Τριχοτόμηση πλευράς

hlkampel · #1

Αν δεν έχει συζητηθεί....

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC

και με διάμετρο

γράφουμε ημικύκλιο εξωτερικά του τριγώνου.

Αν $D,\ E$ είναι σημεία του ημικυκλίου που το χωρίζουν σε τρία ίσα τόξα, να αποδείξετε ότι οι

και

χωρίζουν την

σε τρία ίσα τμήματα.

#2

hlkampel έγραψε:Αν δεν έχει συζητηθεί....

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο και με διάμετρο γράφουμε ημικύκλιο εξωτερικά του τριγώνου.

Αν $D,\ E$ είναι σημεία του ημικυκλίου που το χωρίζουν σε τρία ίσα τόξα, να αποδείξετε ότι οι και χωρίζουν την σε τρία ίσα τμήματα.

: 1.png (26.19 KiB) Προβλήθηκε 375 φορές

Προφανώς είναι $\displaystyle{ \vartriangle ABD = \vartriangle ACE }$ αφού $\displaystyle{ \left( {AB = AC = a,\angle ABD = \angle ACE = 120^0 ,BD = CE = \frac{a} {2}} \right) }$ .

Άρα $\displaystyle{ AH = AZ\mathop \Rightarrow \limits^{AB = AC,\angle ABH = \angle ACZ = 60^0 } \vartriangle ABH = AZC }$ $\displaystyle{ \Rightarrow \boxed{BH = ZC}:\left( 1 \right) }$ . Αν $\displaystyle{ AO \bot BC\mathop \Rightarrow \limits^{\vartriangle ABC\,\,\iota \sigma o\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho o} O }$ το μέσο της $\displaystyle{ BC \Rightarrow \boxed{OB = \frac{{BC}} {2}}:\left( 2 \right) }$

Από $\displaystyle{ \angle ABO = \angle BOD = 60^0 \mathop \Rightarrow \limits^{\varepsilon \nu \tau o\varsigma \,\,\varepsilon \nu \alpha \lambda \lambda \alpha \xi } AB\parallel OD \Rightarrow }$ $\displaystyle{ \vartriangle ABH \sim \vartriangle DOH \Rightarrow \frac{{BH}} {{HO}} = \frac{{AB}} {{DO}} = \frac{a} {{\frac{a} {2}}} = 2 \Rightarrow }$

$\displaystyle{ BH = 2HO \Rightarrow BH = 2\left( {OB - BH} \right) \Rightarrow }$ $\displaystyle{ BH = 2OB - 2BH \Rightarrow 3BH = 2OB = BC \Rightarrow }$ $\displaystyle{ BH = \frac{{BC}} {3}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \boxed{BH = ZC = HZ = \frac{{BC}} {3}} }$

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

#3

Αν και νομίζω ότι είναι υπερβολικό να τη λύσουμε με Αναλυτική Γεωμετρία, εντούτοις γίνεται...

: 11-11-2012 Γεωμετρία.jpg (17.48 KiB) Προβλήθηκε 340 φορές

Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο το μέσο

της

και τα σημεία $\displaystyle {\rm A}\left( {0,\;\sqrt 3 } \right),\;{\rm B}\left( { - 1,\;0} \right),\;C\left( {1,\;0} \right)$ που είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου με πλευρά

και τα σημεία $\displaystyle D\left( { - \frac{1}{2},\; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right),\;E\left( {\frac{1}{2},\; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ που είναι κορυφές κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμένου στον κύκλο O, 1

,

οπότε $\displaystyle \mathop {BD}\limits^ \cap = \mathop {DE}\limits^ \cap = \mathop {EC}\limits^ \cap$

Τότε η

έχει εξίσωση $\displaystyle y = 3\sqrt 3 x + \sqrt 3$ και τέμνει τον άξονα x'x

στο $\displaystyle H\left( { - \frac{1}{3},\;0} \right)$ ,

Η η

έχει εξίσωση $\displaystyle y = - 3\sqrt 3 x + \sqrt 3$ και τέμνει τον άξονα x'x

στο $\displaystyle Z\left( {\frac{1}{3},\;0} \right)$

Οπότε $\displaystyle \left( {BH} \right) = \left( {HZ} \right) = \left( {ZC} \right) = \frac{2}{3}$ .

KARKAR · #4

Κι άλλες λύσεις εδώ

S.E.Louridas · #5

Άλλη μία για την παρέα από το συνέδριο που πέρασε και τον (δείτε πάνω ακριβώς) Άριστο συνάδελφο που έδωσε την παραπομπή για άλλες λύσεις της άσκησης που θα μας «ανεχθεί» στο συνέδριο που έρχεται στην όμορφη Καρδίτσα.

Χρησιμοποιώ το σχήμα του Στάθη.
BH=ZC

, λόγω προφανούς συμμετρίας. Επομένως έχουμε
$BA = BC = 2CE \Rightarrow BZ = 2ZC \Rightarrow BH = HZ = ZC = \frac{{BC}} {3}.$

Τριχοτόμηση πλευράς

Τριχοτόμηση πλευράς

Re: Τριχοτόμηση πλευράς

Re: Τριχοτόμηση πλευράς

Re: Τριχοτόμηση πλευράς

Re: Τριχοτόμηση πλευράς

Μέλη σε σύνδεση