Ανάγωγο πολυώνυμο

#1

Έστω

ένας θετικός ακέραιος.
Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο $f(x) = (x^2-1^2)(x^2-2^2)\cdots (x^2-n^2)+ 1$ δε γράφεται ως γινόμενο μη σταθερών πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές.

Mikesar · #2

Έστω ότι

όπου

πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές. Προφανώς deg(f)=2n=deg(h)+deg(g)

.
Είναι

και άρα $g(j)h(j)=1\Leftrightarrow g(j)=\pm1,h(j)=\pm1 \ \forall j=\pm1,...,\pm n$ .
Υποθέτω ΧΒΓ ότι $deg(g)\leq deg(h)$ . Τότε $deg(g)\leq n$ .
Αν deg(g)<n

, τότε τουλάχιστον

από τα $g(j), j=\pm1,...,\pm n$ είναι ίσα, άρα το

είναι σταθερό, άτοπο.
Συνεπώς πρέπει deg(g)=deg(h)=n

και για να μην είναι κανένα πολυώνυμο σταθερό πρέπει και ακριβώς

από τα

να κάνουν

και ακριβώς

να κάνουν

(αντίστοιχα και για τα h(j)

).
Άρα

αλλά και $g(x)=(x-x_{n+1})....(x-x_{2n})-1$ όπου x_i, i=1,...,2n

η κατάλληλη αναδιάταξη των $\pm1,...,\pm n$ αναλόγως με την τιμή του g(i)

. Έστω ΧΒΓ x_1=n

. Τότε για x=n

έχω
$1=(n-x_{n+1})....(n-x_{2n})-1\Leftrightarrow (n-x_{n+1})....(n-x_{2n})=2$ το οποίο είναι άτοπο αφού στο γινόμενο $(n-x_{n+1})....(n-x_{2n})$ υπάρχει παράγοντας μεγαλύτερος του 2

.
Συνεπώς το

είναι ανάγωγο.

Aν

, με απευθείας έλεγχο βλέπω ότι $(2-x_3)(2-x_4)\ne2$ για όλες τις δυνατές τιμές των x_3,x_4

, το ίδιο και για n=3

. Για $n\geq4$ πρέπει ακριβώς ένας παράγοντας να είναι ίσος με $\pm2$ και όλοι οι άλλοι να είναι ίσοι με $\pm1$ , άρα το λιγότερο δύο από αυτούς τους παράγοντες είναι ίσοι, δηλαδή $n-x_i=n-x_j\Leftrightarrow x_i=x_j$ με $i\nej$ το οποίο είναι άτοπο λόγω του ορισμού των x_i

.

#3

Ωραία!!

Διαφορετικά, αφού δείξουμε ότι τα g(x),h(x)

έχουν τον ίδιο βαθμό, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι θα έχουν και τον ίδιο μεγιστοβάθμιο όρο (1 ή -1) και ισχύει $g(i)=h(i)=\pm 1$ για κάθε

Επομένως, το πολυώνυμο g(x)-h(x)

έχει βαθμό το πολύ n-1

και

ρίζες, άρα είναι το μηδενικό.

Έχουμε, λοιπόν, $f(x) = (x^2-1^2)(x^2-2^2)\cdots (x^2-n^2)+ 1=g^2(x).$
Για x=0

έχουμε άτοπο...

#4

Ας δείξουμε το ίδιο και για το

$\displaystyle{W(x) = (x^2+ 1^2)(x^2+ 2^2)(x^2+ 3^2)...(x^2+n^2)+ 1.}$

Ανάγωγο πολυώνυμο

Ανάγωγο πολυώνυμο

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση