Η άσκηση του Δεκεμβρίου 2012 από N.Zανταρίδη

parmenides51 · #1

Μετά την άσκηση του Νοεμβρίου 2012, η συνέχεια ...

Άσκηση 2η: Δεκεμβρίος 2012

Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f(1)=0}$ ισχύει $\displaystyle{\lim_{h \to 0}\frac{(e^{hx}−1)[f(x+2h)−f(x)]}{h^2}=2−2f(x)−2f\left(\frac{1}{x}\right)}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ .
Nα αποδείξετε ότι:

1) $\displaystyle{xf′(x)+f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=1}$ , για κάθε $\displaystyle{x>0}$

2) $\displaystyle{f(x)=lnx, x>0}$

3) $\displaystyle{e^{\displaystyle\frac{x}{x+1}}<\left(1+\frac{1}{x}\right)^x<e }$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$
και να βρεθεί το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}$

4) α) $\displaystyle{f(x)>1−\frac{1}{x}}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}_+^*-\{1\} }$

και β) $\displaystyle{(1,03)^{1,03}\cdot (0,98)^{0,98}\cdot(0,99)^{0,99}>1}$ .

5) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης $\displaystyle{(\varepsilon)}$ της $\displaystyle{C_f}$ στο σημείο της $\displaystyle{M(x_0,f(x_0)}$ με $\displaystyle{x_0>e}$ ,
αν το εμβαδόν του χωρίου $\displaystyle{\Omega}$ που περικλείεται από την $\displaystyle{C_f}$ , τον άξονα $\displaystyle{x′x}$ , τον άξονα $\displaystyle{y′y}$ και την εφαπτομένη $\displaystyle{(\varepsilon)}$ , είναι $\displaystyle{E(\Omega )=1}$ τ.μ.

dennys · #2

1)Aρχικά απο την δοσμένη σχέση $\lim_{h\to 0}\cfrac {e^{hx}-1}{h}\cfrac{f(x+2h)-f(x)}{h}=2-2f(x)-2f(\frac{1}{x})$

2xf{'}(x)+2f(x)+2f(1/x)=2

γιατί το οριο $\lim_{h\to 0}\cfrac{e^{hx}-1}{h}=\lim_{h\to 0}\cfrac{xe^{hx}}{1}=x$

και το όριο $\lim_{h\to 0}\cfrac{f(x+2h)-f(x)}{h}=f{'}(x)$ απο τον ορισμό με μια απλή αλλαγή μεταβλητής.

και αν βάλω οπου

το $\frac{1}{x}$ και αφαιρέσω προκύπτει $f{'}(x)-\frac{1}{x^2}f{'}(1/x)=0$

f(x)+f(1/x)=c, x=1, c=0

αρα $xf{'}(x)=1\Rightarrow f{'}(x)=(lnx){'}\Rightarrow f(x)=lnx$

2)η πρός απόδειξη ανισότητα γίνεται ισοδύναμα 1/(x+1)<ln(x+1)-lnx<1/x

η οποία απλά προκύπτει απο ΘΜΤ στο [x,.x+1]

3)με όρια και κριτήριο παρεμβολής το όριο βγαίνει

.

τα άλλα σε λίγο

dennys · #3

συνεχίζουμε
Θεωρώ την βοηθητική συνάρτηση $g(x)=lnx-1+1/x,x>0\Rightarrow g{'}(x)=\cfrac{x-1}{x^2}$ και με το πινακάκι

η συνάρτηση απο φθίνουσα στο (0,1]

γίνεται αυξουσα στο $[1,\infty), g(x)>g(1)=0$

αρα αποδείχθηκε .Η ιδια γίνεται xlnx>x-1

και αυτή για α,β,γ δίνει $alna>a-1,blnb>b-1,\gamma ln{\gamma}>\gamma -1$

οπου $a=1,03,b=0.99, \gamma=0,98,a+b+\gamma=0$ και προσθέτοντας έχουμε $lna^{a}b^{b}{\gamma}^{\gamma}>a+b+\gamma-3=0$

και άρα $a^{a} \cdot b^b \cdot \gamma^{\gamma}>1$

5)Για το εμβαδόν απο του τραπεζίου αφαιρώ το χωρίο μεταξύ $f(x),x'x, x=1,x=x_o\Rightarrow x_o=6$ και τα άλλα απλά

Η άσκηση του Δεκεμβρίου 2012 από N.Zανταρίδη

Η άσκηση του Δεκεμβρίου 2012 από N.Zανταρίδη

Re: Η άσκηση του Δεκεμβρίου 2012 από N.Zανταρίδη

Re: Η άσκηση του Δεκεμβρίου 2012 από N.Zανταρίδη

Μέλη σε σύνδεση