oρισμένο ολοκλήρωμα

tolis riza · #1

Έστω

συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [0,1]

και

Να αποδειχθεί ότι : $\exists \xi \in [0,1]:\int_0^1 {{\mathop{\rm f}\nolimits} (t)dt = -12 f''(\xi )}$

Edit: Έγινε αλλαγή προσήμου στο $f''(\xi )$ από $-f''(\xi )$ που ήταν αρχικά.

Edit: Έγινε νέα αλλαγή. Τώρα γράφτηκε $-12f''(\xi )$ .

#2

Κάτι δεν πάει καλά ή κουτουλάω από την κούραση.

Η f(x)=x-x^2

ικανοποιεί f(0)=f(1)=0

. Είναι $\displaystyle{\int _0^1f(x)\, dx = \left [\frac {1}{2}x^2-\frac {1}{3}x^3 \right ]_0^1= \frac {1}{6}}$ . Όμως f''(x) = -2

(σταθερή) , οπότε δεν ισχύει η ζητούμενη ισότητα.

Φιλικά,

Μιχάλης

tolis riza · #3

Σωστά , έγινε κάποιο λάθος σε ένα πρόσημο (ευχαριστώ). Έγινε η διόρθωση.

#4

tolis riza έγραψε:Έστω συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο και
Να αποδειχθεί ότι : $\exists \xi \in [0,1]:\int_0^1 {{\mathop{\rm f}\nolimits} (t)dt = f''(\xi )}$

Καλησπέρα. Δε βλέπω τι άλλαξε στο πρόβλημα αφού το αντιπαράδειγμα του Μιχάλη εξακολουθεί να ισχύει.

tolis riza · #5

Ξαναδιορθώνω , νομίζω τώρα είναι ο.κ. (συγνώμη για τους λάθος υπολογισμούς), νομίζω όμως
αξίζει τον κόπο.

#6

tolis riza έγραψε:Έστω συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο και
Να αποδειχθεί ότι : $\exists \xi \in [0,1]:\int_0^1 {{\mathop{\rm f}\nolimits} (t)dt = -12 f''(\xi )}$

Edit: Έγινε αλλαγή προσήμου στο $f''(\xi )$ από $-f''(\xi )$ που ήταν αρχικά.

Παρεμβαίνω ξανά γιατί και πάλι το αντιπαράδειγμα του Μιχάλη εξακολουθεί να ισχύει!
Να βάλουμε $\displaystyle{-\frac{1}{12}}$ για να είμαστε σύμφωνοι, τουλάχιστον με το αντιπαράδειγμα;

tolis riza · #7

Έχετε

δίκιο (της νύχτας τα καμώματα..), διορθώνω και δίνω τη λύση.
Έστω $\int_0^1 {{\mathop{\rm f}\nolimits} (t)dt = c}$ . Θεωρώ τη συνάρτηση:

${\mathop{\rm h}\nolimits} (x) = {\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - 6cx + 6cx^2$
και έχω
$\int_0^1 {{\mathop{\rm h}\nolimits} (t)dt = c - 3c + 2c = 0}$ .

Άρα υπάρχει $x_o \in (0,1)\mathop {}\limits^{} :\mathop {}\limits^{} {\mathop{\rm h}\nolimits} (x_o ) = 0$

Οπότε ${\mathop{\rm h}\nolimits} (0) = {\mathop{\rm h}\nolimits} (x_o ) = {\mathop{\rm h}\nolimits} (1)$

και επομένως υπάρχει $\xi \in (0,1)\mathop {}\limits^{} :\mathop {}\limits^{} h''(\xi ) = 0$
και άρα $f''(\xi ) = - 12c$

#8

tolis riza έγραψε: διορθώνω και δίνω τη λύση.

Με άλλα λόγια μας έδωσες την λύση χωρίς να μας πεις την ερώτηση.

Άσε που έκανες δύο λάθος αλλαγές στην αρχική ερώτηση.

Αυτό από μόνο του δεν είναι μεμπτό. Αυτό ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΜΕΜΠΤΟ είναι ότι δεν δήλωσες οτι έκανες αλλαγή, με αποτέλεσμα να ταλαιπωρείς τον κόσμο.

Για να καταλάβουν και οι υπόλοιποι, οι δύο Edit που είναι σημειωμένες με κόκκινο στο αρχικό μήνυμα, μπήκαν από τους Γενικούς Συντονιστές μετά που έγινε η εκάστοτε αλλαγή. Θα νόμιζε κανείς ότι την πρώτη φορά που μπήκε το Edit θα ήταν μήνυμα στον θεματοθέτη να ενεργεί με μεγαλύτερη μέριμνα όσον αφορά τις αλλαγές. Ατύχησαν.

Παρακαλώ να υιοθετούμε ΠΑΝΤΑ την πρακτική να δηλώνουμε τις κατοπινές μας αλλαγές στα ερωτήματα.

oρισμένο ολοκλήρωμα

oρισμένο ολοκλήρωμα

Re: oρισμένο ολοκλήρωμα

Re: oρισμένο ολοκλήρωμα

Re: oρισμένο ολοκλήρωμα

Re: oρισμένο ολοκλήρωμα

Re: oρισμένο ολοκλήρωμα

Re: oρισμένο ολοκλήρωμα

Re: oρισμένο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση