυμεί , την απόδειξη να την κάνει ο καθηγητής στην τάξη και μάλιστα θα ήταν πολύ ωραίο αν οι οδηγίες για τη διαχείρηση της ύλης έκαναν τέτοιες αναφορές για τη συμπλήρωση της αναγακαίας ύλης προηγούμενων τάξεων.

β) Για την ελάχιστη και τη μέγιστη απόσταση δύο σημείων που κινούνται σε δύο (μη τεμνόμενους) εξωτερικούς κύκλους , υπάρχει η Αποδεικτική άσκηση 2 στη σελίδα 66 του σχολικού βιβλίου γεωμετρίας. Σε αυτή λοιπόν στηριζόμαστε όλοι, όταν κάνουμε αντίστοιχες ασκήσεις με τις εικόνες δύο μιγαδικών να κινούνται σε δύο τέτοιους κύκλους.Τι θα συμβεί αν στις πανελλήνιες τεθεί ανάλογο πρόβλημα ; Θα θεωρηθεί η εποτπική αυτή λύση πλήρης ; Η άποψή μου είναι ΝΑΙ.Πρέπει να θεωρηθεί πλήρης ! Αν όμως στις ενδεικτικές λύσεις η επιτροπή αποδείξει το λήμμα(πολύ κακή επιλογή), τότε η μαθηματική κοινότητα δίκαια θα διχαστεί και θα την ...πληρώσουν ορισμένοι μαθητές.Αυτός είναι ο μόνος λόγος που πιστεύω ότι η επιτροπή δεν θα έπρεπε καν να αποστέλλει ενδεικτικές λύσεις, αν και άλλοι συνάδελφοι θέλουν ακριβώς το αντίθετο !

γ) Δεν μπορώ αυτή τη στιγμή να βρω στο βιβλίο γεωμετρίας που ζητείται να αποδειχθεί ότι η ελάχιστη απόσταση ενός σημείου που κινείται σε κύκλο από μια ευθεία που δεν τον τέμνει ισούται με .Ίσως είναι στο βιβλίο κατεύθυνσης της β΄λυκείου ή αλλού. Αν το βρει κάποιος , ας το αναφέρει, για να έχουμε πλήρη εικόνα.

δ) Αναφορικά με την έλλειψη, επισημαίνω επίσης ότι πουθενά στο σχολικό βιλβίο, στη θεωρία ή σε άσκηση, δεν αναφέρεται ότι η απόσταση ενός σημείου της από το κέντρο της παίρνει τιμές στο κλειστό διάστημα ή κάτι ανάλογο.Η μόνη αναφορά γίνεται για τη διαμετρο έλλειψης στη σελίδα 104, από την οποία όμως(για να είμαστε δίκαιοι!) προκύπτει και η παραπάνω παρατήρηση που μας ενδιαφέρει, λόγω της συμμετρίας της έλλειψης ως προς την αρχή των αξόνων. Άμεση όμως αναφορά για το συγκεκριμένο τμήμα δε γίνεται(ορθώς, αφού αυτό προκύπτει άμεσα από το σχήμα).Πόσο μάλλον για την ελάχιστη και τη μέγιστη απόσταση του τμήματος που έχει το ένα άκρο σε κύκλο και το άλλο σε έλλειψη(περυσινό θέμα) που περιέχει τον κύκλο.
Η απόδειξη λοιπόν που δόθηκε στις περυσινές εξετάσεις και βαθμολογήθηκε με άριστα (σωστά) στηριζόταν στην εποπτεία που εδώ συμπίπτει με την μαθηματική αλήθεια.

Έχω λοιπόν την πεποίθηση ότι σε πολλά σημεία η διαίσθηση ή η εποπτεία παίζουν και στα μαθηματικά της γ΄λυκείου σημαντικό ρόλο. Είναι επομένως σημαντικό να τονίζουμε στη φάση της διδασκαλίας ποιες από αυτές τις εποπτικές αλήθειες είναι και μαθηματικά ορθές και ποιες όχι.Σίγουρα δεν πρέπει να γίνεται κατάχρηση της φράσης '' όπως φαίνεται '' , διότι πολλά από αυτά που φαίνονται δεν ισχύουν πάντα. Μόνιμη επιδίωξή μας - αυτό τονίζουμε στα παιδιά - είναι να αποδεικνύουμε τους ισχυρισμούς μας και μόνο σε ελάχιστες περιπτώσεις να διακινδυνεύουμε λύσεις με την εποπτεία ή τη διαίσθηση. Το πνεύμα του βιβλίου είναι κοντά σε αυτή τη διαπίστωση και αυτός είναι ένας ακόμα λόγος που το βιβλίο αυτό κρίνεται ικανοποιητικά καλό ως σχολικό εγχειρίδιο.

ΕΠΙΛΟΓΟΣ
Η υπερβολική μαθηματική αυστηρότητα, με την έννοια ότι κάθε τι που γράφει ο μαθητής ή που διδάσκει ο μαθητής ή ακόμα που ανφέρουν τα σχολικά βιβλία ,πρέπει να αποδεικνύεται λεπτομερώς με βάση τα αξιώματα και τα θεωρήματα, είναι για τα σχολικά μαθηματικά ανίαρη υπερβολή που ακυρώνει το σκοπό και τη γοητεία του μαθήματος .

Ορθές λοιπόν εκτιμήσεις στην πορεία λύσης μιας άσκησης , εποπτικές προσεγγίσεις ή ερμηνείες και γεωμετρικές αναφορές, πρέπει όχι μόνο να ενθαρρύνονται αλλά και να αμοίβονται γενναιόδωρα από το δάσκαλο, τόσο στο καθημερινό μάθημα, όσο και στις εξετάσεις κάθε μορφής.Φυσικά όλα αυτά μέσα στα πλαίσια του μέτρου και μόνο για τις περιπτώσεις που δεν αντικαθιστούν προκλητικά τις έξοχες, απλές και ορθές μαθηματικές αποδείξεις.

Μπάμπης

[Τηλέγραφος Κώστας]

Διονύση όλα αυτά που γράφεις δεν υπάρχουν στην λύση που έδωσε ο Μήτσος !!!
Αν θες να υποστηρίξεις κάτι άλλο κάντο αναλυτικά, γιατί έτσι δεν βγαίνει νόημα.
Δώσε λοιπόν μια ολοκληρωμένη απάντηση για να έχουμε μια βάση να συζητήσουμε.

dennys έγραψε:k. Κωστα καλησπέρα

Θα ήθελα να ευχηθώ να μην σας είχα βαθμολογητή. Σε κάθε περίπτωση είστε άδικος κατά την γνώμη μου (%γιατι η τριγωνική ανισότητα

οταν την εφαρμόσουμε πάιρνοντας οτι οι μιγαδικοί είναι στήν ευθεία που ενώνει κέντρο κύκλου και σημείο εκτός αυτού

τότε μας δίνει μέγιστα ελάχιστα αφού τα διανύσματα ειναι ομόρροπα-αντίρροπα αντίστοιχα και αρα πιάνονται οι ισότητες

στην τριγωνική ,που σημαίνει οτι σε κάποιους μιγ.αντιστοιχούν .Τα άλλα που δείχνεται με κλπ, δεν τα δέχομαι

γιατί δεν ανταποκρίνονται στην περίπτωση αυτή. Ο μαθητής αυτός για μένα και μόνο που έθεσε κλπ

είναι σούπερ.

dennys

[dennys]

Αυτό που απλά ήθελα να πώ είναι ότι ο μαθητής αυτός έκανε τριγωνική και επειδή

, αντίστοιχα σημαίνουν ότι η εικόνα του μιγαδικού κινείται στόν κύκλο κέντρου

, και η δεύτερη την απόσταση της εικόνας του απο το σημείο .

H τριγωνική λοιπόν ή το σχήμα καλύπτουν πλήρως τα ακρότατα. Για μένα Κώστα δεν είναι ανάγκη να βρεί ποιοί μιγα;δικοί

δίνουν αυτά τα ακρότατα.'Αλλωστε αυτό τίθεται πάντα σαν εξτρά ερώτημα , στην βιβλιογραφία.

Αυτό ήθελα να πώ και τίποτε άλλο.

Φιλικά dennys