Εξίσωση

#1

Να λυθεί στο $\mathbb{N}^{*}$ η εξίσωση $[\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]+...+[\sqrt{n^2+2n}]=3723$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Χρηστος · #2

ν=17

#3

socrates έγραψε:Να λυθεί στο $\matbb{N^*}$ η εξίσωση $[\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]+...+[\sqrt{n^2+2n}]=3723$ .

Από τις ανισότητες

$n = \sqrt{n^2 } < \sqrt{n^2 + 1} < \sqrt{n^2 + 2} < ... < \sqrt{n^2 + 2n} < n+1$

συμπεραίνουμε ότι οι 2n+1 το πλήθος όροι μεταξύ των δύο ακριανών έχουν έκαστος ακέραιο μέρος ίσο με n. Άρα η συνολική τους συνεισφορά στο άθροιμα είναι

$[\sqrt{n^2}] + [\sqrt{n^2 + 1}] + [\sqrt{n^2 + 2}] + ... + [\sqrt{n^2 + 2n}] = n.(2n+1)$ .

Έτσι η σχέση γράφεται (2.1^2+1) + (2.2^2+2) + ... + (2.n^2 + n) = 3723

δηλαδή
$2.\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + \frac{1}{2}n(n+1) = 3723$ .

Εύκολα βλέπουμε ότι το n = 17 που δόθηκε από τον Χρήστο στο αμέσως προηγούμενο μήνυμα την επαληθεύει (και μάλιστα είναι η μοναδική λύση γιατί η παράσταση είναι γνήσια αύξουσα ως προς n).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση