ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2003 - ΛΥΚΕΙΟ

parmenides51 · #1

1. Να βρεθεί η μεγαλύτερη δυνατή τιμή του θετικού πραγματικού αριθμού $\displaystyle{M}$ για την οποία αληθεύει η ανισότητα
$\displaystyle{x^4 + y^4 + z^4 + xyz(x + y + z) \ge M(xy + yz + zx)^2}$ για κάθε $\displaystyle{x, y, z \in\mathbb{R}}$ .

2. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle{x_1, x_2, ..., x_m}$ , όπου $\displaystyle{m \ge 2}$ ,
τέτοιοι ώστε $\displaystyle{x_1< x_2< ...< x_m}$ και $\displaystyle{\frac{1}{x_1^3}+\frac{1}{x_2^3}+...+\frac{1}{x_m^3}=1}$ .

3. Δίνεται κύκλος $\displaystyle{(O,\rho)}$ και σημείο $\displaystyle{A}$ εκτός αυτού.
Από το σημείο $\displaystyle{A}$ φέρουμε ευθεία $\displaystyle{\varepsilon}$ , διαφορετική της ευθείας $\displaystyle{AO}$ , που τέμνει τον κύκλο στα σημεία $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ , με το $\displaystyle{B}$ μεταξύ των $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ .
Στη συνέχεια φέρουμε τη συμμετρική ευθεία της $\displaystyle{\varepsilon}$ , ως προς άξονα συμμετρίας την ευθεία $\displaystyle{AO}$ , η οποία τέμνει τον κύκλο στα σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{\Delta}$ , με το $\displaystyle{E}$ μεταξύ των $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{\Delta}$ .
Να αποδείξετε ότι οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου $\displaystyle{B\Gamma \Delta E}$ διέρχονται από σταθερό σημείο, δηλαδή τέμνονται στο ίδιο πάντοτε σημείο ανεξάρτητα από τη θέση της ευθείας $\displaystyle{\varepsilon}$ .

4. Έστω $\displaystyle{M}$ ένα υποσύνολο του συνόλου των φυσικών αριθμών με $\displaystyle{2004}$ στοιχεία.
Αν γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχει στοιχείο του $\displaystyle{M }$ το οποίο να ισούται με το άθροισμα δυο άλλων στοιχείων του $\displaystyle{M }$ ,
να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή την οποία μπορεί να πάρει το μεγαλύτερο από τα στοιχεία του $\displaystyle{M }$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:4. Έστω $\displaystyle{M}$ ένα υποσύνολο του συνόλου των φυσικών αριθμών με $\displaystyle{2004}$ στοιχεία.
Αν γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχει στοιχείο του $\displaystyle{M }$ το οποίο να ισούται με το άθροισμα δυο άλλων στοιχείων του $\displaystyle{M }$ ,
να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή την οποία μπορεί να πάρει το μεγαλύτερο από τα στοιχεία του $\displaystyle{M }$ .

παρόμοια

#3

parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθεί η μεγαλύτερη δυνατή τιμή του θετικού πραγματικού αριθμού $\displaystyle{M}$ για την οποία αληθεύει η ανισότητα
$\displaystyle{x^4 + y^4 + z^4 + xyz(x + y + z) \ge M(xy + yz + zx)^2}$ για κάθε $\displaystyle{x, y, z \in\mathbb{R}}$ .

Πρέπει να την έχουμε ξαναδεί.

Για $\displaystyle{x=y=z=1}$ βρίσκουμε $\displaystyle{M\leq \frac{2}{3}.}$
Αποδεικνύουμε τώρα, την ανισότητα

$\displaystyle{x^4 + y^4 + z^4 + xyz(x + y + z) \ge \frac{2}{3}(xy + yz + zx)^2,}$

η οποία γράφεται, αφού γίνουν οι πράξεις, ως

$\displaystyle{3(x^4+y^4+z^4)\geq 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+xyz(x+y+z).}$

Αυτή ισχύει, ως συνέπεια της $\displaystyle{x^4+y^4+z^4\geq x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \geq xyz(x+y+z).}$

Άρα

$\displaystyle{M_{\max}=\frac{2}{3}.}$

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθεί η μεγαλύτερη δυνατή τιμή του θετικού πραγματικού αριθμού $\displaystyle{M}$ για την οποία αληθεύει η ανισότητα
$\displaystyle{x^4 + y^4 + z^4 + xyz(x + y + z) \ge M(xy + yz + zx)^2}$ για κάθε $\displaystyle{x, y, z \in\mathbb{R}}$ .

με αφορμή την παραπάνω άσκηση ένα σχόλιο (σημαντικό κρίνοντας από τα συμφραζόμενα) από εδώ

silouan έγραψε:Δεν σημαίνει ότι όταν μια ανισότητα είναι συμμετρική παρουσιάζει ισότητα όταν οι μεταβλητές είναι ίσες .

Για να αποδείξουμε ότι το $\displaystyle{M=\frac{2}{3}}$ είναι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή , πρέπει να βρούμε ένα αντιπαράδειγμα για $\displaystyle{M=\frac{2}{3}+c}$ όπου $\displaystyle{c}$ θετικό .
Το οποίο είναι εύκολο

Δηλαδή : έστω $\displaystyle{M=\frac{2}{3}+c}$ τότε η ανισότητα προς απόδειξη είναι ισοδύναμη με $\displaystyle{x^4+y^4+z^4+xyz(x+y+z)\geq\frac{2}{3}(xy+yz+zx)^2+c(xy+yz+zx)^2}$

Όμως για $\displaystyle{x=y=z}$ το δεύτερο μελος είναι μεγαλύτερο από το πρώτο....
Άτοπο άρα $\displaystyle{M_{max}=\frac{2}{3}}$

#5

3. Δίνεται κύκλος $\displaystyle{(O,\rho)}$ και σημείο $\displaystyle{A}$ εκτός αυτού.
Από το σημείο $\displaystyle{A}$ φέρουμε ευθεία $\displaystyle{\varepsilon}$ , διαφορετική της ευθείας $\displaystyle{AO}$ , που τέμνει τον κύκλο στα σημεία $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ , με το $\displaystyle{B}$ μεταξύ των $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ .
Στη συνέχεια φέρουμε τη συμμετρική ευθεία της $\displaystyle{\varepsilon}$ , ως προς άξονα συμμετρίας την ευθεία $\displaystyle{AO}$ , η οποία τέμνει τον κύκλο στα σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{\Delta}$ , με το $\displaystyle{E}$ μεταξύ των $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{\Delta}$ .
Να αποδείξετε ότι οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου $\displaystyle{B\Gamma \Delta E}$ διέρχονται από σταθερό σημείο, δηλαδή τέμνονται στο ίδιο πάντοτε σημείο ανεξάρτητα από τη θέση της ευθείας $\displaystyle{\varepsilon}$ .

: Clipboard02.jpg (9.18 KiB) Προβλήθηκε 1638 φορές

Λόγω συμμετρίας $\displaystyle{BE,CD}$ κάθετες στην $\displaystyle{AO}$ οπότε το $\displaystyle{BCDE}$ ισοσκελές τραπέζιο με άξονα συμμετίας την $\displaystyle{AO}$

άρα η $\displaystyle{DQ}$ διχοτόμος του τριγώνου $\displaystyle{BDE}$ και η κάθετή της $\displaystyle{DP}$ εξωτερική διχοτόμος

Συνεπώς η δέσμη $\displaystyle{D.AMQP}$ είναι αρμονική και το $\displaystyle{M}$ το 4ο συζυγές αρμονικό των σταθεδων $\displaystyle{A,Q,P}$

αλλά $\displaystyle{M}$ είναι ο σημείο τομής των διαγωνίων του $\displaystyle{BCDE}$ το οποίο λ'ογω της συμμετρίας πρ'επει να βρίσκεται πάνω στην $\displaystyle{AO}$

#6

parmenides51 έγραψε: 2. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle{x_1, x_2, ..., x_m}$ , όπου $\displaystyle{m \ge 2}$ ,
τέτοιοι ώστε $\displaystyle{x_1< x_2< ...< x_m}$ και $\displaystyle{\frac{1}{x_1^3}+\frac{1}{x_2^3}+...+\frac{1}{x_m^3}=1}$ .

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι $x_1 \geqslant 2$ αφού αλλιώς $\displaystyle{\frac{1}{x_1^3}+\frac{1}{x_2^3}+...+\frac{1}{x_m^3} \geqslant 1 + \frac{1}{x_2^3} > 1.}$ Επιπλεόν για κάθε $x \geqslant 2$ ισχύει $x + 1 \leqslant (x+1)(x-1) < x^2$ και άρα $\displaystyle{ \frac{1}{x^3} < \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} .}$ Τότε όμως έχουμε

$\displaystyle{ \frac{1}{x_1^3}+\frac{1}{x_2^3}+ \cdots+\frac{1}{x_m^3} \leqslant \frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+ \cdots+\frac{1}{(m+1)^3} < \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2}\right) < \frac{1}{2} < 1.}$

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2003 - ΛΥΚΕΙΟ

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2003 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2003 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2003 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2003 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2003 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2003 - ΛΥΚΕΙΟ

Μέλη σε σύνδεση