Συναρτησιακή με συνεχή

#1

Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f:\Bbb{R} \to \Bbb{R}}$ για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{f=f \circ g}$ , όπου $\displaystyle{g:\Bbb{R} \to \Bbb{R}}$ είναι συνεχής, 1-1 και τέτοια ώστε το πλήθος των σταθερών σημείων

της $\displaystyle{g \circ g}$ να είναι πεπερασμένο.

Προσθήκη: Δεν το έγραψα εξ αρχής γιατί το θεωρούσα μάλλον αυτονόητο. Όμως καλόν είναι τα πράγματα να παρουσιάζονται με σαφήνεια:

Το αναφερόμενο σύνολο σταθερών σημείων είναι μη κενό.

Bern · #2

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\tau=g\circ g$ . Αυτή είναι γνησίως αύξουσα με πεπερασμένα το πλήθος σταθερά σημεία και $f=f\circ \tau$ .

(α) Έστω

το μεγαλύτερο σταθερό σημείο της $\tau$ . Τότε, $\tau (x)\neq x$ για κάθε x>p

. Μπορείς να υποθέσεις ότι $\tau(x)<x$ για κάθε x>p

, αλλιώς δουλεύεις με την $\tau^{-1}$ . Τότε για κάθε x_1>p

η ακολουθία (x_n)

που ορίζεται αναδρομικά ως $x_{n+1}=f(x_n)$ , συγκλίνει στο

. Αυτό δίνει ότι η

είναι σταθερή στο $[p,\infty)$ . Δουλεύεις παρόμοια για τα

κάτω από το μικρότερο σταθερό σημείο.

(β) Για τα ενδιάμεσα σταθερά σημεία (εφόσον υπάρχουν) ισχύει το εξής:

Λήμμα. Έστω $h:[a,b]\to [a,b]$ συνεχής συνάρτηση ώστε η x=h(x)

έχει μόνο δυο λύσεις, τα a,b

. Τότε για κάθε $z_1\in [a,b]$ η ακολουθία (z_n)

που ορίζεται αναδρομικά $z_{n+1}=h(z_n)$ συγκλίνει (σε λύση της εξίσωσης x=h(x)

).

Απόδειξη λήμματος. Άσκηση.

Από τα (α) και (β) έπεται ότι η

είναι σταθερή.

Συναρτησιακή με συνεχή

Συναρτησιακή με συνεχή

Re: Συναρτησιακή με συνεχή

Μέλη σε σύνδεση