ΘΑΛΗΣ 2009 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Αν $\displaystyle{\nu}$ είναι φυσικός αριθμός διαφορετικός από το μηδέν , να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης:
$\displaystyle{A = 4\cdot (- 1)^{\nu} + 2\cdot \frac{ (- 1)^{2\nu+1}}{5}-7 \cdot \frac{ (- 1)^{3\nu}}{5}}$ .

2. O θετικός ακέραιος $\displaystyle{\alpha }$ είναι περιττός και όταν διαιρεθεί με το $\displaystyle{5}$ αφήνει υπόλοιπο $\displaystyle{2}$ . Να βρείτε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού $\displaystyle{\alpha }$ .

3. Δίνονται δυο ευθείες $\displaystyle{(\varepsilon _1) , (\varepsilon _2)}$ οι οποίες τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{A}$ . Η ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon _1)}$ διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει κλίση $\displaystyle{4}$ , ενώ η ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon _2)}$ είναι παράλληλη προς την ευθεία $\displaystyle{(\eta) : y= 2x}$ και διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{\Gamma(0,6)}$ .
(α) Να βρείτε τις εξισώσεις των παραπάνω ευθειών καθώς και το κοινό τους σημείο $\displaystyle{A}$ .
(β) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{OAB}$ , όπου $\displaystyle{O}$ είναι η αρχή του συστήματος ορθογωνίων αξόνων $\displaystyle{Oxy}$ , $\displaystyle{A}$ είναι το κοινό σημείο των ευθειών $\displaystyle{(\varepsilon _1) , (\varepsilon _2)}$ και $\displaystyle{ B}$ είναι το σημείο όπου η ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon _2)}$ τέμνει τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ .

4. Τρεις κύκλοι έχουν το ίδιο κέντρο $\displaystyle{O}$ και ακτίνες $\displaystyle{r_1 , r_2 , r_3}$ με $\displaystyle{0 < r_1 < r_2 < r_3}$ . Έστω $\displaystyle{\Delta_1}$ ο κυκλικός δακτύλιος που ορίζεται από τους κύκλους κέντρου $\displaystyle{O}$ με ακτίνες $\displaystyle{r_1 , r_2 }$ και $\displaystyle{\Delta_2}$ ο κυκλικός δακτύλιος που ορίζεται από τους κύκλους κέντρου $\displaystyle{O}$ με ακτίνες $\displaystyle{r_2 , r_3}$ . Αν είναι $\displaystyle{r_2 − r_1 = r_3 − r_2}$ και $\displaystyle{r_3 = 3 r_1}$ , να βρείτε το λόγο $\displaystyle{\frac{E(\Delta_1)}{E(\Delta_2)}}$ , όπου $\displaystyle{E(\Delta_1)}$ και $\displaystyle{E(\Delta_2)}$ είναι τα εμβαδά των κυκλικών δακτυλίων $\displaystyle{\Delta_1}$ και $\displaystyle{\Delta_2}$ , αντίστοιχα.

BAGGP93 · #2

Καλησπέρα

$\displaystyle{A=4\cdot (-1)^\nu+2\cdot \frac{(-1)^{2\nu+1}}{5}-7\cdot \frac{(-1)^{3\nu}}{5}=4\cdot (-1)^\nu-\frac{2}{5}-\frac{7}{5}\cdot (-1)^\nu=\frac{13}{5}\cdot (-1)^\nu-\frac{2}{5}}$

Για $\displaystyle{\nu}$ άρτιο έχουμε $\displaystyle{A=\frac{11}{5}}$ ενώ

για $\displaystyle{\nu}$ περιττό είναι $\displaystyle{A=-3}$

#3

parmenides51 έγραψε:2. O θετικός ακέραιος $\displaystyle{\alpha }$ είναι περιττός και όταν διαιρεθεί με το $\displaystyle{5}$ αφήνει υπόλοιπο $\displaystyle{2}$ . Να βρείτε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού $\displaystyle{\alpha }$ .

Έχουμε $\displaystyle{a=5k+2}$ , όπου ο

, είναι θετικός ακέραιος.

Αφού ο $\displaystyle{a}$ από την υπόθεση είναι περιττός, τότε προφανώς θα πρέπει και ο $\displaystyle{k}$ να είναι περιττός (αλλιώς εύκολα καταλήγουμε σε άτοπο). Άρα ο $\displaystyle{k}$ θα παίρνει την μορφή $\displaystyle{k=2m+1}$ , $\displaystyle{m\epsilon N}$ .

Tότε έχουμε: $\displaystyle{a=5(2m+1)+2=10m+7}$ . Όμως ο αριθμός $\displaystyle{10m}$ λήγει σε μηδέν και άρα ο $\displaystyle{10m+7}$ , θα λήγει σε

.

Δηλαδή ο

λήγει σε

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:3. Δίνονται δυο ευθείες $\displaystyle{(\varepsilon _1) , (\varepsilon _2)}$ οι οποίες τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{A}$ . Η ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon _1)}$ διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει κλίση $\displaystyle{4}$ , ενώ η ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon _2)}$ είναι παράλληλη προς την ευθεία $\displaystyle{(\eta) : y= 2x}$ και διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{\Gamma(0,6)}$ .
(α) Να βρείτε τις εξισώσεις των παραπάνω ευθειών καθώς και το κοινό τους σημείο $\displaystyle{A}$ .
(β) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{OAB}$ , όπου $\displaystyle{O}$ είναι η αρχή του συστήματος ορθογωνίων αξόνων $\displaystyle{Oxy}$ , $\displaystyle{A}$ είναι το κοινό σημείο των ευθειών $\displaystyle{(\varepsilon _1) , (\varepsilon _2)}$ και $\displaystyle{ B}$ είναι το σημείο όπου η ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon _2)}$ τέμνει τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ .

(α) Αφού η ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon _1)}$ διέρχεται από την αρχή των αξόνων θα είναι της μορφής $\displaystyle{y=\alpha_1 x}$ κι επειδή έχει κλίση $\displaystyle{4}$ θα ισχύει πως $\displaystyle{\alpha_1=4}$ , άρα η ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon _1)}$ θα έχει εξίσωση $\displaystyle{y=4 x}$ .
Έστω $\displaystyle{y=\alpha x+\beta}$ η εξίσωση της ευθείας $\displaystyle{(\varepsilon _2)}$ . Αφού είναι παράλληλη προς την ευθεία $\displaystyle{(\eta) : y= 2x}$ θα έχουν την ίδια κλίση, οπότε $\displaystyle{\alpha =2}$ , κι επειδή διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{\Gamma(0,6)}$ θα ισχύει πως $\displaystyle{\beta=6}$ (αφού η ευθεία $\displaystyle{y=\alpha x+\beta}$ διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{(0,\beta)}$ ), άρα η ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon _2)}$ θα έχει εξίσωση $\displaystyle{y=2 x+6}$ .

$\displaystyle{(\varepsilon _1)}$ : $\displaystyle{y=4 x}$
$\displaystyle{(\varepsilon _2)}$ : $\displaystyle{y=2 x+6}$

Για να βρούμε το σημείο τομής τους τις εξισώνουμε
$\displaystyle{2 x+6=4 x \Leftrightarrow 2 x-4 x =-6 \Leftrightarrow -2x=-6 \Leftrightarrow \frac{-2x}{-2}=\frac{-6}{-2}\Leftrightarrow x=3}$

για $\displaystyle{x=3}$ έχουμε πως $\displaystyle{y=4 x=4\cdot 3=12}$

άρα το σημείο τομής τους θα έχει συντεταγμένες $\displaystyle{A(x,y)=(3,12)}$

(β) Για να βρούμε το σημείο τομής με τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ αντικαθιστούμε $\displaystyle{y=0}$ .

$\displaystyle{(\varepsilon _2)}$ : $\displaystyle{y=2 x+6}$ για $\displaystyle{y=0}$ έχουμε $\displaystyle{0=2 x+6\Leftrightarrow -2x=6 \Leftrightarrow \frac{-2x}{-2}=\frac{6}{-2}\Leftrightarrow x=-3}$

Άρα $\displaystyle{B(x,y)=(-3,0)}$

Κάνουμε το παρακάτω σχήμα.

: 8alis 2009 3o g.png (12.75 KiB) Προβλήθηκε 1388 φορές

Έστω $\displaystyle{\Delta(3,0)}$ . Προφανώς το $\displaystyle{A\Delta }$ είναι ύψος του τριγώνου $\displaystyle{OAB}$ .

Το τρίγωνο $\displaystyle{OAB}$ θα έχει εμβαδόν $\displaystyle{E=\frac{\beta \cdot \upsilon }{2}=\frac{(OB) \cdot (A\Delta)}{2}=\frac{3\cdot 12}{2}=\frac{36}{2}=18}$ τ.μ.

parmenides51 · #5

parmenides51 έγραψε:2. O θετικός ακέραιος $\displaystyle{\alpha }$ είναι περιττός και όταν διαιρεθεί με το $\displaystyle{5}$ αφήνει υπόλοιπο $\displaystyle{2}$ . Να βρείτε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού $\displaystyle{\alpha }$ .

Αφού ο $\displaystyle{\alpha }$ όταν διαιρεθεί με το $\displaystyle{5}$ αφήνει υπόλοιπο $\displaystyle{2}$ , αν του αφαιρέσουμε $\displaystyle{2}$ τότε ο αριθμός $\displaystyle{\alpha-2}$ θα είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{5}$ οπότε το τελευταίο του ψηφίο του $\displaystyle{\alpha-2}$ θα είναι ή $\displaystyle{0}$ ή $\displaystyle{5}$ , οπότε αν του προσθέσουμε $\displaystyle{2}$ θα έχουμε τον αριθμό $\displaystyle{\alpha-2+2=\alpha }$ και θα έχει τελευταίο ψηφίο αντίστοιχα ή $\displaystyle{0+2=2}$ ή $\displaystyle{5+2=7}$ .
Αφού ο $\displaystyle{\alpha }$ είναι περιττός, τότε δεν μπορεί να λήγει σε $\displaystyle{2}$ , οπότε θα έχει τελευταίο ψηφίο το $\displaystyle{7}$ .

parmenides51 · #6

parmenides51 έγραψε:4. Τρεις κύκλοι έχουν το ίδιο κέντρο $\displaystyle{O}$ και ακτίνες $\displaystyle{r_1 , r_2 , r_3}$ με $\displaystyle{0 < r_1 < r_2 < r_3}$ . Έστω $\displaystyle{\Delta_1}$ ο κυκλικός δακτύλιος που ορίζεται από τους κύκλους κέντρου $\displaystyle{O}$ με ακτίνες $\displaystyle{r_1 , r_2 }$ και $\displaystyle{\Delta_2}$ ο κυκλικός δακτύλιος που ορίζεται από τους κύκλους κέντρου $\displaystyle{O}$ με ακτίνες $\displaystyle{r_2 , r_3}$ . Αν είναι $\displaystyle{r_2 − r_1 = r_3 − r_2}$ και $\displaystyle{r_3 = 3 r_1}$ , να βρείτε το λόγο $\displaystyle{\frac{E(\Delta_1)}{E(\Delta_2)}}$ , όπου $\displaystyle{E(\Delta_1)}$ και $\displaystyle{E(\Delta_2)}$ είναι τα εμβαδά των κυκλικών δακτυλίων $\displaystyle{\Delta_1}$ και $\displaystyle{\Delta_2}$ , αντίστοιχα.

Έστω $\displaystyle{r_2 − r_1 = r_3 − r_2=x}$
τότε $\displaystyle{r_2 − r_1=x\Leftrightarrow r_2 =r_1 +x}$
και $\displaystyle{r_3 − r_2=x \Rightarrow r_3 =r_2 +x=r_1 +x+x=r_1 +2x}$
αφού $\displaystyle{r_3 = 3 r_1}$ έχουμε πως $\displaystyle{r_1 +2x=3 r_1 \Leftrightarrow 2x=3 r_1- r_1\Leftrightarrow x= r_1}$
οπότε $\displaystyle{r_1=x}$ , $\displaystyle{r_2 =r_1 +x=x+x=2x}$
και $\displaystyle{r_3 =r_1 +2x=x+2x=3x}$ .

: 8alis 2009 4o g.png (26.79 KiB) Προβλήθηκε 1355 φορές

$\displaystyle{E(\Delta_1)}=E_{(O,2x)}-E_{(O,x)}=\pi(2x)^2-\pi x^2=\pi 2^2x^2-\pi x^2}$ \displaystyle{\displaystyle=4\pi x^2-\pi x^2=3\pi x^2}

\displaystyle{E(\Delta_2)}=E_{(O,3x)}-E_{(O,2x)}=\pi(3x)^2-\pi(2x)^2=\pi 3^2x^2\pi 2^2x^2}} $\displaystyle=9\pi x^2-4\pi x^2=5\pi x^2}$

άρα $\displaystyle{\frac{E(\Delta_1)}{E(\Delta_2)}=\frac{3\pi x^2}{5\pi x^2}=\frac{3}{5}}$

ΘΑΛΗΣ 2009 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 2009 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση