4η ΕMO 1987-1988 (Γ' Γυμνασίου)

parmenides51 · #1

1. α) Να γίνουν οι πράξεις $\displaystyle{\left(\alpha-\frac{4\alpha\beta}{\alpha+\beta}+\beta}\right):ς \left(\frac{\alpha}{\alpha+\beta}-\frac{\beta}{\beta-\alpha}-\frac{2\alpha\beta}{\alpha^2-\beta^2}}\right)}$ έτσι ώστε η παράσταση να πάρει την απλούστερη μορφή.
β) Να απλοποιήσετε την παράσταση $\displaystyle{\frac{2x^2-(3\alpha+\beta)x+\alpha^2+\alpha\beta}{2x^2-(\alpha+3\beta)x+\alpha\beta+\beta^2}}$

2. Να φέρετε το μικρότερο αριθμό ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέουν σημεία του σχήματος έτσι, ώστε το νέο σχήμα που θα προκύψει να έχει ακριβώς:
α) έναν άξονα συμμετρίας
β) δυο άξονες συμμετρίας
γ) τέσσερις άξονες συμμετρίας.
Να γίνει ξεχωριστό σχήμα σε κάθε περίπτωση.

: 4i emo 1997-88 gg.PNG (5.07 KiB) Προβλήθηκε 1056 φορές

3. Θεωρούμε τα πολυώνυμα : $\displaystyle{P(x)=x^4-3x^3+x-3,\,\,\,\,Q(x)=x^2-2x-3 \,\,\,\, R(x)=-x^2-5x+\alpha}$
α) Να ορίσετε το $\displaystyle{\alpha}$ έτσι ώστε το πολυώνυμο $\displaystyle{R(x)}$ να διαιρείται από το $\displaystyle{x-2}$
β) Να αναλύσετε σε γινόμενα παραγόντων τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x),Q(x),R(x)}$
γ) Να δείξετε ότι η παράσταση $\displaystyle{-x^2+x+\frac{P(x)}{Q(x)}+15}$ είναι τέλειο τετράγωνο

4. α) Αν $\displaystyle{\beta^2+\gamma^2=\alpha^2, \,\,\,\, \beta\ne \pm \gamma}$ να υπολογίσετε την παράσταση $\displaystyle{\frac{\beta^3+\gamma^3}{\beta+\gamma}+\frac{\beta^3-\gamma^3}{\beta-\gamma}}$ .
β) Αν $\displaystyle{\alpha+\frac{1}{\alpha}=\kappa, \alpha\ne 0}$ να βρεθεί η παράσταση $\displaystyle{\alpha^4+\frac{1}{\alpha^4}}$ σαν έκφραση του $\displaystyle{\kappa}$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:4. α) Αν $\displaystyle{\beta^2+\gamma^2=\alpha^2, \,\,\,\, \beta\ne \pm \gamma}$ να υπολογίσετε την παράσταση $\displaystyle{\frac{\beta^3+\gamma^3}{\beta+\gamma}+\frac{\beta^3-\gamma^3}{\beta-\gamma}}$ .
β) Αν $\displaystyle{\alpha+\frac{1}{\alpha}=\kappa, \alpha\ne 0}$ να βρεθεί η παράσταση $\displaystyle{\alpha^4+\frac{1}{\alpha^4}}$ σαν έκφραση του $\displaystyle{\kappa}$ .

α) εδώ

#3

3. Θεωρούμε τα πολυώνυμα : $\displaystyle{P(x)=x^4-3x^3+x-3,\,\,\,\,Q(x)=x^2-2x-3 \,\,\,\, R(x)=-x^2-5x+\alpha}$
α) Να ορίσετε το $\displaystyle{\alpha}$ έτσι ώστε το πολυώνυμο $\displaystyle{R(x)}$ να διαιρείται από το $\displaystyle{x-2}$
β) Να αναλύσετε σε γινόμενα παραγόντων τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x),Q(x),R(x)}$
γ) Να δείξετε ότι η παράσταση $\displaystyle{-x^2+x+\frac{P(x)}{Q(x)}+15}$ είναι τέλειο τετράγωνο

viewtopic.php?f=109&t=15584&start=600
το θέμα 266

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:1. α) Να γίνουν οι πράξεις $\displaystyle{\left(\alpha-\frac{4\alpha\beta}{\alpha+\beta}+\beta}\right):ς \left(\frac{\alpha}{\alpha+\beta}-\frac{\beta}{\beta-\alpha}-\frac{2\alpha\beta}{\alpha^2-\beta^2}}\right)}$ έτσι ώστε η παράσταση να πάρει την απλούστερη μορφή.
β) Να απλοποιήσετε την παράσταση $\displaystyle{\frac{2x^2-(3\alpha+\beta)x+\alpha^2+\alpha\beta}{2x^2-(\alpha+3\beta)x+\alpha\beta+\beta^2}}$

α) $\displaystyle{\left(\alpha-\frac{4\alpha\beta}{\alpha+\beta}+\beta}\right): \left(\frac{\alpha}{\alpha+\beta}-\frac{\beta}{\beta-\alpha}-\frac{2\alpha\beta}{\alpha^2-\beta^2}}\right)}$

$\displaystyle{=\left(\frac{\alpha(\alpha+\beta)}{\alpha+\beta}-\frac{4\alpha\beta}{\alpha+\beta}+\frac{\beta(\alpha+\beta)}{\alpha+\beta}}\right): \left(\frac{\alpha}{\alpha+\beta}+\frac{\beta}{\alpha-\beta}-\frac{2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)}}\right)}$

$\displaystyle{=\left(\frac{\alpha^2+\alpha\beta)}{\alpha+\beta}-\frac{4\alpha\beta}{\alpha+\beta}+\frac{\alpha\beta+\beta^2}{\alpha+\beta}}\right):\left(\frac{\alpha(\alpha-\beta)}{(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)}+\frac{\beta(\alpha+\beta)}{(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)}-\frac{2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)}}\right)}$

$\displaystyle{=\frac{\alpha^2+\alpha\beta-4\alpha\beta+\alpha\beta+\beta^2}{\alpha+\beta}}:\left(\frac{\alpha^2-\alpha\beta}{(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)}+\frac{\alpha\beta+\beta^2}{(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)}-\frac{2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)}}\right)}$

$\displaystyle{=\frac{\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta}{\alpha+\beta}}:\frac{\alpha^2-\alpha\beta+\alpha\beta+\beta^2-2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)}}}$

$\displaystyle{=\frac{(\alpha-\beta)^2}{\alpha+\beta}}:\frac{\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)}}}$

$\displaystyle{=\frac{(\alpha-\beta)^2}{\alpha+\beta}}:\frac{(\alpha-\beta)^2}{(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)}}}$

$\displaystyle{=\frac{(\alpha-\beta)^2}{\alpha+\beta}}:\frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta}}}$

$\displaystyle{=\frac{(\alpha-\beta)^2}{\alpha+\beta}}\cdot\frac{\alpha+\beta}{\alpha-\beta}}}$

$\displaystyle{=\frac{(\alpha-\beta)^2(\alpha+\beta)}{(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)}}}$

$\displaystyle{=\alpha-\beta}$

β) $\displaystyle{\frac{2x^2-(3\alpha+\beta)x+\alpha^2+\alpha\beta}{2x^2-(\alpha+3\beta)x+\alpha\beta+\beta^2}}$

$\displaystyle{=\frac{x^2-2\alpha x+\alpha^2+x^2-(\alpha+\beta) x+\alpha\beta}{x^2-2\betax+\beta^2+x^2-(\alpha+\beta) x+\alpha\beta}}$

$\displaystyle{=\frac{(x-\alpha)^2+(x-\alpha)(x-\beta)}{(x-\beta)^2+(x-\alpha)(x-\beta)}}$

$\displaystyle{=\frac{(x-\alpha)(x-\alpha)+(x-\alpha)(x-\beta)}{(x-\beta)(x-\beta)+(x-\alpha)(x-\beta)}}$

$\displaystyle{=\frac{(x-\alpha)(x-\alpha+x-\beta)}{(x-\beta)(x-\beta+x-\alpha)}}$

$\displaystyle{=\frac{(x-\alpha)(2x-\alpha-\beta)}{(x-\beta)(2x-\alpha-\beta)}}$

$\displaystyle{=\frac{x-\alpha}{x-\beta}}$

Υ.Γ.1. Καλύτερα να μην παραπέμπουμε σε θέματα που παραμένουν άλυτα, δεν προσφέρει κάτι.
Υ.Γ.2. Αν ο καθένας μας έλυνε μια τουλάχιστον άσκηση που του φαντάζει πολύ εύκολη για να ασχοληθεί, ο κόσμος του

θα ήταν πολύ πιο όμορφος .

parmenides51 · #5

parmenides51 έγραψε:4. α) Αν $\displaystyle{\beta^2+\gamma^2=\alpha^2, \,\,\,\, \beta\ne \pm \gamma}$ να υπολογίσετε την παράσταση $\displaystyle{\frac{\beta^3+\gamma^3}{\beta+\gamma}+\frac{\beta^3-\gamma^3}{\beta-\gamma}}$ .
β) Αν $\displaystyle{\alpha+\frac{1}{\alpha}=\kappa, \alpha\ne 0}$ να βρεθεί η παράσταση $\displaystyle{\alpha^4+\frac{1}{\alpha^4}}$ σαν έκφραση του $\displaystyle{\kappa}$ .

β) $\displaystyle{\,\,\, \alpha+\frac{1}{\alpha}=\kappa \Rightarrow \left(\alpha+\frac{1}{\alpha}\right)^2=\kappa^2 \Rightarrow \alpha^2+2\alpha\frac{1}{\alpha}+\frac{1^2}{\alpha^2}=\kappa^2}$

$\displaystyle{\Rightarrow \alpha^2+2+\frac{1}{\alpha^2}=\kappa^2 \Rightarrow \alpha^2+\frac{1}{\alpha^2} = \kappa^2-2 \Rightarrow \left(\alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}\right)^2 = (\kappa^2-2)^2}$

$\displaystyle{\Rightarrow (\alpha^2)^2+2\alpha^2\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1^2}{ (\alpha^2)^2} = (\kappa^2)^2-2\kappa 2+2^2 \Rightarrow \alpha^4+2+\frac{1}{ \alpha^4} = \kappa^4-4\kappa +4 }$

$\displaystyle{\Rightarrow \alpha^4+\frac{1}{ \alpha^4} = \kappa^4-4\kappa +4-2=\kappa^4-4\kappa +2 }$

parmenides51 · #6

parmenides51 έγραψε:3. Θεωρούμε τα πολυώνυμα : $\displaystyle{P(x)=x^4-3x^3+x-3,\,\,\,\,Q(x)=x^2-2x-3 \,\,\,\, R(x)=-x^2-5x+\alpha}$
α) Να ορίσετε το $\displaystyle{\alpha}$ έτσι ώστε το πολυώνυμο $\displaystyle{R(x)}$ να διαιρείται από το $\displaystyle{x-2}$
β) Να αναλύσετε σε γινόμενα παραγόντων τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x),Q(x),R(x)}$
γ) Να δείξετε ότι η παράσταση $\displaystyle{-x^2+x+\frac{P(x)}{Q(x)}+15}$ είναι τέλειο τετράγωνο

εδώ

parmenides51 · #7

parmenides51 έγραψε:2. Να φέρετε το μικρότερο αριθμό ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέουν σημεία του σχήματος έτσι, ώστε το νέο σχήμα που θα προκύψει να έχει ακριβώς:
α) έναν άξονα συμμετρίας
β) δυο άξονες συμμετρίας
γ) τέσσερις άξονες συμμετρίας.
Να γίνει ξεχωριστό σχήμα σε κάθε περίπτωση.

4i emo 1997-88 gg.PNG (5.07 KiB) Προβλήθηκε 844 φορές

Ορίστε το σχήμα για όποιον το χρειάζεται για να ασχοληθεί μαζί της

: 4i emo 1997-88 gg sxima.PNG (2.85 KiB) Προβλήθηκε 844 φορές

και σε αρχείο geogebra

parmenides51 · #8

parmenides51 έγραψε:2. Να φέρετε το μικρότερο αριθμό ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέουν σημεία του σχήματος έτσι, ώστε το νέο σχήμα που θα προκύψει να έχει ακριβώς:
α) έναν άξονα συμμετρίας
β) δυο άξονες συμμετρίας
γ) τέσσερις άξονες συμμετρίας.
Να γίνει ξεχωριστό σχήμα σε κάθε περίπτωση.

4i emo 1997-88 gg.PNG (5.07 KiB) Προβλήθηκε 841 φορές

Παρακάτω είναι οι απαντήσεις μου αλλά χωρίς αιτιολόγηση.

Για ένα άξονα συμμετρίας φέρνω το $\displaystyle{1}$ τμήμα $\displaystyle{EZ}$ και ο άξονας συμμετρίας είναι η ευθεία $\displaystyle{\Gamma H}$ .

: 4i emo 1997-88 gg 1 axonas.png (3.93 KiB) Προβλήθηκε 841 φορές

Για δυο άξονες συμμετρίας φέρνω τα $\displaystyle{2}$ τμήματα $\displaystyle{EZ,EH}$ και οι άξονες συμμετρίας είναι οι ευθείες $\displaystyle{\Gamma H,AI}$ .

: 4i emo 1997-88 gg 2 axones.png (5.29 KiB) Προβλήθηκε 841 φορές

Για τέσσερις άξονες συμμετρίας φέρνω τα $\displaystyle{3}$ τμήματα $\displaystyle{EZ,EH,AI}$ και οι άξονες συμμετρίας είναι οι ευθείες $\displaystyle{\Gamma H,AI,B\Theta,\Delta Z}$ .

: 4i emo 1997-88 gg 4 axones.png (7.08 KiB) Προβλήθηκε 841 φορές

Πιστεύω πως αυτός είναι ο μικρότερος αριθμός ευθυγράμμων τμημάτων.

4η ΕMO 1987-1988 (Γ' Γυμνασίου)

4η ΕMO 1987-1988 (Γ' Γυμνασίου)

Re: 4η ΕMO 1987-1988 (Γ' Γυμνασίου)

Re: 4η ΕMO 1987-1988 (Γ' Γυμνασίου)

Re: 4η ΕMO 1987-1988 (Γ' Γυμνασίου)

Re: 4η ΕMO 1987-1988 (Γ' Γυμνασίου)

Re: 4η ΕMO 1987-1988 (Γ' Γυμνασίου)

Re: 4η ΕMO 1987-1988 (Γ' Γυμνασίου)

Re: 4η ΕMO 1987-1988 (Γ' Γυμνασίου)

Μέλη σε σύνδεση