Γεωμετρία των μέσων Ι

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαία ευθεία (ε) που διέρχεται από την κορυφή του Α. Αν ${\rm B}_1 ,\Gamma _1$ είναι οι προβολές των Β και Γ στην ευθεία (ε) και Ρ το μέσο της ΒΓ, να δείξετε ότι το τρίγωνο ${\rm B}_1 P\Gamma _1$ είναι ισοσκελές.

Dimitris X · #2

Κάτι μου διαφεύγει ή όντος είναι εξαιρετικά εύκολο???
Το Β_1Γ_1ΓΒ είναι τραπέζιο.
Αφού το Ρ είναι μέσο πλευράς τραπεζίου,εαν φέρουμε την παράλληλη προς τις δύο κάθετες θα τέμνει ΚΑΘΕΤΑ την Β_1Γ_1 στο ΜΕΣΟ της.

fmak65 · #3

Αν φερουμε απο το Ρ καθετη στην Β1Γ1 εχουμε το σημειο Δ.Αφου Ρ μεσο ΒΓ και ολες οι ΒΒ1, ΓΓ1 και ΡΔ καθετες στην Β1Γ1 αρα παραλληλες τοτε και το Δ μεσο της Β1Γ1.
Τα τριγωνα ΡΔΒ1 και ΡΔΓ1 ορθογωνια , ΡΔ κοινη και ΔΒ1 = ΔΓ1 αρα ισα , οποτε ισες και οι ΡΒ1 με την ΡΓ1.

Ιστοσελίδα · #4

Όντος είναι εύκολη Δημήτρη (πρέπει να υπάρχουν και αυτές). Μια άλλη αντιμετώπιση με παρόμοια φιλοσοφία είναι:

Θεωρούμε το συμμετρικό σημείο ${\rm B}^{\prime}_1$ του σημείου ${\rm B}_1$ ως προς το σημείο Ρ, και Μ την προβολή του σημείου Ρ στην ευθεία (ε) τότε ισχύει:

$\Gamma {\rm B}^{\prime}_1 //{\rm B}{\rm B}_1$
Δηλαδή
$\Gamma {\rm B}^{\prime}_1$ κάθετη στην ευθεία (ε)

Από το ορθογώνιο τρίγωνο $\Gamma _1 {\rm B}_1 {\rm B}}^{\prime}_1$ έχουμε:

$\Gamma _1 {\rm P} = \frac{{{\rm B}_1 {\rm B}^{\prime}_1 }}{2} = {\rm P}{\rm B}_1$

p_gianno · #5

Καλησπέρα
μια ακόμη διαπραγμάτευση με βάση το προηγούμενο σχήμα

Αν η ΒΓ ήταν παράλληλη προς την Β1Γ1 και περνούσε ταυτόχρονα από το Ρ θα είχαμε το ορθογώνιο ΒΓΓ1Β1 και τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΒ1Ρ και ΓΓ1Ρ θά ήταν ίσα (Β=Γ=90 ,ΒΡ=ΡΓ , ΒΒ1=ΓΓ1) με συνέπεια να είναι Β1Ρ=Γ1Ρ που είναι και το ζητούμενο δεδομένου ότι αν στρέψουμε την ΒΓ περί το Ρ για να έλθει στην αρχική της θέση (τραπεζίου) σε τίποτα δεν επηρεάζεται η σχετική (και απόλυτη) θέση των σημείων Ρ,Β1,Γ1

Π.Γ

Γεωμετρία των μέσων Ι

Γεωμετρία των μέσων Ι

Re: Γεωμετρία των μέσων Ι

Re: Γεωμετρία των μέσων Ι

Re: Γεωμετρία των μέσων Ι

Re: Γεωμετρία των μέσων Ι

Μέλη σε σύνδεση