ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2002 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Ο αριθμός $\displaystyle{x}$ είναι θετικός ακέραιος και το κλάσμα $\displaystyle{\frac{3-x}{2}}$ είναι αριθμός αρνητικός μεγαλύτερος από το $\displaystyle{-1}$ .
Να προσδιορίσετε όλους τους τριψήφιους θετικούς ακέραιους των οποίων το άθροισμα των ψηφίων τους είναι ίσο με $\displaystyle{x}$ .

2. Να προσδιορίσετε τους ακέραιους $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma,\delta}$ αν είναι γνωστό ότι: $\displaystyle{\frac{\alpha }{\beta } = \frac{2}{3} , \frac{\beta }{\gamma } = \frac{3}{4} , \frac{\gamma }{\delta } = \frac{4}{5}}$ , και $\displaystyle{\alpha\beta\gamma\delta = 120}$ .

3. Στο σχήμα, το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, η $\displaystyle{Z\Theta}$ είναι μεσοκάθετος της $\displaystyle{\Gamma E}$ και το τρίγωνο $\displaystyle{ZE\Gamma}$ είναι ισοσκελές και ορθογώνιο στο $\displaystyle{Z}$ .
Αν $\displaystyle{\widehat{AZE}= \varphi }$ , να υπολογίσετε τη γωνία $\displaystyle{\widehat{BE\Theta} }$ ως συνάρτηση του $\displaystyle{\varphi }$ .

: Eykleidhs 2002 3o.PNG (14.63 KiB) Προβλήθηκε 1747 φορές

4. Καθένας από τους αριθμούς $\displaystyle{A = 888 ... 8, B= 444 ... 4}$ έχει $\displaystyle{2003}$ ψηφία, ενώ καθένας από τους αριθμούς $\displaystyle{\Gamma = 333 ... 3, \Delta = 666 ... 7}$ έχει $\displaystyle{2002}$ ψηφία.
Ποιος από τους αριθμούς $\displaystyle{X = A\cdot\Gamma ,Y = B \cdot \Delta }$ είναι μεγαλύτερος και πόσο;

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:4. Καθένας από τους αριθμούς $\displaystyle{A = 888 ... 8, B= 444 ... 4}$ έχει $\displaystyle{2003}$ ψηφία, ενώ καθένας από τους αριθμούς $\displaystyle{\Gamma = 333 ... 3, \Delta = 666 ... 7}$ έχει $\displaystyle{2002}$ ψηφία.
Ποιος από τους αριθμούς $\displaystyle{X = A\cdot\Gamma ,Y = B \cdot \Delta }$ είναι μεγαλύτερος και πόσο;

Για ευκολία ονομάζω $\displaystyle{z=111 ... 1}$ τον αριθμό με $\displaystyle{2003}$ ψηφία και $\displaystyle{w=111 ... 1}$ τον αριθμό με $\displaystyle{2002}$ ψηφία

$\displaystyle{A = 888 ... 8 =8\cdot (111 ... 1)=8z}$ (με $\displaystyle{2003}$ ψηφία)
$\displaystyle{B= 444 ... 4=4\cdot (111 ... 1)=4z}$ (με $\displaystyle{2003}$ ψηφία)

$\displaystyle{\Gamma = 333 ... 3 =3\cdot (111 ... 1) =3w}$ (με $\displaystyle{2002}$ ψηφία)
$\displaystyle{\Delta = 666 ... 7=666 ...6+1 =6 \cdot (111 ... 1) +1=6w+1}$ (με $\displaystyle{2002}$ ψηφία)

έχουμε πως $\displaystyle{X = A\cdot\Gamma =8z \cdot 3w=24 zw}$

και $\displaystyle{Y = B \cdot \Delta =4z \cdot (6w+1)=24 zw+4z}$

οπότε $\displaystyle{Y=X+4z}$ άρα μεγαλύτερος είναι ο αριθμός $\displaystyle{Y}$ κατά $\displaystyle{4z=4\cdot (111 ... 1)=444 ... 4}$ , αριθμός με $\displaystyle{2003}$ ψηφία

pito · #3

1. Ο αριθμός $\displaystyle{x}$ είναι θετικός ακέραιος και το κλάσμα $\displaystyle{\frac{3-x}{2}}$ είναι αριθμός αρνητικός μεγαλύτερος από το $\displaystyle{-1}$ .
Να προσδιορίσετε όλους τους τριψήφιους θετικούς ακέραιους των οποίων το άθροισμα των ψηφίων τους είναι ίσο με $\displaystyle{x}$ .

Είναι x>0

και $-1<\frac{3-x}{2}<0$
Έτσι $-2<3-x\Leftrightarrow x<5$
και $3-x<0\Leftrightarrow x>3$ , δηλαδή 3<x<5

και αφού ο

είναι ακέραιος δεχόμαστε
x=4

Ψάχνουμε τους θετικούς τριψήφιους ακεραίους με άθροισμα ψηφίων το

.
Aυτοί είναι οι 112,121,130,103,211,202,220,301,310,400

pito · #4

2. Να προσδιορίσετε τους ακέραιους $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma,\delta}$ αν είναι γνωστό ότι: $\displaystyle{\frac{\alpha }{\beta } = \frac{2}{3} , \frac{\beta }{\gamma } = \frac{3}{4} , \frac{\gamma }{\delta } = \frac{4}{5}}$ , και $\displaystyle{\alpha\beta\gamma\delta = 120}$ .

Είναι $\displaystyle \frac{a}{\beta }\frac{\beta }{\gamma }=\frac{2}{3}\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \gamma =2a (1)$
Ακόμη $\displaystyle \frac{a}{\beta }\frac{\beta }{\gamma }\frac{\gamma }{\delta }=\frac{2}{3}\frac{3}{4}\frac{4}{5}\Leftrightarrow \frac{a}{\delta }=\frac{2}{5}\Leftrightarrow \delta =\frac{5a}{2} (2)$
και $\displaystyle \frac{a}{\beta }=\frac{2}{3}\Leftrightarrow \beta =\frac{3a}{2} (3)$

Ισχύει $\alpha \beta \gamma \delta =120\Leftrightarrow a\frac{3a}{2}2a\frac{5a}{2}=120\Leftrightarrow 15a^{4}=240\Leftrightarrow a^{4}=16$
δηλαδή ή $a^{2}=4\Leftrightarrow a=2$ ή a=-2

ή $a^{2}=-4$ , που είναι αδύνατη.

Για a=2

έχουμε $\beta =3, \gamma =4, \delta =5$
Για a=-2

έχουμε $\beta =-3,\gamma =-4,\delta =-5$

pito · #5

3. Στο σχήμα, το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, η $\displaystyle{Z\Theta}$ είναι μεσοκάθετος της $\displaystyle{\Gamma E}$ και το τρίγωνο $\displaystyle{ZE\Gamma}$ είναι ισοσκελές και ορθογώνιο στο $\displaystyle{Z}$ .
Αν $\displaystyle{\widehat{AZE}= \varphi }$ , να υπολογίσετε τη γωνία $\displaystyle{\widehat{BE\Theta} }$ ως συνάρτηση του $\displaystyle{\varphi }$ .

Το συνημμένο Eykleidhs 2002 3o.PNG δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Aφού η $Z\Theta$ είναι μεσοκάθετος της $E\Gamma$ το τρίγωνο $E\Gamma \Theta$ είναι ισοσκελές με
$E\Theta =\Theta \Gamma$ άρα και $\widehat{\Theta EH}=\widehat{E\Gamma \Theta }=\omega$

Το τρίγωνο $Z\Gamma E$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές άρα και $\widehat{Z\Gamma E}=\widehat{ZE\Gamma }=45^{0}$

Είναι $\widehat{\Delta \Gamma Z}=90^{0}-\widehat{\Delta Z\Gamma }=180^{0}-90^{0}-\widehat{\Delta Z\Gamma }=\widehat{AZE}=\phi$

Από το ορθογώνιο $AB\Gamma \Delta : \widehat{\Gamma }=90^{0}\Leftrightarrow \phi +45^{0}+\omega =90^{0}\Leftrightarrow \phi +\omega =45^{0} (1)$

Τέλος $\widehat{AEB}=180^{0}\Leftrightarrow 90^{0}-\phi +45^{0}+\omega +\widehat{BE\Theta }=180^{0}\Leftrightarrow \widehat{BE\Theta }=45^{0}+\phi -\omega =2\phi$

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2002 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2002 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2002 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2002 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2002 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2002 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση