ΘΑΛΗΣ 2007 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x , y}$ που ικανοποιούν τη σχέση: $\displaystyle{x^6 + x^4- 2x^3-2x^2 y^2-2y^2 + 2y^4 + 2 = 0}$ .

2. Να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές των θετικών μονοψήφιων ακεραίων αριθμών $\displaystyle{\kappa , \lambda , \mu}$ για τους οποίους η δευτεροβάθμια εξίσωση $\displaystyle{\kappa x^2 + \lambda x + \mu = 0}$ έχει δύο ακέραιες ίσες λύσεις.

3. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και ημιευθεία $\displaystyle{Ax //B\Gamma}$ (η $\displaystyle{Ax}$ βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο με το σημείο $\displaystyle{\Gamma}$ ως προς την ευθεία $\displaystyle{AB}$ ). Στην ημιευθεία $\displaystyle{Ax}$ θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle{\Delta}$ και $\displaystyle{E}$ έτσι, ώστε το τετράπλευρο $\displaystyle{B\Gamma \Delta E}$ να είναι ρόμβος (το σημείο $\displaystyle{E}$ βρίσκεται ανάμεσα στο $\displaystyle{A}$ και στο $\displaystyle{\Delta}$ ). Στο σημείο $\displaystyle{\Delta}$ θεωρούμε την κάθετη ευθεία στη $\displaystyle{\Delta \Gamma}$ που τέμνει την προέκταση της πλευράς $\displaystyle{BA}$ στο $\displaystyle{Z}$ .
(α) Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο $\displaystyle{\Delta EZ}$ είναι ισόπλευρο.
(β) Να αποδειχθεί ότι το $\displaystyle{E}$ είναι έγκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{A\Gamma Z}$ .

4. Αν $\displaystyle{x , y , z\in \mathbb{ R}^* }$ , να λυθεί το σύστημα: $\displaystyle{\left\{ \begin{matrix} 3{{x}^{2}}y+2y{{z}^{2}}=70xz \\ 7{{y}^{2}}z+4z{{x}^{2}}=256xy \\ 5{{z}^{2}}x+6x{{y}^{2}}=52yz \\ \end{matrix} \right}$ .

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x , y}$ που ικανοποιούν τη σχέση: $\displaystyle{x^6 + x^4- 2x^3-2x^2 y^2-2y^2 + 2y^4 + 2 = 0}$

${x^6} + {x^4} - 2{x^3} - 2{x^2}{y^2} - 2{y^2} + 2{y^4} + 2 = 0 \Leftrightarrow$

$\left( {{x^6} - 2{x^3} + 1} \right) + \left( {{x^4} - 2{x^2}{y^2} + {y^4}} \right) + \left( {{y^4} - 2{y^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow$

${\left( {{x^3} - 1} \right)^2} + {\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} + {\left( {{y^2} - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow$

${x^3} - 1 = 0\;\kappa \alpha \iota \;{x^2} - {y^2} = 0\;\kappa \alpha \iota \;{y^2} - 1 = 0$ ως άθροισμα μη αρνητικών όρων

$x = 1\;\kappa \alpha \iota \;{x^2} = {y^2}\;\kappa \alpha \iota \;y = \pm 1$

Άρα τα ζητούμενα ζεύγη των πραγματικών αριθμών είναι:

$\left( {x,y} \right) = \left( {1,1} \right)\;\kappa \alpha \iota \,\left( {x,y} \right) = \left( {1, - 1} \right)$ που ικανοποιούν και τις τρείς παραπάνω σχέσεις.

#3

parmenides51 έγραψε:2. Να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές των θετικών μονοψήφιων ακεραίων αριθμών $\displaystyle{\kappa , \lambda , \mu}$ για τους οποίους η δευτεροβάθμια εξίσωση $\displaystyle{\kappa x^2 + \lambda x + \mu = 0}$ έχει δύο ακέραιες ίσες λύσεις.

Για να έχει η δοσμένη εξίσωση δύο ρίζες ίσες, θα πρέπει:

$\displaystyle{k\neq 0}$ , και $\displaystyle{\lambda ^2 -4k\mu =0\Leftrightarrow \lambda ^2 =4k\mu}$ . Από εδώ συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός

$\displaystyle{\lambda ^2}$ είναι άρτιος, οπότε θα πρέπει και ο $\displaystyle{\lambda}$ να είναι επίσης άρτιος. Και αφού επί πλέον είναι θετικός μονοψήφιος, άρα θα παίρνει τις τιμές $\displaystyle{ 2 , 4 , 6 , 8}$

Aν $\displaystyle{\lambda =2\Rightarrow 4k\mu =4\Rightarrow k\mu =1 \Rightarrow k=\mu =1}$

Aν $\displaystyle{\lambda =4\Rightarrow 4k\mu =16\Rightarrow k\mu =4\Rightarrow k=1 , \mu =4}$ , ή $\displaystyle{k=2 , \mu =2}$ , ή

$\displaystyle{k=4 , \mu =1}$

Αν $\displaystyle{\lambda =6\Rightarrow 4k\mu =36\Rightarrow k\mu =12\Rightarrow k=2 , \mu =6}$ , ή $\displaystyle{k=3 , \mu =4}$ ,ή

$\displaystyle{k=4 , \mu =3}$ , ή $\displaystyle{k=6 , \mu =2}$

Τέλος, αν $\displaystyle{\lambda =8\Rightarrow 4k\mu =64\Rightarrow k\mu =16\Rightarrow k=2 , \mu =8}$ , 'η

$\displaystyle{k=4 , \mu =4}$ ,ή $\displaystyle{k=8 , \mu =2}$

hlkampel · #4

parmenides51 έγραψε: 4. Αν $\displaystyle{x , y , z\in \mathbb{ R}^* }$ , να λυθεί το σύστημα: $\displaystyle{\left\{ \begin{matrix} 3{{x}^{2}}y+2y{{z}^{2}}=70xz \\ 7{{y}^{2}}z+4z{{x}^{2}}=256xy \\ 5{{z}^{2}}x+6x{{y}^{2}}=52yz \\ \end{matrix} \right}$ .

Διαιρώντας την πρώτη εξίσωση με

γίνεται: $\dispaystyle 3\frac{{xy}}{z} + 2\frac{{yz}}{x} = 70$ (1)

Διαιρώντας την δεύτερη εξίσωση με

γίνεται: $7\frac{{yz}}{x} + 4\frac{{zx}}{y} = 256$ (2)

Διαιρώντας την τρίτη εξίσωση με

γίνεται: $5\frac{{zx}}{y} + 6\frac{{xy}}{x} = 52$ (3)

Θέτοντας $\frac{{xy}}{z} = \omega ,\;\frac{{yz}}{x} = \varphi$ και $\frac{{zx}}{y} = \theta$ οι εξισώσεις (1), (2) (3) μας δίνουν το σύστημα:

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} 3\omega + 2\varphi = 70 \\ 7\varphi + 4\theta = 256 \\ 5\theta + 6\omega = 52 \\ \end{array} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\scriptstyle \cdot \left( { - 2} \right) \hfill \atop \scriptstyle \hfill} \left\{ \begin{array}{l} - 6\omega - 4\varphi = - 140 \\ 5\theta + 6\omega = 52 \\ 7\varphi + 4\theta = 256 \\ \end{array} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( + \right)} \left\{ \begin{array}{l} 5\theta - 4\varphi = - 88 \\ 7\varphi + 4\theta = 256 \\ 5\theta + 6\omega = 52 \\ \end{array} \right.}$

Λύνοντας το παραπάνω σύστημα (απλό πια) παίρνουμε $\omega = 2,\;\varphi = 32$ και $\theta = 8$
Άρα $\left\{ \begin{array}{l} \frac{{xy}}{z} = 2\; \\ \frac{{yz}}{x} = 32 \\ \frac{{zx}}{y} = 8 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy = 2z \\ yz = 32x \\ zx = 8y \\ \end{array} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( \cdot \right)} {x^2}{y^2}{z^2} = 512xyz \Leftrightarrow xyz = 512$

Άρα $xy = \frac{{512}}{z},\;yz = \frac{{512}}{x}$ και $zx = \frac{{512}}{y}$ και αντικαθιστώντας στις πιο πάνω εξισώσεις έχουμε:
$\left\{ \begin{array}{l} \frac{{512}}{z} = 2z \\ \frac{{512}}{x} = 32x \\ \frac{{512}}{y} = 8y \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z = 16\;\dot \eta \;z = - 16 \\ x = 4\;\dot \eta \;x = - 4 \\ y = 8\;\dot \eta \;y = - 8 \\ \end{array} \right.$

Επειδή xyz = 512 > 0

οι αριθμοί x,y,z

θα είναι:

i. και οι τρείς θετικοί ή ii οι δύο αρνητικοί και ο ένας θετικός

Έτσι οι λύσεις του συστήματος είναι:

$\left( {x,y,z} \right) = \left( {4,8,16} \right)\;\dot \eta \;\left( { - 4, - 8,16} \right)\;\dot \eta \;\left( { - 4,8, - 16} \right)\;\dot \eta \;\left( {4, - 8, - 16} \right)$ που επαληθεύουν το σύστημα.

parmenides51 · #5

parmenides51 έγραψε:3. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και ημιευθεία $\displaystyle{Ax //B\Gamma}$ (η $\displaystyle{Ax}$ βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο με το σημείο $\displaystyle{\Gamma}$ ως προς την ευθεία $\displaystyle{AB}$ ). Στην ημιευθεία $\displaystyle{Ax}$ θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle{\Delta}$ και $\displaystyle{E}$ έτσι, ώστε το τετράπλευρο $\displaystyle{B\Gamma \Delta E}$ να είναι ρόμβος (το σημείο $\displaystyle{E}$ βρίσκεται ανάμεσα στο $\displaystyle{A}$ και στο $\displaystyle{\Delta}$ ). Στο σημείο $\displaystyle{\Delta}$ θεωρούμε την κάθετη ευθεία στη $\displaystyle{\Delta \Gamma}$ που τέμνει την προέκταση της πλευράς $\displaystyle{BA}$ στο $\displaystyle{Z}$ .
(α) Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο $\displaystyle{\Delta EZ}$ είναι ισόπλευρο.
(β) Να αποδειχθεί ότι το $\displaystyle{E}$ είναι έγκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{A\Gamma Z}$ .

εδώ και μεταμφιεσμένη εδώ

ΘΑΛΗΣ 2007 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 2007 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2007 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2007 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2007 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2007 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση