Π.Μ.Δ.Μ. Α' Λυκείου 1989

parmenides51 · #1

1. Αν $\displaystyle{\alpha, \beta, \gamma}$ με $\displaystyle{\alpha+ \beta+ \gamma=0}$ να δείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{2\alpha^4+2 \beta^4+2 \gamma^4}$ είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιου αριθμού.

2. Δίνονται στο επίπεδο
$\displaystyle{1}$ σημείο
και άλλα $\displaystyle{2}$ σημεία
και άλλα $\displaystyle{3}$ σημεία επί ευθείας
και άλλα $\displaystyle{4}$ σημεία επί ευθείας
και άλλα $\displaystyle{5}$ σημεία επί ευθείας
...
και άλλα $\displaystyle{10}$ σημεία επί ευθείας
και άλλα $\displaystyle{11}$ σημεία σκόρπια.
Πόσες ευθείες ορίζουν όλα τα σημεία;

3. Τα $\displaystyle{24}$ γράμματα της Ελληνικής αλφαβήτου τα βάζουμε στην τύχη σε $\displaystyle{4}$ διαφορετικά κουτιά.
Χρησιμοποιούμε τα γράμματα ενός κουτιού και σχηματίζουμε όλες τις δυνατές λέξεις με τρία διαφορετικά γράμματα
(π.χ. αν σε κάποιο κουτί υπάρχουν τα γράμματα $\displaystyle{A,X,\Omega,T,K,...}$ τις λέξεις $\displaystyle{\Omega XA, XA\Omega , XTK,}$ κ.λ.π.).
Ν' αποδειχτεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα κουτί από το οποίο μπορούμε να σχηματίσουμε τουλάχιστον $\displaystyle{120}$ λέξεις τριών γραμμάτων.

4. Έστω $\displaystyle{AB\Gamma \Delta EZ}$ ένα κυρτό εξάγωνο με περίμετρο $\displaystyle{ \Pi}$ .
Να δείξετε οτι $\displaystyle{\Pi> \frac{2}{3}(A\Delta +BE +\Gamma Z)}$ .

edit
Αντικατάσταση στο 2ο θέμα του απ' σε επί για να βγαίνει νόημα, τυπογραφικό μάλλον

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Αν $\displaystyle{\alpha, \beta, \gamma}$ με $\displaystyle{\alpha+ \beta+ \gamma=0}$ να δείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{2\alpha^4+2 \beta^4+2 \gamma^4}$ είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιου αριθμού.

εδώ

#3

parmenides51 έγραψε:4. Έστω $\displaystyle{AB\Gamma \Delta EZ}$ ένα κυρτό εξάγωνο με περίμετρο $\displaystyle{ \Pi}$ .
Να δείξετε οτι $\displaystyle{\Pi> \frac{2}{3}(A\Delta +BE +\Gamma Z)}$ .

Θα ακολουθήσει το σχήμα από τον Parmenides

Έχουμε:

$\displaystyle{A\Delta <AZ+ZE+E\Delta}$

$\displaystyle{A\Delta <AB+B\Gamma +\Gamma \Delta}$

$\displaystyle{BE<B\Gamma +\Gamma \Delta +\Delta E}$

$\displaystyle{BE<AB+AZ+ZE}$

$\displaystyle{\Gamma Z<ZA+AB+B\Gamma}$

$\displaystyle{\Gamma Z<\Gamma \Delta +\Delta E +EZ}$

Με πρόσθεση κατά μέλη, έχουμε:

$\displaystyle{2(A\Delta +BE +\Gamma Z )<3(AZ+ZE+E\Delta +\Delta \Gamma +\Gamma B +BA)\Rightarrow}$

$\displaystyle{\frac{2}{3}(A\Delta +BE +\Gamma Z )<\Pi}$

mathfinder · #4

parmenides51 έγραψε: 3. Τα $\displaystyle{24}$ γράμματα της Ελληνικής αλφαβήτου τα βάζουμε στην τύχη σε $\displaystyle{4}$ διαφορετικά κουτιά.
Χρησιμοποιούμε τα γράμματα ενός κουτιού και σχηματίζουμε όλες τις δυνατές λέξεις με τρία διαφορετικά γράμματα
(π.χ. αν σε κάποιο κουτί υπάρχουν τα γράμματα $\displaystyle{A,X,\Omega,T,K,...}$ τις λέξεις $\displaystyle{\Omega XA, XA\Omega , XTK,}$ κ.λ.π.).
Ν' αποδειχτεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα κουτί από το οποίο μπορούμε να σχηματίσουμε τουλάχιστον $\displaystyle{120}$ λέξεις τριών γραμμάτων.

Αν τα κουτιά έχουν το ίδιο πλήθος γραμμάτων , τότε σε κάθε κουτί θα έχουμε

γράμματα , οπότε οποίο κουτί και να διαλέξουμε θα μπορούμε να φτιάξουμε $6\cdot 5\cdot 4=120$ λέξεις .
Αν τα κουτιά δεν έχουν το ίδιο πλήθος γραμμάτων , τότε θα υπάρχει κουτί με περισσότερα από

γράμματα ( αρχή της περιστεροφωλιάς) , έστω $n\succ 6$ , άρα θα μπορούμε να φτιάξουμε $n\cdot \left(n-1 \right)\cdot \left(n-2 \right)>120$ λέξεις τριών γραμμάτων.

Αθ. Μπεληγιάννης

#5

parmenides51 έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 24, 2012 1:08 am
2. Δίνονται στο επίπεδο
$\displaystyle{1}$ σημείο
και άλλα $\displaystyle{2}$ σημεία
και άλλα $\displaystyle{3}$ σημεία επί ευθείας
και άλλα $\displaystyle{4}$ σημεία επί ευθείας
και άλλα $\displaystyle{5}$ σημεία επί ευθείας
...
και άλλα $\displaystyle{10}$ σημεία επί ευθείας
και άλλα $\displaystyle{11}$ σημεία σκόρπια.
Πόσες ευθείες ορίζουν όλα τα σημεία;

Επαναφορά!

Π.Μ.Δ.Μ. Α' Λυκείου 1989

Π.Μ.Δ.Μ. Α' Λυκείου 1989

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Α' Λυκείου 1989

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Α' Λυκείου 1989

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Α' Λυκείου 1989

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Α' Λυκείου 1989

Μέλη σε σύνδεση