3η ΕMO 1986-1987 (Α' Λυκείου)

parmenides51 · #1

1. Είναι γνωστό ότι οι διαγώνιες του τετραγώνου, όπως και του κανονικού πενταγώνου είναι ίσες. Να βρείτε το μεγαλύτερο φυσικό αριθμό $\displaystyle{\nu}$ , για τον οποίο ένα κυρτό $\displaystyle{\nu}$ -γωνο έχει όλες τις διαγώνιες ίσες.

2. Να δείξετε ότι η παράσταση $\displaystyle{A=\frac{25}{2}(\nu+2-\sqrt{2\nu+3})}$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου αριθμού, αν η παράσταση $\displaystyle{A}$ είναι ακέραιος αριθμός ( $\displaystyle{\nu\in\mathbb{N}}$ ).

3. Να δείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό $\displaystyle{\alpha}$ η παράσταση $\displaystyle{A=(\alpha-1)(\alpha-3)(\alpha-4)(\alpha-6)+10}$ είναι πάντα θετική. Ποιά είναι η μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση $\displaystyle{A}$ και για ποίες τιμές του $\displaystyle{\alpha}$ ;

4. Θεωρούμε ένα κυρτό $\displaystyle{100}$ -γωνο $\displaystyle{A_1A_2...A_{100}}$ . Φέρνουμε τη διαγώνιο $\displaystyle{A_{43}A_{81}}$ που το χωρίζει σε δυο κυρτά πολύγωνα $\displaystyle{\Pi_1,\Pi_2}$ .
Πόσες κορυφές και πόσες διαγώνιες έχει καθένα από τα $\displaystyle{\Pi_1,\Pi_2}$ ;

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:2. Να δείξετε ότι η παράσταση $\displaystyle{A=\frac{25}{2}(\nu+2-\sqrt{2\nu+3})}$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου αριθμού, αν η παράσταση $\displaystyle{A}$ είναι ακέραιος αριθμός ( $\displaystyle{\nu\in\mathbb{N}}$ ).

εδώ, εδώ, εδώ κι εδώ

#3

parmenides51 έγραψε:
3. Να δείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό $\displaystyle{\alpha}$ η παράσταση $\displaystyle{A=(\alpha-1)(\alpha-3)(\alpha-4)(\alpha-6)+10}$ είναι πάντα θετική. Ποιά είναι η μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση $\displaystyle{A}$ και για ποίες τιμές του $\displaystyle{\alpha}$ ;

Οι 1. και 4. προφανώς μπήκαν για "να γράψουν όλοι". Αλλιώς δεν καταλαβαίνω γιατί να μπουν σε τέτοιο διαγωνισμό τόσο τετριμμένες ασκήσεις. Απλά έχουν "πολλά λόγια" αλλά ουσία ελάχιστη.

Γράφω λύση της 3.

Παίρνοντας τον πρώτο και το τέταρτο παράγοντα μαζί, και μετά τον δεύτερο και τον τρίτο είναι εύκολο να δούμε ότι
$\displaystyle{(\alpha-1)(\alpha-3)(\alpha-4)(\alpha-6)+10= ( \alpha ^2-7\alpha+9)^2+1 }$ .

Άρα η παράσταση είναι πάντα $\ge 1$ με ισότητα όταν $\displaystyle{\alpha ^2-7\alpha+9=0}$ , δηλαδή $\displaystyle{\alpha =\frac {1}{2}(7\pm \sqrt {13})}$ .

Φιλικά,

Μ.

#4

parmenides51 έγραψε:4. Θεωρούμε ένα κυρτό $\displaystyle{100}$ -γωνο $\displaystyle{A_1A_2...A_{100}}$ . Φέρνουμε τη διαγώνιο $\displaystyle{A_{43}A_{81}}$ που το χωρίζει σε δυο κυρτά πολύγωνα $\displaystyle{\Pi_1,\Pi_2}$ .
Πόσες κορυφές και πόσες διαγώνιες έχει καθένα από τα $\displaystyle{\Pi_1,\Pi_2}$ ;

Ας ονομάσουμε $\displaystyle{\Pi_1}$ το πολύγωνο $\displaystyle{A_1 A_2 ...A_{43}A_{81}A_{82}...A_{100}}$ και $\displaystyle{\Pi_2}$ το πολύγωνο $\displaystyle{A_{43}A_{44}...A_{81}}$

Tο $\displaystyle{\Pi_1}$ , από την κορυφή $\displaystyle{A_1}$ , μέχρι την $\displaystyle{A_{43}}$ , έχει $\displaystyle{43}$ κορυφές και από την κορυφή $\displaystyle{A_{81}}$ μέχρι την $\displaystyle{A_{100}}$ , έχει $\displaystyle{100-81+1=20}$ κορυφές. Συνεπώς συνολικά οι κορυφές του είναι $\displaystyle{43+20=63}$

Γνωρίζουμε επίσης ότι ένα κυρτό πολύγωνο με $\displaystyle{n}$ κορυφές, έχει $\displaystyle{\frac{n(n-3}{2}}$ διαγωνίους.

Άρα το $\displaystyle{\Pi_1}$ , έχει $\displaystyle{\frac{63(63-3)}{2}=1890}$ διαγωνίους.

Το $\displaystyle{\Pi_2}$ , από τηνξ κορυφή $\displaystyle{A_{43}}$ μέχρι την $\displaystyle{A_{81}}$ , έχει $\displaystyle{81-43+1=39}$ κορυφές και

$\displaystyle{\frac{39.(39-3)}{2}=702}$ διαγωνίους.

#5

parmenides51 έγραψε:1. Είναι γνωστό ότι οι διαγώνιες του τετραγώνου, όπως και του κανονικού πενταγώνου είναι ίσες. Να βρείτε το μεγαλύτερο φυσικό αριθμό $\displaystyle{\nu}$ , για τον οποίο ένα κυρτό $\displaystyle{\nu}$ -γωνο έχει όλες τις διαγώνιες ίσες.

Ας θεωρήσουμε πρώτα ένα εξάγωνο $\displaystyle{A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6}$ , το οποίο έχει όλες τις διαγωνίους του ίσες. Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα π.χ $\displaystyle{A_1 A_2 A_4}$ και $\displaystyle{A_1 A_2 A_5}$ , είναι ίσα ισοσκελή τρίγωνα και άρα οι κορυφές $\displaystyle{A_4}$ και $\displaystyle{A_5}$ , θα βρίσκονται στην μεσοκάθετο του A_1 A_2

, που όμως αυτό σημαίνει ότι ταυτίζονται και άρα δεν μπορεί ένα εξάγωνο να έχει ίσες όλες τις διαγωνίους του.
Με τον ίδιο τρόπο, θεωρώντας ένα

γωνο

, με ίσες τις διαγωνίους του, παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα $A_1 A_2 A_4 , A_1 A_2 A_5 ,..., A_1 A_2 A_{n-1}$ είναι (ίσα) ισοσκελή.
Άρα οι κορυφές του $A_4 , A_5 ,..., A_{n-1}$ θα βρίσκονται στην μεσοκάθετο του A_1 A_2

και άρα ταυτίζονται. Συνεπώς δεν μπορεί ούτε το

γωνο να έχει ίσες όλες τις διαγωνίους του, (όταν n>5

.)
Συνεπώς το πεντάγωνο είναι το ζητούμενο πολύγωνο.

parmenides51 · #6

parmenides51 έγραψε:1. Είναι γνωστό ότι οι διαγώνιες του τετραγώνου, όπως και του κανονικού πενταγώνου είναι ίσες. Να βρείτε το μεγαλύτερο φυσικό αριθμό $\displaystyle{\nu}$ , για τον οποίο ένα κυρτό $\displaystyle{\nu}$ -γωνο έχει όλες τις διαγώνιες ίσες.

: 3i emo 1996-87 al.PNG (33.05 KiB) Προβλήθηκε 877 φορές

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: Ας θεωρήσουμε πρώτα ένα εξάγωνο $\displaystyle{A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6}$ , το οποίο έχει όλες τις διαγωνίους του ίσες. Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα π.χ $\displaystyle{A_1 A_2 A_4}$ και $\displaystyle{A_1 A_2 A_5}$ , είναι ίσα ισοσκελή τρίγωνα και άρα οι κορυφές $\displaystyle{A_4}$ και $\displaystyle{A_5}$ , θα βρίσκονται στην μεσοκάθετο του , που όμως αυτό σημαίνει ότι ταυτίζονται και άρα δεν μπορεί ένα εξάγωνο να έχει ίσες όλες τις διαγωνίους του.
Με τον ίδιο τρόπο, θεωρώντας ένα γωνο , με ίσες τις διαγωνίους του, παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα $A_1 A_2 A_4 , A_1 A_2 A_5 ,..., A_1 A_2 A_{n-1}$ είναι (ίσα) ισοσκελή.
Άρα οι κορυφές του $A_4 , A_5 ,..., A_{n-1}$ θα βρίσκονται στην μεσοκάθετο του και άρα ταυτίζονται. Συνεπώς δεν μπορεί ούτε το γωνο να έχει ίσες όλες τις διαγωνίους του, (όταν .)
Συνεπώς το πεντάγωνο είναι το ζητούμενο πολύγωνο.

3η ΕMO 1986-1987 (Α' Λυκείου)

3η ΕMO 1986-1987 (Α' Λυκείου)

Re: 3η ΕMO 1986-1987 (Α' Λυκείου)

Re: 3η ΕMO 1986-1987 (Α' Λυκείου)

Re: 3η ΕMO 1986-1987 (Α' Λυκείου)

Re: 3η ΕMO 1986-1987 (Α' Λυκείου)

Re: 3η ΕMO 1986-1987 (Α' Λυκείου)

Μέλη σε σύνδεση