Ταυτότητα ή αόριστη

Νασιούλας Αντώνης · #1

Μου έκανε κάποιος γνωστός μια ερώτηση και δεν ήξερα να του απαντήσω με σιγουριά. Την παραθέτω εδώ για να με (μας) διαφωτίσετε.

Πότε μια εξίσωση που έχει άπειρες λύσεις λέγεται ταυτότητα και πότε αόριστη?

Σε κάποια εγχειρίδια (δεν θυμάμαι αν και το σχολικό είναι μέσα σε αυτά) οι δυο έννοιες σε αυτήν την περίπτωση ταυτίζονται. Δηλαδή, αν μια εξίσωση έχει άπειρες λύσεις, την λέμε ταυτότητα ή αόριστη.
Νομίζω όμως πως κάπου είχα διαβάσει/ακούσει ότι οι δυο έννοιες χρησιμοποιούνται σε διαφορετική περίπτωση.
Συγκεκριμένα αν μια εξίσωση έχεις μεν άπειρες λύσεις, αλλά δεν έχει ως λύση όλα τα στοιχεία ενός συνόλου, τότε λέγεται αόριστη. π.χ. η $\displaystyle{\frac{0}{x}=0}$ είναι αόριστη γιατί έχει λύση κάθε μη μηδενικό πραγματικό, αλλά όχι όλους τους πραγματικούς. Απ' την άλλη, ταυτότητα την ονομάζουμε όταν έχει ως λύση όλα τα στοιχεία ενός συνόλου π.χ. 0x=0

.

Νεφέλη · #2

Το σίγουρο είναι ότι όταν λέμε ταυτότητα εννούμε μία ισότητα η οποία ισχύει πάντα, για όλους τους συνδυασμούς τιμών των μεταβλητών που περιέχει εντός του συνόλου αναφοράς μας (που συνήθως είναι το $\mathbb{R}$ ).

Ο όρος "αόριστη" κατά τη γνώμη μου είναι προβληματικός. Ας γίνω λίγο πιο αναλυτικός:

Η πρώτη περίπτωση είναι να τον χρησιμοποιούμε ταυτίζοντας τον με την έννοια της ταυτότητας που εξηγήθηκε παραπάνω. Τότε όμως δεν έχει λόγο ύπαρξης. Άλλωστε και στα σχολικά εγχειρίδια του λυκείου δεν χρησιμοποιείται με αυτήν την έννοια.

Η δεύτερη περίπτωση είναι αυτό που ανέφερες, ότι δηλαδή μία εξίσωση είναι αόριστη όταν έχει άπειρες λύσεις. Στην περίπτωση που προανέφερες όλα πάνε καλά. Όμως με αυτόν τον ορισμό θα είναι αόριστη και η εξίσωση $\sin x=0$ . Δεν νομίζω όμως ότι υπάρχει κάποιος που θα χρησιμοποιήσει αυτόν τον όρο για την παραπάνω εξίσωση...

Η τρίτη περίπτωση είναι αυτή που χρησιμοποιούν τα σχολικά εγχειρίδια του λυκείου. Ο όρος "αόριστο" χρησιμοποιείται για γραμμικά συστήματα 2x2 στα οποία οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες. Εκεί δεν γίνεται κανένας λόγος αναφοράς στην έννοια της ταυτότητας. Εκεί όμως μπορεί να τεθεί το ζήτημα του τι συμβαίνει στην περίπτωση γραμμικών συστημάτων 3x3 ή ακόμα χειρότερα 2χ3 ή 3x2 κοκ.

Προσωπικά στο μάθημά μου προσπαθώ να αποφεύγω τον όρο και αναφέρω απλά ότι η εξίσωση ή το σύστημα εχει άπειρες λύσεις.

KARKAR · #3

Ας ενισχύσουμε την παραπάνω άποψη με το εξής παράδειγμα : Η εξίσωση : 2x+y=3

, έχει

άπειρες λύσεις της μορφής $(x,y)=(k,3-2k) , k\in\mathbb{R}$ . Αλλά η εξίσωση : 0x+0y=0

,

έχει ως λύση κάθε ζεύγος $(x,y) , x,y\in\mathbb{R}$ . Η διαφορά είναι εμφανής : Η δεύτερη

είναι ταυτότητα , η πρώτη , έχει μεν άπειρες λύσεις , αλλά όχι οποιοδήποτε ζεύγος πραγματικών .

Την δεύτερη θα μπορούσε κανείς να την πει και αόριστη , αν και ο όρος είναι μάλλον αδόκιμος .

Τη πρώτη επ' ουδενί ...

Ιστοσελίδα · #4

Άλλο ένα παράδειγμα

Η εξίωση $\displaystyle{ \left| x \right| = x }$ έχει απειρία λύσεων αλλά δεν είναι ταυτότητα

Νασιούλας Αντώνης · #5

Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας.
Νομίζω είναι τελείως ξεκάθαρο -σύμφωνα και με τα παραπάνω- ως προς το πότε χρησιμοποιούμε τον όρο ταυτότητα.
Με τον όρο αόριστη όμως τελικά τι γίνεται? Θεωρείται αδόκιμος και προσπαθούμε να τον αποφύγουμε, όπως λέει ο χρήστης Νεφέλη? Αν όχι, πότε τελικά τον χρησιμοποιούμε? Ο "ορισμός" που έδωσα στην αρχή έχει αδυναμίες κάτι που φάνηκε από τις προηγούμενες απαντήσεις.
Επιμένω λίγο, διότι κυκλοφορεί αρκετά ο όρος στα σχολικά πλαίσια. Όχι βέβαια ότι αυτό "νομιμοποιεί" αυτόματα την ύπαρξή του...

pito · #6

Καλημέρα

, καλή σχολική χρονιά σε όλα τα μέλη! Επαναφορά του θέματος λόγω της τελευταίας ερώτησης του κ.Νασιούλα. Επίσης , κατά αντιστοιχία,πότε λέμε ότι ένα γραμμικό σύστημα έχει άπειρες λύσεις και πότε χαρακτηρίζεται ως αόριστο;Ευχαριστώ.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #7

pito έγραψε: Τρί Σεπ 07, 2021 9:07 am Επίσης , κατά αντιστοιχία,πότε λέμε ότι ένα γραμμικό σύστημα έχει άπειρες λύσεις και πότε χαρακτηρίζεται ως αόριστο;Ευχαριστώ.

Aυτή τη λέξη '' αόριστο '' από μαθητής λυκείου δεν τη συμπαθούσα...
Αν το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, τότε γράφουμε '' Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις'' και γράφουμε τη μορφή των άπειρων λύσεων.
Φυσικά δεν παραλείπουμε να δηλώσουμε τoυς ελεύθερους άγνωστους.

pito · #8

Καλησπέρα. Κάποια στιγμή, στη βιβλιογραφία, συνάντησα ότι αόριστο σύστημα είναι το σύστημα με δύο εξισώσεις της μορφής 0x+0y=0

.Επίσης ενώ το σχολικό βιβλίο αναφέρει ως γραμμική εξίσωση την εξίσωση της μορφής ax+by=c

όπου ένα τουλάχιστον από τα a, b

είναι μηδενικο, σε κάποια βοηθήματα αναφέρεται ως γραμμική εξίσωση η εξίσωση ax+by=c

με τα

να είναι πραγματικοί, δίχως περιορισμό, αλλά αυτή η εξίσωση παριστάνει ευθεία γραμμή όταν τα a, b

δεν μηδενιζονται ταυτόχρονα. Τι ισχύει τελικά;
Ευχαριστώ.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #9

pito έγραψε: Σάβ Σεπ 11, 2021 5:04 pm Καλησπέρα. Κάποια στιγμή, στη βιβλιογραφία, συνάντησα ότι αόριστο σύστημα είναι το σύστημα με δύο εξισώσεις της μορφής .Επίσης ενώ το σχολικό βιβλίο αναφέρει ως γραμμική εξίσωση την εξίσωση της μορφής όπου ένα τουλάχιστον από τα είναι μηδενικο, σε κάποια βοηθήματα αναφέρεται ως γραμμική εξίσωση η εξίσωση με τα να είναι πραγματικοί, δίχως περιορισμό, αλλά αυτή η εξίσωση παριστάνει ευθεία γραμμή όταν τα δεν μηδενιζονται ταυτόχρονα. Τι ισχύει τελικά;
Ευχαριστώ.

H εξίσωση

λέγεται γραμμική. Ό,τι κι αν είναι οι συντελεστές...

Όταν $\left | a \right |+\left | b \right |> 0$ η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία.

Το σύστημα με δύο εξισώσεις της μορφής 0x+0y=0

έχει άπειρες λύσεις.
Οι άπειρες λύσεις είναι όλα τα ζεύγη
$\left ( x,y \right ) \mu \varepsilon x\epsilon \mathbb{R},y\epsilon \mathbb{R}$

Η λέξη '' αόριστο '' προκαλεί μάλλον σύγχυση σε μαθητές και φοιτητές.

pito · #10

Καλημέρα, σας ευχαριστώ για την απάντησή σας!

#11

Νασιούλας Αντώνης έγραψε: Πέμ Νοέμ 29, 2012 6:55 pm Μου έκανε κάποιος γνωστός μια ερώτηση και δεν ήξερα να του απαντήσω με σιγουριά. Την παραθέτω εδώ για να με (μας) διαφωτίσετε.

Πότε μια εξίσωση που έχει άπειρες λύσεις λέγεται ταυτότητα και πότε αόριστη?

Σε κάποια εγχειρίδια (δεν θυμάμαι αν και το σχολικό είναι μέσα σε αυτά) οι δυο έννοιες σε αυτήν την περίπτωση ταυτίζονται. Δηλαδή, αν μια εξίσωση έχει άπειρες λύσεις, την λέμε ταυτότητα ή αόριστη.
Νομίζω όμως πως κάπου είχα διαβάσει/ακούσει ότι οι δυο έννοιες χρησιμοποιούνται σε διαφορετική περίπτωση.
Συγκεκριμένα αν μια εξίσωση έχεις μεν άπειρες λύσεις, αλλά δεν έχει ως λύση όλα τα στοιχεία ενός συνόλου, τότε λέγεται αόριστη. π.χ. η $\displaystyle{\frac{0}{x}=0}$ είναι αόριστη γιατί έχει λύση κάθε μη μηδενικό πραγματικό, αλλά όχι όλους τους πραγματικούς. Απ' την άλλη, ταυτότητα την ονομάζουμε όταν έχει ως λύση όλα τα στοιχεία ενός συνόλου π.χ. .

Από το βιβλίο του Π. Τόγκα (1959)

: Ταυτότητα ή αόριστη.png (10.56 KiB) Προβλήθηκε 16387 φορές

Αργότερα προστέθηκε και η λέξη ταυτότητα και λέγαμε ότι "η εξίσωση είναι αόριστη ή ταυτότητα" και τελικά επικράτησε ο όρος ταυτότητα. Όλα είναι θέμα ορολογίας. Αν ξέρουμε για ποιο πράγμα μιλάμε (δηλαδή ότι η εξίσωση αληθεύει για κάθε πραγματική τιμή του αγνώστου), τότε δεν υπάρχει πρόβλημα όπως και αν την ονομάσουμε. Αυτά όσον αφορά την εξίσωση 1ου βαθμού, όπου αόριστη και ταυτότητα σημαίνει ακριβώς το ίδιο πράγμα.

Να συμπληρώσω ακόμα για τους νεότερους και να θυμίσω στους παλαιότερους, ότι πολλά έχουν αλλάξει στην ορολογία των μαθηματικών από τότε που πήγαινα σχολείο. Ενδεικτικά αναφέρω ότι όταν λέγαμε κύκλος εννοούσαμε κυκλικός δίσκος και όταν θέλαμε να αναφερθούμε στον κύκλο (με την σημερινή έννοια) λέγαμε περιφέρεια. Επίσης οι Ρητοί (Άρρητοι) αριθμοί, λέγονταν Σύμμετροι (Ασύμμετροι) και οι θετικοί-αρνητικοί αριθμοί (μαζί με το 0), λέγονταν με ένα όνομα σχετικοί αριθμοί. Σίγουρα θα υπάρχουν και άλλα, που δεν μου έρχονται στο μυαλό αυτή τη στιγμή. Αν θέλετε να κάνετε ένα πείραμα, ρωτήστε έναν σημερινό μαθητή ποιοι όροι λέγονται ηγούμενοι σε μία αναλογία.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #12

george visvikis έγραψε: Κυρ Σεπ 12, 2021 6:17 pm Αν θέλετε να κάνετε ένα πείραμα, ρωτήστε έναν σημερινό μαθητή ποιοι όροι λέγονται ηγούμενοι σε μία αναλογία.

Γράφω αυτήν τη δημοσίευση μόνο και μόνο γιατί ο Γιώργος με αυτό που έγραψε με πήγε πολύ πίσω, στα νιάτα μου...
Η λέξη ηγούμενοι σε μια αναλογία, όπως και η λέξη επόμενοι, διδάχτηκαν για τελευταία φορά στα γυμνάσια μας το σχολικό έτος 1987-1988.Εκείνο το έτος διδάχθηκε για τελευταία φορά στη Β' Γυμνασίου το βιβλίο των Παπαμιχαήλ, Μπαλή, Γιαννίκου, Νοταρά, Σολδάτου που στις σελίδες 176-180 είχε δυο παραγράφους για τις αναλογίες και τις ιδιότητές τους. Το βιβλίο κυκλοφορεί στο Internet. Στο επόμενο σχολικό βιβλίο δεν υπήρχαν αυτοί οι όροι...

Ταυτότητα ή αόριστη

Ταυτότητα ή αόριστη

Re: Ταυτότητα ή αόριστη

Re: Ταυτότητα ή αόριστη

Re: Ταυτότητα ή αόριστη

Re: Ταυτότητα ή αόριστη

Re: Ταυτότητα ή αόριστη

Re: Ταυτότητα ή αόριστη

Re: Ταυτότητα ή αόριστη

Re: Ταυτότητα ή αόριστη

Re: Ταυτότητα ή αόριστη

Re: Ταυτότητα ή αόριστη

Re: Ταυτότητα ή αόριστη

Μέλη σε σύνδεση