Απορία μονοτονία - παράγωγο

Bill_math · #1

Καλησπέρα και καλώς σας βρήκα!

Συγχαρητήρια για την δουλεία σας! Ήρθε ο καιρός να γίνω και εγώ ενεργό μέλος.
Ξεκινάω με απορία.

Γίνεται αν η

είναι γνησίως φθίνουσα,

παραγωγίσιμη να υπάρχει σημείο ώστε η παράγωγος στο σημείο αυτό να είναι θετική;

Ευχαριστώ.

#2

'Οχι. Αν $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\dfrac{f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) }{x-x_{0}}=f^{\prime }\left( x_{0}\right) >0$ τότε κοντά στο x_0

θα είναι $\dfrac{f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) }{x-x_{0}}>0$ που σημαίνεί ότι θα υπάρχει $x_{1} \neq x_{0}$ ώστε $\dfrac{f\left( x_{1}\right) -f\left( x_{0}\right) }{x_{1}-x_{0}}>0$ από την οποία προκύπτει ότι αν $x_{1}<x_{0}$ θα είναι $f\left( x_{1}\right) <f\left( x_{0}\right)$ και αν $x_{1}>x_{0}$ θα είναι $f\left( x_{1}\right) >f\left( x_{0}\right)$ .
Μαυρογιάννης

gian7 · #3

Bill_math έγραψε:Καλησπέρα και καλώς σας βρήκα!

Συγχαρητήρια για την δουλεία σας! Ήρθε ο καιρός να γίνω και εγώ ενεργό μέλος.
Ξεκινάω με απορία.

Γίνεται αν η είναι γνησίως φθίνουσα, παραγωγίσιμη να υπάρχει σημείο ώστε η παράγωγος στο σημείο αυτό να είναι θετική;

Ευχαριστώ.

Δεν μπορεί να είναι θετική.Μπορεί όμως να μην είναι ούτε αρνητική

(να είναι ίση με $\displaystyle{0}$ ) (Αυτό ως αντιπαράδειγμα του ότι δεν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος που συνδέει την μονοτονία με το πρόσημο της παραγώγου)
Ένα θετικό πρόσημο στην παράγωγο ( στον ρυθμό μεταβολής) θα δήλωνε αύξηση του μεγέθους και όχι μείωση όπως δηλώνει το ότι είναι γν.φθίνουσα.

Bill_math · #4

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις.

Ακόμα και αν η παράγωγος της

δεν είναι συνεχής σε αυτό το σημείο;

pito · #5

Bill_math έγραψε:Ευχαριστώ για τις απαντήσεις.

Ακόμα και αν η παράγωγος της f δεν είναι συνεχής σε αυτό το σημείο;

Η απάντηση του κυρίου Μαυρογιάννη δεν χρησιμοποίησε συνέχεια της

, οπότε ισχύει ακόμα και αν η

δεν είναι συνεχής στο
$x_{o}$

Bill_math · #6

Ευχαριστώ πολύ. Το συζητούσα με ένα συνάδελφο για ένα θέμα σε ένα διαγώνισμα και διαφωνούσαμε.

mathxl · #7

Bill_math έγραψε:
Γίνεται αν η είναι γνησίως φθίνουσα, παραγωγίσιμη να υπάρχει σημείο ώστε η παράγωγος στο σημείο αυτό να είναι θετική;

Αυτό (το ότι δεν γίνεται να ισχύει το παραπάνω) πολλοί το λέμε στο σχολείο (ίσως όλοι). Συνήθως έρχεται η απορία των μαθητών αν μπορούν να χρησιμοποιήσουν την πρόταση αυτή στις εξετάσεις ως αυταπόδεικτη...
Πόσοι το αποδεικνύουμε;;
Θα κόβαμε μόρια αν το χρησιμοποιούσε μαθητής στις εξετάσεις;;

Απορία μονοτονία - παράγωγο

Απορία μονοτονία - παράγωγο

Re: Απορία μονοτονία - παράγωγο

Re: Απορία μονοτονία - παράγωγο

Re: Απορία μονοτονία - παράγωγο

Re: Απορία μονοτονία - παράγωγο

Re: Απορία μονοτονία - παράγωγο

Re: Απορία μονοτονία - παράγωγο

Μέλη σε σύνδεση