ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΙΙΙ

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται ότι:

$0 < x < \frac{\pi }{2}$

$0 < y < \frac{\pi }{2}$

$\frac{{\eta \mu x}}{{\eta \mu y}} = \sqrt 2$ (1)

$\frac{{\varepsilon \varphi x}}{{\varepsilon \varphi y}} = \sqrt 3$ (2)

Να υπολογιστούν τα τόξα x, y.

#2

Για $\displaystyle 0 < x,\;y < \frac{\pi }{2}$
είναι:
$\displaystyle \frac{{\varepsilon \phi x}}{{\varepsilon \phi y}} = \sqrt 3 \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\frac{{\eta \mu x}}{{\eta \mu y}} \cdot \frac{{\sigma \upsilon \nu y}}{{\sigma \upsilon \nu x}} = \sqrt 3$

Λόγω της (1): $\displaystyle \frac{{\sigma \upsilon \nu y}}{{\sigma \upsilon \nu x}} = \sqrt {\frac{3}{2}} \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sigma \upsilon \nu x = \sqrt {\frac{2}{3}} \sigma \upsilon \nu y\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\sigma \upsilon \nu ^2 x = \frac{2}{3}\sigma \upsilon \nu ^2 y$

και $\displaystyle \eta \mu ^2 x = 2\eta \mu ^2 y$

Είναι: $\displaystyle \eta \mu ^2 x + \sigma \upsilon \nu ^2 x = 1\;\; \Rightarrow \;\;2\eta \mu ^2 y + \frac{2}{3}\sigma \upsilon \nu ^2 y = 1\;\;\; \Leftrightarrow \;\;2 - 2\sigma \upsilon \nu ^2 y + \frac{2}{3}\sigma \upsilon \nu ^2 y = 1$ ,
οπότε: $\displaystyle \sigma \upsilon \nu ^2 y = \frac{3}{4}\;\; \Leftrightarrow \;\;\sigma \upsilon \nu y = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\; \Leftrightarrow \;\;y = \frac{\pi }{6}$

Τότε: $\displaystyle \frac{{\eta \mu x}}{{\frac{1}{2}}} = \sqrt 2 \;\; \Leftrightarrow \;\;\eta \mu x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\;\; \Leftrightarrow \;\;x = \frac{\pi }{4}$

Γιώργος Ρίζος

#3

Yψώνουμε και τις δύο σχέσεις στο τετράγωνο και χρησιμοποιούμε ότι $\sin^2{x}=\displaystyle\frac{\tan^2{x}}{1+\tan^2{x}}$ οπότε:

Από τη σχέση $\sin^2{x}=2\sin^2{y}$ παίρνουμε $\displaystyle\frac{\tan^2{x}}{1+\tan^2{x}} = \displaystyle\frac{2\tan^2{y}}{1+\tan^2{y}}$

άρα επειδή $\tan^2{x}=3\tan^2{y}$ αντικαθιστούμε στην παραπάνω και παίρνουμε τελικά:

$\displaystyle\frac{3\tan^2{y}}{1+3\tan^2{y}} = \displaystyle\frac{2\tan^2{y}}{1+\tan^2{y}}$ δηλαδή $\tan^2{y}=\displaystyle\frac{1}{3}$ οπότε $\tan^2{x}=1$ και επειδή οι γωνίες είναι στο πρώτο τεταρτημόριο παίρνουμε

$\tan{y}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}$ και $\tan{x}=1$ δηλαδή $y= \displaystyle\frac{\pi}{6}$ και $x=\displaystyle\frac{\pi}{4}$ .

Αλέξανδρος

Χρήστος Λαζαρίδης · #4

Μία άλλη προσέγγιση με τη βοήθεια της 1.6 Β΄Λυκείου.
$\displaystyle{\eta \mu x = \sqrt 2 \eta \mu y}$
$\displaystyle{\sqrt 3 \sigma \upsilon \nu x = \sqrt 2 \sigma \upsilon \nu y}$
Με πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη, προκύπτουν οι σχέσεις:
$\displaystyle{\eta \mu x + \sqrt 3 \sigma \upsilon \nu x = \sqrt 2 \eta \mu y + \sqrt 2 \sigma \upsilon \nu y \Rightarrow \eta \mu (x + \frac{\pi }{3}) = \eta \mu (y + \frac{\pi }{4}) \Rightarrow x + \frac{\pi }{3} = \pi - y - \frac{\pi }{4} \Rightarrow x + y = \frac{{5\pi }}{{12}}}$
$\displaystyle{\eta \mu x - \sqrt 3 \sigma \upsilon \nu x = \sqrt 2 \eta \mu y - \sqrt 2 \sigma \upsilon \nu y \Rightarrow \eta \mu (x - \frac{\pi }{3}) = \eta \mu (y - \frac{\pi }{4}) \Rightarrow x - \frac{\pi }{3} = y - \frac{\pi }{4} \Rightarrow x - y = \frac{\pi }{{12}}}$
Άρα $\displaystyle{x = \frac{\pi }{4},y = \frac{\pi }{6}}$
Βέβαια, χρησιμοποιήθηκε ύλη Β΄Λυκείου. Ασφαλώς ο τρόπος του Γιώργου είναι πιο καντά στη σχολική πραγματικότητα.
Φιλικά Χρήστος

p_gianno · #5

Μία ακομη προσέγγιση
$\displaystyle{ \begin{array}{l} 0 < \chi ,\psi < \frac{\pi }{2} \\ \frac{{\eta \mu \chi }}{{\eta \mu \psi }} = \sqrt 2 \, \Leftrightarrow \eta \mu ^2 \chi = 2\eta \mu ^2 \psi \,\,(1) \\ \frac{{\varepsilon \phi \chi }}{{\varepsilon \phi \psi }} = \sqrt 3 \, \Leftrightarrow \varepsilon \phi ^2 \chi = 3\varepsilon \phi ^2 \psi \,\, \Leftrightarrow \frac{{\eta \mu ^2 \chi }}{{\sigma \upsilon \nu ^2 \chi }} = 3\frac{{\eta \mu ^2 \psi }}{{\sigma \upsilon \nu ^2 \psi }} \Leftrightarrow \frac{{\eta \mu ^2 \chi }}{{1 - \eta \mu ^2 \chi }} = 3\frac{{\eta \mu ^2 \psi }}{{1 - \eta \mu ^2 \psi }} \Leftrightarrow \\ \frac{{2\eta \mu ^2 \psi }}{{1 - 2\eta \mu ^2 \psi }} = 3\frac{{\eta \mu ^2 \psi }}{{1 - \eta \mu ^2 \psi }} \Leftrightarrow 2\eta \mu ^2 \psi - 2\eta \mu ^4 \psi = 3\eta \mu ^2 \psi - 6\eta \mu ^4 \psi \Leftrightarrow 4\eta \mu ^4 \psi - \eta \mu ^2 \psi = 0 \Leftrightarrow \\ \eta \mu ^2 \psi \left( {4\eta \mu ^2 \psi - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {\eta \mu ^2 \psi \, = 0\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\,\eta \mu ^2 \psi = \frac{1}{4}\,} \right) \Leftrightarrow \eta \mu \psi = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \psi = \frac{\pi }{6} \\ \frac{{\eta \mu \chi }}{{\frac{1}{2}}} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \eta \mu \chi = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \chi = \\ \end{array} }$

Π.Γ

Ανεβάζω σε pdf

trigonomery.pdf: (19.49 KiB) Μεταφορτώθηκε 88 φορές

Ιστοσελίδα · #6

Γιώργο, Αλέξανδρε, Χρήστο και Πάνο σας ευχαριστώ για την συμμετοχή σας

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΙΙΙ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΙΙΙ

Re: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΙΙΙ

Re: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΙΙΙ

Re: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΙΙΙ

Re: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΙΙΙ

Re: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΙΙΙ

Μέλη σε σύνδεση